专题2.3 直线的交点坐标与距离公式分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 高中数学辅导资料 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 一、知识归纳： 1．两条直线的交点坐标：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 （1）若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________； （2）若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________． 2．距离公式 (1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． (2)两条平行直线间的距离： 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝____________________． 3．常见的直线系方程有： (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 自查自纠： 1．（1）相交　交点的坐标　（2）无公共点　平行 2．(1)　 (2) 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解方程组，得，所以所求交点坐标为.故选：B 2．与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线关于轴对称的直线为：，即.故选：B. 3．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：联立，解得，即交点为，因为直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即．故选：B． 4．设两条直线的方程分别为x+y﹣a＝0、x+y+b＝0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解:因为a、b是关于x的方程x2+x+c＝0的两个实数根,所以,所以两直线间的距离.故选:C. 5．已知点M(－1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是(　　) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0 C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0 【答案】D 【详解】由题意点，，点到、的距离相等，可知：，解得，故选D. 6．直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，间的距离最大时，和这两条直线都垂直．由于的斜率为，故直线的斜率为，故它的方程是，化简为，故选：A． 7．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点所在直线的方程为，由，可得，解得，可得，所以到原点的距离的最小值为.故选：B. 8．设a，b分别表示直线l在x轴和y轴上的截距，k为l的斜率，p为原点到l的距离，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，直线的截距式方程为，斜截式方程为，由点到直线的距离公式，得.又与表示同一条直线，所以.将代入，得，即.故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 【答案】BC 【详解】设所求点的坐标为，则，解得或，所以所求点的坐标为或.故选：BC 10．若直线：，：，：，且，，则（    ） A． B． C．，之间的距离为 D．，的交点坐标为 【答案】BCD 【详解】由及得，解得，故选项A错误，B正确；则：，：，又：即，所以，之间的距离为.故选项C正确；由得，所以，的交点坐标为，故选项D正确.故选：BCD 11．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】直线的方程可化为．设到的距离为，到的距离为，的方程为（且），则，．依题意得，即， 化简得或，解得或．因此，直线的方程为或．故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线l经过原点，且经过直线与的交点，则直线l的斜率 ． 【答案】 【详解】由题设，，解得，所以直线l经过原点和，故. 故答案为：. 13．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是 【答案】 【详解】因为两直线互相垂直，所以，解得，又垂足既在前一条直线上，也在后一条直线上，所以，解得，所以.故答案为. 14．在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，所以，，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 一、单选题 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立两直线的方程，解得，因此，两直线的交点坐标是.故选：B. 2．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意，的最小值为点到直线l：的距离， 故选：B. 3．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，解得：，.故选：C. 4．与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，即，它与轴的交点为，它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即.故选：C． 5．已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【详解】将点代入直线的方程可得，解得；将代入直线的方程可得，解得.故选：B 6．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线，即，所以直线经过定点，又由斜率公式，可得，．∵直线与线段相交，∴或，则的取值范围是．故选． 7．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题的几何意义为点到点的距离之和的最小值.由题可知,此时,且在轴上.故.,.故的最小值为.故选：D 8．在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ，∵直线与点，直线上存在点满足， ∴，整理,得 ①，∵直线 上存在点M,满足，∴方程①有解，∴，解得： ，故选D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（多选）若点到直线的距离是，则实数a为（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】AB 【详解】解:由点到直线的距离公式得，解得或5．故选：AB. 10．已知直线，，，以下结论正确的是（    ）. A．不论a为何值时，与都互相垂直； B．当，与x轴的交点A到原点的距离为 C．不论a为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 【答案】AD 【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误； 对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确； 对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确. 故选：AD. 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B．中，边上的中线所在的直线方程为 C．的重心的坐标为 D．的重心到直线的距离为 【答案】ABC 【详解】A：因为，所以，因此该三角形是等腰三角形，因此A正确；中点的坐标为，所以边上的中线所在的直线方程为，故B正确；因为，所以的重心的坐标为，即，所以C正确；直线的方程为，所以的重心到直线的距离为，所以D不正确，故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．原点到直线的距离是 . 【答案】1 【详解】原点到直线的距离是.故答案为1. 13．两平行直线，之间的距离为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 14．已知直线经过定点，则的坐标为 . 【答案】/ 【详解】直线可化为， 联立方程组，解得.所以定点的坐标为.故答案为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 高中数学辅导资料 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 一、知识归纳： 1．两条直线的交点坐标：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 （1）若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________； （2）若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________． 2．距离公式 (1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． (2)两条平行直线间的距离： 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝____________________． 3．常见的直线系方程有： (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 自查自纠： 1．（1）相交　交点的坐标　（2）无公共点　平行 2．(1)　 (2) 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．设两条直线的方程分别为x+y﹣a＝0、x+y+b＝0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．已知点M(－1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是(　　) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0 C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0 6．直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设a，b分别表示直线l在x轴和y轴上的截距，k为l的斜率，p为原点到l的距离，且，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（    ） A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－1，2) D．(0，1) 10．若直线：，：，：，且，，则（    ） A． B． C．，之间的距离为 D．，的交点坐标为 11．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线l经过原点，且经过直线与的交点，则直线l的斜率 ． 13．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是 14．在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 6．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（多选）若点到直线的距离是，则实数a为（    ） A． B．5 C．1 D． 10．已知直线，，，以下结论正确的是（    ）. A．不论a为何值时，与都互相垂直； B．当，与x轴的交点A到原点的距离为 C．不论a为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B．中，边上的中线所在的直线方程为 C．的重心的坐标为 D．的重心到直线的距离为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．原点到直线的距离是 . 13．两平行直线，之间的距离为 ． 14．已知直线经过定点，则的坐标为 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$