2.2.1 不等式及其性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式及其性质，涵盖作差法比较大小、不等式性质（1-5）及推论，综合法、分析法、反证法等证明方法。课堂从数轴坐标表示切入，衔接初中不等式性质，通过证明性质1-3夯实基础，逐步引入性质4-5及推论，构建知识递进支架。 其亮点是以“作差法”为根本，通过“尝试与发现”活动（如充要条件判断）培养数学思维中的推理意识，例题中√3+√7<2√5的分析法与反证法应用强化数学语言表达。分层巩固练习助力学生深化理解，教师可借助实例提升教学效果，促进学生逻辑推理能力发展。

第二章 等式与不等式 2.2.1不等式及其性质 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 1.数轴上一点坐标表示P(x) 2.实数大小比较的依据“作差法” 3.掌握不等式的性质及其推论 4.掌握综合法、分析法与反证法证明不等式 2 知识迁移 1.平面上一点坐标表示A(x,y) 数轴上一点坐标表示P(x) 2.3大于2，所以3-2>0 同理 3.初中的时候，我们就已经归纳了不等式的三个性质 性质1 如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果，，那么. 强调 以上比较两个实数大小、证明不等式的根本依据， 核心是“作差法”，接下来我们来证明性质1、2、3 3 性质1证明 性质1 如果，那么. 性质1可以用如下方式证明：因为 ， 又因为，所以，从而 ， 因此 强调 证明哪一项大于另一项，就要构造这两项的差——作差法 4 性质2证明 性质2 如果，，那么. 性质2可以用类似的方法证明：因为 ， 又因为，所以，而，因此 ， 因此，即. 强调 证明哪一项大于另一项，就要构造这两项的差——作差法 5 性质3证明 性质3 如果，，那么. 性质3的证明方法同性质2：因为 ， 又因为，所以，而，因此 ， 因此，即. 强调 证明哪一项大于另一项，就要构造这两项的差——作差法 6 尝试与发现 用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： (1)是的_____条件； (2)如果，则是的_____条件； (3)如果，则是的_____条件. 充要 充要 充要 证明（1） 充分性：由性质1知充分性成立 必要性：，由性质1知， , 因此a>b,必要性成立 证明（2） 充分性：由性质2知充分性成立 必要性：，c>0由性质2知， , 因此a>b,必要性成立 熟练应用： 做差法比较两个实数的大小 不等式的三个性质： 如果，那么 如果，，那么 如果，，那么 7 性质4 性质4 如果，那么. 证明 因为 ， 又因为，所以；且，所以，因此 ， 从而，即. 性质4通常称为不等关系的传递性 性质5 . 这 8 例题精讲 例1 比较和的大小. 解 因为 ， 又因为，所以，从而 ， 因此. 9 探究新知 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论. 推论1 如果，那么. 推论2 如果，那么. 推论3 如果，那么. 推论4 如果那么. 推论5 如果那么. 10 推论证明、说明 推论1 如果，那么. 证明 . 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移向法则. 推论2 如果，那么. 证明 根据性质1有，， 再根据性质4（传递性）可知. 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 11 推论证明、说明 推论3 如果，那么. 证明 根据性质2有 ， ， 再根据性质4可知 . 很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 12 推论证明、说明 推论4 如果那么. 推论5 如果那么. 这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可 证明 假设，即 或， 根据推论4和二次根式的性质，得 或. 这都与矛盾，因此假设不成立，从而. 可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 13 例题精讲 例2 (1)已知求证：； 证明 因为，，所以，. 根据推论2，得. (3)已知，，求证：. (2)已知求证：； 证明 因为，所以. 又因为，所以， 即，因此. 证明 因为，根据(2)的结论，得. 又因为，所以根据推论3可知，即. 14 尝试与发现 你能证明吗？用综合法（综合法中，最重要的推理形式为p⟹ q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.例2中的三个证明就是用的综合法）证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？ 用综合法不方便因为，由 方法——分析法 证明：要证，只需证明， 展开得，即， 这只需证明，即. 因为成立，所以成立. 15 尝试与发现 证明 证明：要证，只需证明， 展开得，即， 这只需证明，即. 因为成立，所以成立. 上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证，只需证明”，这可以表示为，其中是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.的证明过程也可简写为： 因为， 又因为成立，所以结论成立. 16 尝试与发现 用反证法证明 证明：假设不等式+<2成立，则+≥2 两边平方得10+2≥20，所以≥5， 所以21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立． 17 例题精讲 例3 已知，求证：. 证明 因为，所以从而 ， 又因为已知，所以结论成立. 解析法证明 18 巩固练习 1.已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 解： A.如果那么.故错误. B.如果，那么故错误. C.如果，那么.故错误. D.∵∴，∴如果，那么 D 19 2.比较与 的大小. 解 , . 3.已知，比较的大小. 解：∵ 而在上恒成立. ∴当，即时，此时， 当，即时，此时， 当，即时，此时， 巩固练习 作差法 20 巩固练习 A.B. C.D. 4.要证 ,只需证( ) 【解析】要证 , 只需证 , 只需证 . A 解析法 21 巩固练习 5.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤. ，这与三角形内角和为 相矛盾，所以 不成立. ②所以一个三角形中不能有两个直角. ③假设，，中有两个角是直角，不妨设 . 其正确顺序为 . ③①② 反证法 22 巩固练习 6.已知，,试求 的取值范围; 【解析】,,,， . , . 又, , 即 . 综合法 23 提升练习 1.已知a>0,b>0,比较++的大小 解 +- =(+ =(+)（） =(+)≥0 所以++ 24 提升练习 2. 已知，求证 . 【解析】要证,只需证 ， , 此不等式两边均大于零. 因此只需证 , 即证 ,只需证 , 只需证,即证,即证, 显然 成立,故原不等式成立. 25 提升练习 3. 已知,且,求证:, 中至少有一个小于2. 【解析】假设，都不小于2,即,,, , , 两式相加，得,解得，这与已知矛盾， 假设不成立. 故, 中至少有一个小于2. 26 提升练习 4.已知，，求 的取值范围． 方法一： 令 ． 解得 ． ， , 又， ． 故的取值范围为 ． 27 提升练习 4.已知，，求 的取值范围． 方法二： 令2a+b=m,a-b=n,解得 因为-1<m<2,3<n<4,5a+b=2m+n 故1<2m+n<9 的取值范围为 ． a= b= 28 $