重难点培优07 破解解三角形中三大线（中线、角平分线、高线）问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中中线、角平分线、高线三大核心考点，按知识精讲（方法归纳）、题型深研（求值与最值）、分层训练（巩固与提升）逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题体系，突破难点。 资料以题型分类细化和分层进阶为特色，如中线问题结合向量法与余弦定理训练推理能力，角平分线问题用定理与面积法培养模型意识。设置巩固与创新双阶练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习框架。

重难点培优07 破解三角形中的三大线（中线、角平分线、高线）问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 三角形中与中线有关的求值问题 2 题型2 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 6 题型3 三角形中与角平分线有关的求值问题 8 题型4 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 12 题型5 三角形中与垂线有关的求值问题 16 题型6 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 19 分层进阶·双阶训练验成效 22 巩固过关 22 创新提升 34 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 中线问题 方法 思路 中线的向量表示 ，通过平方进一步转化为数量积问题. 中线定理 极化恒等式 底边邻补角互补 ，所以. 底边公共角相等 ,， 所以,. 中线的性质 平分的面积，. 知识点2 角平分线问题 方法 思路 角平分线定理 在中，是角的角平分线，则. 等面积法 因为. 所以. 角平分线长公式 知识点3 垂线问题 方法 思路 等面积法 三角函数在直角三角形中的定义 ，，.（也可利用角） 勾股定理 , 射影定理 若为直角三角形（），， 则，， 题型深研·通法变式提能力 题型1 三角形中与中线有关的求值问题 【典例1-1】（2026·江西南昌·模拟）在中，，，已知边上的中线，使存在且唯一确定，则的面积为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理即可求得答案． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得．        所以，或． 因为，所以不满足题意舍去， 所以，所以．   所以． 因为边上的中线．    ，． 所以   由余弦定理可得 ． 解得 ． 所以． 【典例1-2】（2026·广东肇庆·模拟）在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【解析】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 【典例1-3】（25-26高三上·河南南阳·期中）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 【答案】 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【解析】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 方法技巧 三角形中与中线有关的求值问题 中线问题的处理方法： ①向量法： ,平方即可； ② 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 【变式1-1】（2026·北京·三模）如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 【答案】 【分析】将补成平行四边形，然后根据余弦定理求出，利用正弦定理求出. 【详解】将已知图形补形为平行四边形，如图， 在中，根据余弦定理则有，解得， 再在中，由正弦定理，. 化简得，即. 又， 解得． 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解； （2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果. 【详解】（1）因为，即， 又，所以， 可得，又， 因此； （2）由（1）可得，又， 由余弦定理可得，所以； 在中，，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得； 又因为，可得， 联立，解得； 又，可得， 所以的周长为. 题型2 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 【典例2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足,记BC边的中点为D，，若A为钝角，则x的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由、余弦定理及基本不等式得到，然后由求解. 【解析】因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 故答案为： 【典例2-2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 方法技巧 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得。 【变式2-1】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到范围. 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即BC⊥CD，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高三上·江苏·期末）在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，应用三角形面积公式、余弦定理得到含参数关于的方程，根据方程有解求的最小值. 【解析】设，，则，得， 在中，由余弦定理得，得， 由上式平方相加得：，即， 令，设，则在上必有零点， 的对称轴为，则，得，即. 故答案为： 题型3 三角形中与角平分线有关的求值问题 【典例3-1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【解析】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 【典例3-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 方法技巧 三角形中与角平分线有关的求值问题 此类问题常用两种方法：1.角平分线定理，2.等面积法 【变式3-1】（多选）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）中，，，则（   ） A． B．的角平分线交AB于D，则 C． D．在上的投影向量是 【答案】ACD 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 【变式3-2】（多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用正弦函数性质求解最值. 【详解】对于A，由，得， 设， 由余弦定理，，又，所以， 则，故A正确； 对于B，由，解得， 所以，则其周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 又当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 题型4 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 【典例4-1】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． 【典例4-2】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得，再根据外心性质和角平分线、数量积的运算律得到，最后根据面积的范围可求前者的范围. 【详解】，设，，，则，则， 再由角平分线定理，，则由定比分点性质，， 又为三角形的外心，所以：； 则三角形的面积，其中为三角形的边上的高， 由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值， 为圆心到的距离加上半径即， 且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角， 时，为直径，此时取得下确界，为圆心到的距离的二倍，即下确界为， 故的取值范围为，则. 方法技巧 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 【变式4-1】在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【解析】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 【变式4-2】如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．   【答案】B 【分析】结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【详解】因， 则得， 即 (*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 故选：B 题型5 三角形中与垂线有关的求值问题 【典例5-1】（2026·四川遂宁·二模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用正弦定理即可求得边上的高. 【解析】（1）在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， （2）由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 【典例5-2】（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出BC，再利用等面积法求得BC边上高线 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 则． 设边上的高为，由等面积法，得，则． 方法技巧 三角形中与垂线有关的求值问题 三角形中与垂线有关的求值问题常见处理方法： 3 等面积法②勾股定理③射影定理 【变式5-1】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过添加辅助线，结合角平分线定理，即可求出的高，从而可求得面积. 【详解】 过作于点， 是边上的高，平分， ，即， 故选：B 【变式5-2】（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 题型6 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 【典例6-1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式可得出，再结合余弦定理可得出，变形得出，利用辅助角公式以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】由三角形面积公式得，即. 由余弦定理得，所以， 整理可得. 其中为锐角，且， 因为，故，故当时，即当时，取最大值， 此时， 故的最大值为. 故选：A. 【典例6-2】（2026·福建泉州·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式得到，然后由余弦定理结合基本不等式得到，最后由正弦公式结合正弦函数的单调性求出即可； 速解中先由射影定理得到，下同上述解法. 【详解】，由余弦定理可得， 整理可得． 又边上的高为， 即， 当且仅当时取等号，，即， 即， 则，故的最大值为． 故选：B． 速解 由射影定理得，下同上述解法． 故选：B． 方法技巧 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 【变式6-1】（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 【变式6-2】（2026·河南濮阳·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用正弦定理，求出，利用辅助角公式求解范围. 【解析】依题意可得，则， 则，解得，， 所以 ． 因为，即，故， 所以,即, 当，即，即时， 取得最大值，且最大值为． 故答案为： 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1. （2026·湖北孝感·三模）在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴ (SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 2. （2026·河北·三模）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 3. （2026·河南·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【解析】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 4. （25-26高三上·天津·开学考试）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或者1 【答案】2 【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案. 【解析】因为中，， 所以的外接圆半径为, 即A位于以2为半径的圆弧上， 如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为, 如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则, 则，满足边上的高为2， 故满足条件的的个数为2个， 故答案为：2 5. （2026·安徽池州·模拟预测）在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．7 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】先通过解三角形方法求出和的长，然后说明点能够取到的集合恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界，由此得到其面积为的一半，最后通过和的长求出，即得所求结果. 【解析】延长，，分别交，，于，，，如图， 由为垂心，可知在直角三角形中，， ，由余弦定理可得 ， 由四点共圆及正弦定理可得， ， 由余弦定理，， 所以. 又因为， 所以，从而. 由于，其中，故点能够取到的集合，恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界. 所以点能够覆盖的区域的面积等于的一半，而，故，选项D正确. 故选：D. 6.（多选）（2026·新疆喀什·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理及余弦定理结合向量数量积计算判断A,根据三角形面积公式计算判断B，应用数量积公式及向量夹角余弦计算判断C，D. 【详解】由得， 化简，所以 又因为，所以， ∵为边中线，， 两边平方可得，，故A正确， 又，则∽，故，则，B正确， 对于CD: 解法一： . ， 前面已得， 所以. 故C正确，D错误. 解法二：因为，所以， ， 又 ，C正确， 由A选项知：，同理：，， 所以D错误， 故选:ABC． 7.（多选）（2026·广东广州·模拟预测）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 8.（多选）（2026·北京丰台·二模） 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 9. （25-26高三下·浙江·开学考试）已知中， ① ； ②为边的中点，若，则 . 【答案】 /0.25 【解析】， 即 由正弦定理角化边可得 由余弦定理可得； 设 由余弦定理结合①得 在中，在中， 所以，即， ， 等式两边同时除以可得， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：；.   10. （25-26高三上·山东德州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值；以为基底，由，代入数据运算得的关系. 【详解】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又为的内角，即，，则， 于是，解得，因此，得； 由，，得， 显然， 由，得， 即． 即，所以． 故答案为：； 11. （25-26高三上·云南·月考）已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 【答案】 【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为，的角平分线交于点，且， 因为，即， 即，即，所以，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 12. （2026·河北张家口·一模）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 13. （2026·江西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 14.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【解析】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 创新提升 1．（25-26高三上·江西新余·月考）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先在中由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，即可得到的函数关系式，然后求导，即可得到其极小值，从而得到结果. 【详解】设，，则， 则在中由余弦定理可得， 即，所以， 由角平分线定理可得，所以. 又， 故， 化简得①， 而在△中由余弦定理， 代入①得.又因为，所以，所以， 故. 所以， 所以， 令或（舍去）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以时，取得最小值，即取得最小值. 所以取得最小值时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是先设，，则，依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求得得和，关键点2是构建函数，利用导数工具研究其最值，从而得解. 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解. 【详解】设， 易知为的重心， 又，由重心为中线三等分点可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，求其最小值即可， 上式化简可得：， 也即当且仅当时取得等号， 所以， 故答案为： 3．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可. 【详解】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为D为中点，所以，设的夹角为θ， 则 ， 即， 且， 因为，则为锐角，可知， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以， 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可. 4．（2026·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则，   ，即，可得， ，即，， , 设，，在区间单调递减， ，即, ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如下图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立.    因此的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 5．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 因为AD为角A的角平分线，所以， 又，所以，所以， 不妨设，，则，故， 延长至点E，使得，连接， 则，又， 所以，故，， 则，， 则，， 在中，由余弦定理，得， 即， 因为，所以， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，故. 所以长的最大值为. 6．（2026·河南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D． (1)若，，求AD的长度； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：由关系，结合面积公式列方程求解； 方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明，再由向量线性运算可得，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度； （2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）方法一： 因为为的角平分线，， 所以， 因为 所以，             所以.                                                         法二：设三角形的边上的高为， 因为为的角平分线 所以， 所以， 所以， 所以.                             因为，， 所以， 所以. （2）在中，由正弦定理得， 所以，     又，则， 又 所以，又，则.                                     在中，由正弦定理得，， 所以                         因为是锐角三角形，所以，于是， 所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为. 7．的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； （2）因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； （3）在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 8．（2026·江西·三模）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先利用余弦定理角化边，再运算得到，进而结合三角形内角的性质求解即可. （2）结合题意得到是边上靠近的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可. （3）先构造，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出的范围，再对合理变形，得到，最后利用三角形面积公式表示出，最后结合对勾函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以， 两侧同乘，可得， 则，可得， 故，而，故. （2）因为，所以是边上靠近的三等分点， 由向量三等分线定理得， 两侧同时平方得， 则， 而，故， 可得，即原命题得证. （3）由已知得，则， 且设，因为是锐角三角形，所以，， 由余弦定理得，， 则，， 我们先求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故， 我们再求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故，综上，， 因为，所以，，而， 故，则， 可得，故， 则， 由三角形面积公式得， 令，则， 由对勾函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，当时，， 当时，，故， 则，故面积的取值范围为. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 重难点培优07 破解解三角形中三大线（中线、角平分线、高线）问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 三角形中与中线有关的求值问题 2 题型2 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 3 题型3 三角形中与角平分线有关的求值问题 4 题型4 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 5 题型5 三角形中与垂线有关的求值问题 5 题型6 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 6 分层进阶·双阶训练验成效 7 巩固过关 7 创新提升 9 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 中线问题 方法 思路 中线的向量表示 ，通过平方进一步转化为数量积问题. 中线定理 极化恒等式 底边邻补角互补 ，所以. 底边公共角相等 ,， 所以,. 中线的性质 平分的面积，. 知识点2 角平分线问题 方法 思路 角平分线定理 在中，是角的角平分线，则. 等面积法 因为. 所以. 角平分线长公式 知识点3 垂线问题 方法 思路 等面积法 三角函数在直角三角形中的定义 ，，.（也可利用角） 勾股定理 , 射影定理 若为直角三角形（），， 则，， 题型深研·通法变式提能力 题型1 三角形中与中线有关的求值问题 【典例1-1】（2026·江西南昌·模拟）在中，，，已知边上的中线，使存在且唯一确定，则的面积为（ ） A．1 B．2 C． D． 【典例1-2】（2026·广东肇庆·模拟）在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26高三上·河南南阳·期中）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 方法技巧 三角形中与中线有关的求值问题 中线问题的处理方法： ①向量法： ,平方即可； ② 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 【变式1-1】（2026·北京·三模）如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 【变式1-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 题型2 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 【典例2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足,记BC边的中点为D，，若A为钝角，则x的取值范围为_________． 【典例2-2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 方法技巧 三角形中与中线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得。 【变式2-1】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·江苏·期末）在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 题型3 三角形中与角平分线有关的求值问题 【典例3-1】（25-26高二上·陕西·阶段检测）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 方法技巧 三角形中与角平分线有关的求值问题 此类问题常用两种方法：1.角平分线定理，2.等面积法 【变式3-1】（多选）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）中，，，则（   ） A． B．的角平分线交AB于D，则 C． D．在上的投影向量是 【变式3-2】（多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 题型4 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 【典例4-1】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【典例4-2】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 方法技巧 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 【变式4-1】在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．   题型5 三角形中与垂线有关的求值问题 【典例5-1】（2026·四川遂宁·二模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【典例5-2】（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 三角形中与垂线有关的求值问题 三角形中与垂线有关的求值问题常见处理方法： 3 等面积法②勾股定理③射影定理 【变式5-1】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型6 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 【典例6-1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·福建泉州·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 【变式6-1】（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 【变式6-2】（2026·河南濮阳·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1. （2026·湖北孝感·三模）在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 2. （2026·河北·三模）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 3. （2026·河南·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A． B． C． D． 4. （25-26高三上·天津·开学考试）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或者1 5. （2026·安徽池州·模拟预测）在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．7 B．14 C． D． 6.（多选）（2026·新疆喀什·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7.（多选）（2026·广东广州·模拟预测）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 8.（多选）（2026·北京丰台·二模） 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 9. （25-26高三下·浙江·开学考试）已知中， ① ； ②为边的中点，若，则 . 10. （25-26高三上·山东德州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 11. （25-26高三上·云南·月考）已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 12. （2026·河北张家口·一模）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 13. （2026·江西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 14.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 创新提升 1．（25-26高三上·江西新余·月考）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（    ）. A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 3．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 4．（2026·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 5．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值． 6．（2026·河南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D． (1)若，，求AD的长度； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 7．的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 8．（2026·江西·三模）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $