重难点培优05 概率中的决策问题与比赛中的概率（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦概率中的决策问题及比赛中的概率两大核心考点，涵盖期望与方差的决策意义、二项分布等模型载体、比赛赛制分析等内容，按知识精讲、题型深研、分层训练的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题典例及变式训练，帮助学生构建概率问题的解题框架。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“先算后比”决策逻辑和“赛制终止条件分析”策略，如典例中通过计算期望方差比较抽奖方案，比赛问题中分类讨论不同赛制下的局数概率，培养学生的推理能力与模型观念。设置巩固过关与创新提升分层练习，配合方法技巧总结，助力教师精准把控复习节奏，提升学生概率应用与应考能力。

重难点培优05 概率中的决策问题及比赛中的概率内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 决策问题 4 题型2 比赛问题 7 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 26 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 决策问题 1. 核心工具：期望与方差的决策意义 期望（均值）决策：在大量重复试验或长期投资中，期望越大，平均收益越高。若问题问“哪种方案获利更多”或“更划算”，通常比较期望（）。 方差（稳定性）决策：在期望值相差不多时，方差越小，风险越低，稳定性越好。若问题涉及“设备性能稳定”“产品质量波动小”或“规避风险”，需比较方差（）。 综合权衡：现实中常需平衡利润与风险，即期望高但方差大（高风险高回报），此时需根据题目情境（如“保守型”或“激进型”）做出合理解释。 2. 模型载体：常见概率分布 二项分布：适用于放回抽样或独立重复试验，，。 超几何分布：适用于不放回抽样，，方差公式相对复杂，选择时注意区分。 两点分布：决策中常将成功记为1，失败记为0，期望即为成功率，便于比较。 3. 决策逻辑与规范作答 先算后比：先计算出各方案的期望和方差（或特定事件的概率），再下结论。 分清决策目标：题目可能要求“利润最大”“损失最小”“概率最高”或“综合最优”，要严格扣题。 作答模板：必须给出明确结论，如“方案甲优于方案乙，建议选择方案甲”，并附上数据依据（如“因为”）。如果是开放性问题，需说明前提（如“若注重收益选甲，若注重稳定性选乙”）。 知识点2 比赛问题 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 题型深研·通法变式提能力 题型1 决策问题 【典例1-1】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【典例1-2】（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【典例1-3】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【典例1-4】（24-25高二下·吉林·期中）已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 方法技巧 决策问题 分清赛制（三局两胜、五局三胜或七局四胜），明确“连胜”或“先胜”的终止条件。利用独立重复试验概率公式，按最终获胜方分类讨论局分组合，注意最后一局必须为胜方赢。若每局胜率不变，可用二项分布累加；若胜率随局数变化，则需分步乘法逐局计算。 【变式1-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 【变式1-2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【变式1-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 【变式1-4】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 题型2 比赛问题 【典例2-1】（复杂条件的比赛问题）（24-25高二下·河北衡水·月考）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. (1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； (2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 【典例2-2】（多人比赛问题）（25-26高二下·山东临沂·期中）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【典例2-3】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【典例2-4】某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 方法技巧 比赛问题 先列出所有可行方案，对每种方案计算关键随机变量的分布列；再比较期望（平均收益/损失）与方差（风险波动），期望高者优，方差小者稳。若涉及检测或抽检，需用条件概率修正先验信息。作答时必须给出明确结论并附数据依据，如“因E(X甲)>E(X乙)，选甲方案”。 【变式2-1】甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【变式2-2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【变式2-3】（25-26高二上·湖北武汉·月考）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为，甲胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙轮空. (1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； 【变式2-4】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 3．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 5．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 7．某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． (1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． (2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 9．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 10．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 11．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 12．11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 13．（25-26高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 14．（25-26高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 创新提升 1．某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. (1)如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； (2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； (3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 2．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 3．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 4．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 概率中的决策问题及比赛中的概率内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 决策问题 4 题型2 比赛问题 7 分层进阶·双阶训练验成效 18 巩固过关 18 创新提升 26 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 决策问题 1. 核心工具：期望与方差的决策意义 期望（均值）决策：在大量重复试验或长期投资中，期望越大，平均收益越高。若问题问“哪种方案获利更多”或“更划算”，通常比较期望（）。 方差（稳定性）决策：在期望值相差不多时，方差越小，风险越低，稳定性越好。若问题涉及“设备性能稳定”“产品质量波动小”或“规避风险”，需比较方差（）。 综合权衡：现实中常需平衡利润与风险，即期望高但方差大（高风险高回报），此时需根据题目情境（如“保守型”或“激进型”）做出合理解释。 2. 模型载体：常见概率分布 二项分布：适用于放回抽样或独立重复试验，，。 超几何分布：适用于不放回抽样，，方差公式相对复杂，选择时注意区分。 两点分布：决策中常将成功记为1，失败记为0，期望即为成功率，便于比较。 3. 决策逻辑与规范作答 先算后比：先计算出各方案的期望和方差（或特定事件的概率），再下结论。 分清决策目标：题目可能要求“利润最大”“损失最小”“概率最高”或“综合最优”，要严格扣题。 作答模板：必须给出明确结论，如“方案甲优于方案乙，建议选择方案甲”，并附上数据依据（如“因为”）。如果是开放性问题，需说明前提（如“若注重收益选甲，若注重稳定性选乙”）。 知识点2 比赛问题 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 题型深研·通法变式提能力 题型1 决策问题 【典例1-1】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论； （2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求. 方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求. 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 【典例1-2】（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 【典例1-3】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 【典例1-4】（24-25高二下·吉林·期中）已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】(1)2 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 方法技巧 决策问题 分清赛制（三局两胜、五局三胜或七局四胜），明确“连胜”或“先胜”的终止条件。利用独立重复试验概率公式，按最终获胜方分类讨论局分组合，注意最后一局必须为胜方赢。若每局胜率不变，可用二项分布累加；若胜率随局数变化，则需分步乘法逐局计算。 【变式1-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 【答案】(1)0.44 (2)的分布列为： 14 15 16 17 18 (3)应选用 【分析】（1）将拆分为“、、”三种互斥的两台制冰格更换数量组合，分别计算概率后相加，即可求得； （2）先确定两台制冰格更换总数的所有可能取值，再用独立事件概率公式逐一计算概率值即可； （3）分别计算预购和的费用期望，通过比较期望值选择费用最低的即可. 【详解】（1）每台机器更换的制冰格数为7，8，9． 记事件为第一台机器三年内换掉个制冰格，记事件为第二台机器三年内换掉个制冰格， 由题意知，， 所以 . （2）2台机器共需更换的制冰格数的随机变量为，则的取值为. ， ， ， ， 的分布列为： 14 15 16 17 18 （3）购买制冰格所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买制冰格的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用： 当时，仅时需要补购一个， 费用的期望为（元）， 当时，费用的期望为（元）， 因，则应选用． 另解：因为和时至少需购买17个，故可考虑增量部分做出决策， 当时，若临时购买一个需花费的费用期望为：元， 当时，需花费150元，所以时花费费用最少，则应选用． 【变式1-2】（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 【变式1-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 【答案】(1) 1 2 3 4 5 6 7 (2)小明同学不能盈利. 【分析】（1）根据题意，确定服从二项分布并求解分布列，利用分布列的期望计算方法求； （2）根据与的对应关系，结合的分布列求出的分布列，再计算的数学期望，再比较大小即可. 【详解】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7. ， ，   ， 则的概率分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 数学期望 ； （2）因为当或7时，；当或6时，；当或5时，；当时，. 利用（1）得的概率分布列为： 1 4 6 10 ， 所以小明同学不能盈利. 【变式1-4】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 题型2 比赛问题 【典例2-1】（复杂条件的比赛问题）（24-25高二下·河北衡水·月考）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的. (1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率； (2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，分析的可能取值，计算对应的概率，分析事件“甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等”所包含的情况可得结果. （2）根据（1）分析的取值，计算对应概率可得分布列和期望. 【详解】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值均为，则 ，，， ，，. 设甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等为事件， 则. （2）由题意得，随机变量的所有可能取值为. 由（1）得，，， ∴， ∴的分布列为： ∴. 【典例2-2】（多人比赛问题）（25-26高二下·山东临沂·期中）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【详解】（1）（ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 【典例2-3】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 【典例2-4】某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 方法技巧 比赛问题 先列出所有可行方案，对每种方案计算关键随机变量的分布列；再比较期望（平均收益/损失）与方差（风险波动），期望高者优，方差小者稳。若涉及检测或抽检，需用条件概率修正先验信息。作答时必须给出明确结论并附数据依据，如“因E(X甲)>E(X乙)，选甲方案”。 【变式2-1】甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)或 【分析】（1）（i）应用独立事件乘积公式计算求解；（ii）应用n次独立重复试验应用互斥事件概率和公式计算； （2）应用n次独立重复试验和互斥事件概率和公式计算得出概率范围. 【详解】（1）（i）乙获胜有两种情况： ①乙连胜四局，概率为， ②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜， 概率为， 所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为. （ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件， 则， ， 所以比赛打满七局的概率为. （2）， ， 由已知整理得： ， 解得：或， 因为， 所以或， 综上：或时，． 【变式2-2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 【变式2-3】（25-26高二上·湖北武汉·月考）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为，甲胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙轮空. (1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式及互斥事件和的概率公式求解； （2）决出冠军为四个互斥事件的和，分别求概率，利用互斥事件和的概率公式得解. 【详解】（1）记事件为甲胜乙，则，， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，， 前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况分两种：      丙被淘汰的概率为. （2）只需四场比赛就决出冠军的情况有四种：                所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为： . 【变式2-4】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 【答案】(1)0.1 (2)0.0486 (3)应该引进，理由见解析 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可； （3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可. 【详解】（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件， 由全概率公式可得， 故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1. （2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1， 设恰有2天检测结果与实际不符为事件， 则， 故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486. （3）应该引进该自动化检测系统，理由如下： 设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元. 设备故障且被判为故障的概率为， 设备正常却被判为故障的概率为， 设备故障却被判为正常的概率为， 则. 因为，所以应该引进该系统. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意分析出甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，即可求解； （2）根据题意可取，分别计算出概率，即可求解分布列及数学期望． 【详解】（1）甲队以获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，则甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，则甲队以获胜的概率为． （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望． 3．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 5．甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)选择方案二，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． （2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 7．某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． (1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． (2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 【答案】(1)13.4 (2)（i）0.85（ii）能，理由见解析 【分析】（1）先求出每一段的概率，再利用期望公式求解； （2）（i）利用二项分布分析求解即可；（ii）分别求出方案中日启用推车数量的数学期望分析比较即可得结论. 【详解】（1）题意得， ， 故. （2）（i）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于600本的概率降低0.05，得， 设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600本的天数为，则， 所以， 故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.85． （ii）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05， 得， ， 此时日启用推车数量的数学期望为： ， 若日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车，日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车， 则此时日启用推车数量的数学期望为： 因为，所以调整方案能降低日均运维成本． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期末）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为，，，且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知，， （ⅰ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ⅱ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率. (2)若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）15；（ⅱ） (2)乙在丙前，理由见解析 【分析】（ⅰ）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；（ⅱ）根据全概率公式计算可得； （2）分别求出乙在前与丙在前时的期望，即可判断. 【详解】（1）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 则， ， ，. 所以； （ⅱ）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以该队比赛结束后所获积分的概率为. （2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为，，，， 则，， ，. 所以 ， 由于，，所以，， 所以乙在丙前参赛. 9．（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. （2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 10．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 11．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响． (1)求队全胜夺冠的概率； (2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率； （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望． 【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜， 所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜， 所以队全胜夺冠的概率为． （2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5， 若，即队在第一轮，第二轮均失败， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为； ②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为； ③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为， 所以， 若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况： ①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为； ②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为， 所以， 所以的分布列为： 2 3 4 5 故的数学期望为． 12．11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）事件对应两种情况第1轮中甲连赢2球或第1轮中甲､乙双方各赢1球，第2轮中甲连赢2球，根据独立事件、互斥事件的概率公式可求概率； （2）求出乙连赢2球的概率和甲､乙双方均各赢1球的概率后可求； （3）利用（2）的结果可求题设中事件的概率，结合等比数列的前项和公式和不等式的性质可证. 【详解】（1）由比赛规则可知，当双方打成后，若又打了个球比赛结束，则必为偶数， 不妨设，且将个球依次记为，以下将，这两球称为一轮，其中. 事件对应两种情况： （1）第1轮中甲连赢2球； （2）第1轮中甲､乙双方各赢1球，第2轮中甲连赢2球， . （2）在每一轮中：乙连赢2球的概率记为；甲､乙双方均各赢1球的概率记为， 则， 当时，乙获胜，即在第1轮中乙连赢2球， 此时，， 当时，乙获胜，即在前轮中，每轮甲､乙双方均各赢1球， 在第轮中，乙连赢2球， 此时，， 时，， ∴当时，. （3）由（2）中结果可得甲连赢2球的概率为， 故甲或乙连赢2球的概率为. 比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数， 则有如下情形: （1）双方比分为或，此时概率为； （2）双方比分为或，比赛结束前有两轮平局， 故此时概率为； （3）双方比分为或，比赛结束前有4轮平局， 故此时概率为； （4）双方比分为或，比赛结束前有6轮平局， 故此时概率为； （5）双方比分为或，比赛结束前有8轮平局， 故此时概率为； ， ，命题得证. 13．（25-26高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 14．（25-26高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【答案】(1) (2)6 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意的所有可能取值为：，再利用独立事件的乘法公式计算出所有情况的概率，接着计算期望即可； （2）由，再确定最大概率的项即可； （3）先判断事件的关系，得到条件①②下独立，再利用独立性计算两班得分相同的概率，即同时答对或同时打错的概率之和即可. 【详解】（1）的所有可能取值为：， ， ， ， ， ， . （2），假设最有可能答对题目的数量是次，则， ，即， ， 解得，又，所以，即乙班最有可能答对6个题. （3）选择①：， 知 ， 故，即相互独立. 选择②：，由已知等式知， 则， ，即相互独立， 用表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 创新提升 1．某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. (1)如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； (2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； (3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 【答案】(1) (2) (3)当时，采用方案1对甲获得冠军更有利；当时，采用两种方案中任一种皆可；当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 【分析】（1）设甲获得冠军为事件 ,甲需连赢两场,即先赢半决赛、再赢决赛,由甲对任意对手胜率均为 ,且 ,得 . （2）设甲参赛场数为 ,可能取值为2,3,4,分别计算： 对应甲连输两场,概率 ； 对应两种路径（即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）,概率各为 ,即 ； ,代入 得期望 . （3）分别计算方案1和方案2下甲夺冠的概率,表示为 的函数,作差比较,根据差值符号判断 在何范围时哪种方案更有利,最后说明对甲而言方案2整体更优或给出临界值. 【详解】（1）设“采用方案1甲获得冠军”. 因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，且， 所以. 即采用方案1甲获得冠军的概率为. （2）设甲参与对阵的比赛场数为随机变量，则的所有可能取值为. ； （即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）； . 故的数学期望. （3）因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为， 所以采用方案1甲获得冠军的概率为； 采用方案2甲获得冠军的概率为. . 因为，所以当时，； 当时，；当时，. 故当时，采用方案1对甲获得冠军更有利； 当时，采用两种方案中任一种皆可； 当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 2．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 【答案】(1) (2) (3)双败赛制对强队更有利 【分析】（1）用列举法写出随机选出2支队伍的各种情况，然后由概率公式得结论； （2）分析单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的所有情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式计算； （3）分别分析出在两种赛制下A赢的情况，然后结合独立事件和互斥事件的概率公式计算出两种赛制下A赢的概率，作差比较后可得. 【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：， 其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：， 所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为. （2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，， 设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立， 设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件， ； ②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以 所以； 所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为； （3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为 ； 在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况： ①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ； ③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ， 所以A获得冠军的概率为 ， ， 所以当时，，因此双败赛制对强队更有利. 3．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)组采用赛制二更有利于胜出，答案见解析 【分析】（1） 利用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，从而求得数学期望； （2） 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：，利用相互独立事件的概率公式求解即可； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，可得，利用二项分布的概率公式求出组获得冠军的概率； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，则组取得胜利概率为， 两个概率作差比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3，     ，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：， 所以竞赛小组能进入决赛的概率为 （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则，组取得胜利的概率为；     按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则，     ，     已知，所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 4．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)选甲参加第一阶段的比赛 【分析】（1）先确定的可取值为，然后分析出甲、乙谁先参加第一阶段的投篮对结果没有影响，再计算出的不同取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据不小于分析出甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次，由此可计算对应概率； （3）分别计算出甲、乙参加第一阶段比赛时比赛成绩的数学期望，然后通过作差法比较大小，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，可取， 由于甲、乙每次投中的概率相等， 所以无论甲、乙谁先投篮，该队不能进入第二阶段的概率都为， 所以该队能进入第二阶段的概率都为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： （2）若不小于，则说明甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次， 甲第一阶段投篮至少投中次的概率为， 乙第二阶段投篮至少投中次的概率为， 所以. （3）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩可取， ， ， ， ， 所以 所以， 所以， 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩可取， 同理可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以应选甲参加第一阶段的比赛. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $