第25讲 单摆和共振（复习讲义）（上海专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦单摆和共振专题，覆盖单摆回复力、周期公式、等效模型、重力加速度测量实验及共振现象等核心考点，按概念规律-实验探究-应用拓展的逻辑架构知识体系，通过考点精讲、考向破译（例题与变式训练）、真题溯源等环节，帮助学生系统突破重点难点。 资料突出科学思维与科学探究素养培养，如单摆实验采用T²-l图像法处理数据培养数据处理能力，共振曲线分析强化模型建构思维。设置分层练习与真题演练，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题范式，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第25讲 单摆和共振 目录 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知●识●解●构 知识点01 单摆及单摆的回复力 知识点02 单摆的周期 知识点03 等效单摆 知识点04 利用单摆测量重力加速度实验 知识点05 固有振动、阻尼振动 知识点06 受迫振动和共振 考●向●破●译 考向01 单摆的基本规律 考向02 单摆实验 考向03 阻尼振动的能量变化 考向04 共振及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 选择题 × × × 填空题 × √ × 计算题 × × × 实验题 × × × 综合题 × √ × 考情分析 1．机械振动和机械波的知识点难度不大，知识点比较独立和分散，所以高考的题型比较分散，各种题型都有可能，但总分值不会太高。 2. 单摆实验有一定的典型性，近年都没有出现，所以考查的可能性增加。 3. 考题场景可能为物理模型、生活场景、航空科技、电磁现象。 复习目标 1. 了解单摆以及单摆回复力的来源。 2. 会计算单摆的周期。 3. 了解利用单摆测量重力加速度的实验，以及化曲为直的图像方法。 4. 了解固有振动、阻尼振动和受迫振动的概念和区别。 5. 了解共振是驱动力频率和固有频率相等时振动幅度最大的现象，并理解共振曲线 的含义。 6. 了解共振的利用和防止。 思维建模·脉络梳理 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知●识●解●构 知识点01 单摆及单摆的回复力 1．单摆 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。是理想化模型。 2. 单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。 3. 单摆的回复力 (1) 回复力来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。 ※注意：不能说重力和拉力的合力，因为做变速圆周运动，合力提供向心力和切向力。 (2) 特点：在偏角很小时（摆角<5°），sinθ≈，摆球的切向分力（回复力）F＝Gsinθ＝－x， 即F与位移x成正比，方向总是指向平衡位置，符合简谐运动的条件。 (3) 平衡位置时，向心力最大，回复力为0 因为sinθ＝0，所以回复力F＝0；但做圆周运动v≠0，所以F合＝F向≠0 (4) 最大位移A或处，回复力最大，向心力为0。 因为v＝0，所以向心力＝0，F合＝F回≠0 4．单摆的运动特点 以悬点为圆心做变速圆周运动。因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力． 5．常见的两种简谐振动比较 弹簧振子 单摆 理想化条件 轻弹簧、阻力不计、振子可看成质点 轻绳（质量不计、不可伸长） 阻力不计、摆角<5°、振子可看成质点 回复力 F＝－kx 重力的切线分量： 平衡位置 合力=0 合力≠0 周期 与振幅无关 与振幅，摆球质量无关 能量转化 振子动能和弹簧的弹性势能之间转化 摆球的动能和势能之间相互转化 弹簧振子： 单摆： 知识点02 单摆的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2．单摆的周期 (1) 单摆的周期T＝2π，只与摆长l及重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。 (2) 单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，误差0.01%)。 (3) g应为单摆所在处的重力加速度，l是指从悬点到摆球重心的长度，考虑摆球大小， l＝l′＋， l′为摆线长，d为摆球直径。 知识点03 等效单摆 l等效＝lsin α 做垂直纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π l等效＝R 当半径R远大于小球位移x时，小球做单摆运动 归纳总结 单摆模型 (1) 单摆模型指符合单摆规律的运动模型。满足条件： ①圆弧运动。 ②小角度摆动。 ③回复力F＝－kx。 (2) 知识点04 利用单摆测量重力加速度实验 1．实验原理：由T＝2π知 g＝. 2．实验器材：带孔小钢球一个，细线一条(约1 m长)、铁架台、毫米刻度尺、秒表、或游标卡尺． 3．实验步骤 (1) 把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示． (2) 测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋，即为单摆的摆长． (3) 测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°角度，然后释放摆球，当单摆稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T. (4) 变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T. 4．数据处理 (1) 平均值法：改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值 (2) 图象法：由T＝2π得T2＝l作出T2­l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴． 如图所示，其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g. 5．注意事项和误差分析 (1)摆线要选1 m左右． (2)摆长要悬挂好摆球后再测，先测量摆长再系小球错误．摆线松动g偏小 (3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长． 漏测摆球半径g偏小。 (4)摆球要选体积小、密度大的，这样可以减小空气阻力的影响． (5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动． (6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆． (7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时． (8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．少记录次数g偏小。 注意：摆球质量大小，偏角即振幅大小对测量无影响。 知识点05 固有振动、阻尼振动 1.固有振动 (1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．也叫自由振动，简谐振动。 (2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定。 2.阻尼振动 (1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动。 (2)阻尼振动特点：振幅减小，频率、周期不变(如图)，由系统本身决定。 (3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理。 (4)能量角度：由于摩擦阻力，机械能转化为内能。 机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，E减小，但动能和势能相互转化。 Ep是由位置决定的，因此当Ep相等时，可判断Ek的大小关系。 知识点06 受迫振动和共振 1. 受迫振动 (1)驱动力：对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，这种周期性的外力叫做驱动力． (2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动． (3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 2．共振：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 3．共振曲线及理解 (1)如图所示，当驱动力的频率f与物体的固有频率f0相等时，受迫振动的振幅最大。 (2)对共振曲线的理解 当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小； 当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。 4．发生共振的条件及理解 (1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。 (2)对共振条件的理解： ①从受力角度看：当驱动力的方向跟振动物体的运动方向相同时，加速度为正，振幅增大。 当驱动力的频率等于物体的固有频率时，每一次受力都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。 ②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，振动能量增加，振幅增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。 5．共振的应用与防止 (1)共振现象：音叉共鸣 (2)共振的应用 ①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈． ②实例：转速计、共振筛. (3)共振的防止 ①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好． ②实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速． 归纳总结 简谐运动、阻尼振动、受迫振动、共振的比较 (1)简谐运动是一种理想化的物理模型,物体振动过程中的一切阻力都不考虑，因此实际中并不存在； (2)阻尼振动考虑阻力的影响； (3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到驱动力作用下的振动； (4)共振则是一种特殊的受迫振动。 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振 受力 情况 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 受阻力和驱动力作用 振幅 不变 变小 稳定后不变 最大 振动周期 (或频率) 由振动系统本身 决定,即固有周期 (或固有频率) 由振动系统本身 决定,即固有周期 (或固有频率) 由驱动力的周期 (频率)决定,即 T受=T驱(f受=f驱) T驱=T固 (f驱=f固) 振动 图像     形状不确定 形状不确定 振动 能量 振动系统的机械能不变 振动系统的机械能减少 驱动力做功对损耗的机械能进行补充 振动物体所获得的能量最大 常见 例子 弹簧振子的振动 用力敲锣,锣面的振动 钟摆的摆动 共振筛 考●向●破●译 考向01 单摆的基本规律 例1. 如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A．t1和t3时刻摆线的拉力大小相等 B．t2和t3时刻摆球速度相等 C．t3时刻摆球速度正在减小 D．t4时刻摆线的拉力正在增大 【答案】A 【详解】A．由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线的拉力大小相等，故A正确； B．t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误； C．t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误； D．t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线的拉力也减小，故D错误。 故选A。 【变式训练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为1m C．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．由振动图像可读出周期为2s，振幅8cm，由 得到圆频率 则单摆的位移x随时间t变化的关系式为 A错误； B．由公式 解得 B正确； CD．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，CD错误； 故选B。 考向02 单摆实验 例1.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图象，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示。 (1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________。 (2)由图象求出的重力加速度g＝____________m/s2。(取π2＝9.87) 【答案】(1)测摆长时漏掉了摆球半径　(2)9.87 【解析】(1)既然所画T2－l图象与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径。 (2)图象的斜率k＝＝4，则g＝＝9.87 m/s2。 【变式训练1】（25-26高一下·上海闵行·期末）某同学用单摆测当地重力加速度。 （1）该同学测量了摆线长度l，通过改变l，测得6组对应的周期T。描点，作出图线，如图所示， 图线的横、纵截距分别为和，则重力加速度___________，摆球的直径____________。 （2）实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是________。 A．单摆振动的振幅偏小 B．单摆所用的摆球质量太大了 C．实际测出n次全振动的时间t，误作为（n＋1）次全振动的时间 D．以摆线长作为摆长来计算 【答案】（1） （2）C 【详解】（1）[1][2]单摆周期公式为 其中摆长，为摆线长度，为摆球直径，代入得 故图线斜率，纵截距，横截距 由横截距得 代入纵截距可得 （2）由可知，故摆长的测量值偏大或周期的测量值偏小都会导致偏大。 A．单摆小角度振动时周期与振幅无关，振幅偏小不会改变周期，故A错误； B．周期与摆球质量无关，质量偏大不影响周期，故B错误； C．实际测出n次全振动的时间t，误作为（n＋1）次全振动的时间，计算周期比真实周期偏小，因此偏大，故C正确； D．以摆线长作为摆长，忽略了摆球半径，使偏小，因此偏小，故D错误。 故选C。 考向03 阻尼振动的能量变化 例1.自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是（ ） A．机械能守恒 B. 正在消失 C．总能量守恒，机械能减小 D．只有动能和势能的相互转化 【答案】C 【解析】自由摆动的秋千可以看作阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化不仅是系统内部动能和势能的相互转化。振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系统由于受到阻力，因而振动的能量不断减小，但总能量守恒。故正确答案为C。 【变式训练1】（多选）如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是（ ） A．振动过程中周期变小 B．振动过程中周期不变 C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能 D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能 【答案】BC 【解析】阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故周期不变，A错误，B正确； 因A、B两时刻摆球的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确； 由于摆球振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误． 考向04 共振及其应用 例1.（多选）如图所示,在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速度释放，在垂直纸面的平面内振动。接着其余各摆也开始振动，当振动稳定后，下列说法中正确的有（ ） A.各摆的振动周期与a摆相同 B.各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 C.各摆均做自由振动 D.各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 【答案】AD　 【详解】让a摆略偏离平衡位置后无初速度释放，a摆做自由振动,其振动的周期等于固有周期; b、c、d、e四个单摆在a摆的驱动力作用下做受迫振动,振动周期等于驱动力的周期，所以各摆的振动周期与a摆相同，A正确，B、C错误; c摆的摆长与a摆的摆长相等,固有频率相等，所以c摆发生共振,振幅最大,其他各摆的振幅各不相同，D 正确。 例2.为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起，以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的一排等间距减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（ ） A.当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz B.当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸 C.当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害 D.汽车速度越大，颠簸得就越厉害 【答案】C　 【解析】当汽车以5 m/s的速度行驶时，驱动力的周期为T== s=0.3 s，频率f== Hz，A错误; 当汽车以3 m/s的速度行驶时，受迫振动频率为f== Hz=2 Hz，和固有频率相等，发生共振，所以颠簸得最厉害，C正确，B错误； 当驱动力的频率越接近固有频率时，汽车越颠簸，而非汽车的速度越大越颠簸，故D错误。 【变式训练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来．不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s C．若使P振动起来，稳定时M比O的振幅小 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s 【答案】D 【详解】A．若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误； B．受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误； C．若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比O的振幅大，C错误； D．O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，D正确。 故选D。 【变式训练2】（25-26高一下·上海静安·期末）某旅游景点的鱼洗盆如图所示，注入部分水后，某同学用双手不停摩擦鱼洗盆的双耳。盆内水花波动。若鱼洗盆的固有频率为，该同学摩擦鱼洗盆的频率由逐渐增大至，则盆内水花的波动情况是（     ） A．逐渐增强 B．逐渐减弱 C．先减弱后增强 D．先增强后减弱 【答案】D 【详解】对受迫振动，驱动力的频率等于物体的固有频率振幅最大，此时发生共振，驱动力的频率与物体的固有频率相差越大，物体的振动越弱。 故选D。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 （25-26高一下·上海静安·期末）单摆主要用来计时、测量重力加速度以及证明地球自转。它是物理实验和实际生活中常见的装置，原理简单但用途广泛。 1．下列准备的器材中，适合制作单摆的是（     ） A．乒乓球 B．大的胶木球 C．长的粗绳 D．细的尼龙线 2．某同学依据所测数据绘制两个单摆的振动图像如图所示，则单摆、（     ） A．振幅的比值为 B．摆长的比值为 C．最大摆角的比值为 3．如图（a）所示，将一根不可伸长的轻绳，一端固定在点，另一端系一质量为的小球，制作成一个摆长为的单摆。将小球拉至轻绳水平，由静止释放，经过时间，小球第一次运动至最低点。不计空气阻力，重力加速度大小为。 （1）小球在最低点的速度大小为____________； （2）小球在最低点受到的轻绳拉力大小为____________； （3）在时间内，轻绳对小球拉力的冲量大小为____________； 4．将一根不可伸长的轻绳，一端固定在点，另一端系一质量为的小球，制作成一个摆长为的单摆；在点右侧等高处点静止悬挂一摆长为、小球质量为的单摆，如图（b）所示。现将左侧小球向左拉开一小角度（小于）后由静止释放，两球在最低点发生弹性碰撞。 （1）（计算）求左、右两小球第一次碰撞后的速度大小之比_______； （2）从左侧小球静止释放开始计时，两小球发生碰撞的时刻是____________。 【答案】1．D 2．B 3． 4． （n=0，1，2...） 【详解】1．AB．制作单摆的摆球应选密度大，体积小的球，乒乓球和大的胶木球都不能选，故AB错误； CD．摆线应选择质量小，没有弹性的绳子，故可选细的尼龙绳，不能选长的粗绳，故C错误，D正确。 故选D。 2．A．由图像可知，单摆a、b的振幅分别时4cm、2cm，振幅之比为，故A错误； B．由图像可知 可得 另一个单摆周期 故周期之比 根据单摆的周期公式 可得两个单摆的摆长之比，故B正确； C．两单摆的振幅之比 可得 单摆的摆角非常小，近似等于，可得，故C错误。 故选B。 3．（1）[1]从释放到最低点过程中，根据动能定理 解得最低点的速度 （2）[2]在最低点，根据牛顿第二定律 解得轻绳拉力大小 （3）[3]在t时间内，根据动量定理 其中，方向竖直向下， 动量变化量，方向水平向右， 则拉力的冲量 4．（1）[1]设左小球碰前速度大小为，碰后速度大小，右小球碰后速度大小为， 由动量守恒定律 由机械能守恒定律 联立可得 （2）[2]由单摆周期公式可知两个小球周期相同为 左小球第一次到达最低点与右小球发生碰撞经时间 以后每半周期两小球碰撞一次，所以两小球发生碰撞的时刻是，n=0，1，2... 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 单摆和共振 目录 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知●识●解●构 知识点01 单摆及单摆的回复力 知识点02 单摆的周期 知识点03 等效单摆 知识点04 利用单摆测量重力加速度实验 知识点05 固有振动、阻尼振动 知识点06 受迫振动和共振 考●向●破●译 考向01 单摆的基本规律 考向02 单摆实验 考向03 阻尼振动的能量变化 考向04 共振及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 选择题 × × × 填空题 × √ × 计算题 × × × 实验题 × × × 综合题 × √ × 考情分析 1．机械振动和机械波的知识点难度不大，知识点比较独立和分散，所以高考的题型比较分散，各种题型都有可能，但总分值不会太高。 2. 单摆实验有一定的典型性，近年都没有出现，所以考查的可能性增加。 3. 考题场景可能为物理模型、生活场景、航空科技、电磁现象。 复习目标 1. 了解单摆以及单摆回复力的来源。 2. 会计算单摆的周期。 3. 了解利用单摆测量重力加速度的实验，以及化曲为直的图像方法。 4. 了解固有振动、阻尼振动和受迫振动的概念和区别。 5. 了解共振是驱动力频率和固有频率相等时振动幅度最大的现象，并理解共振曲线 的含义。 6. 了解共振的利用和防止。 思维建模·脉络梳理 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知●识●解●构 知识点01 单摆及单摆的回复力 1．单摆 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。是理想化模型。 2. 单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。 3. 单摆的回复力 (1) 回复力来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。 ※注意：不能说重力和拉力的合力，因为做变速圆周运动，合力提供向心力和切向力。 (2) 特点：在偏角很小时（摆角<5°），sinθ≈，摆球的切向分力（回复力）F＝Gsinθ＝－x， 即F与位移x成正比，方向总是指向平衡位置，符合简谐运动的条件。 (3) 平衡位置时，向心力最大，回复力为0 因为sinθ＝0，所以回复力F＝0；但做圆周运动v≠0，所以F合＝F向≠0 (4) 最大位移A或处，回复力最大，向心力为0。 因为v＝0，所以向心力＝0，F合＝F回≠0 4．单摆的运动特点 以悬点为圆心做变速圆周运动。因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力． 5．常见的两种简谐振动比较 弹簧振子 单摆 理想化条件 轻弹簧、阻力不计、振子可看成质点 轻绳（质量不计、不可伸长） 阻力不计、摆角<5°、振子可看成质点 回复力 F＝－kx 重力的切线分量： 平衡位置 合力=0 合力≠0 周期 与振幅无关 与振幅，摆球质量无关 能量转化 振子动能和弹簧的弹性势能之间转化 摆球的动能和势能之间相互转化 弹簧振子： 单摆： 知识点02 单摆的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2．单摆的周期 (1) 单摆的周期T＝2π，只与摆长l及重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。 (2) 单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，误差0.01%)。 (3) g应为单摆所在处的重力加速度，l是指从悬点到摆球重心的长度，考虑摆球大小， l＝l′＋， l′为摆线长，d为摆球直径。 知识点03 等效单摆 l等效＝lsin α 做垂直纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π l等效＝R 当半径R远大于小球位移x时，小球做单摆运动 归纳总结 单摆模型 (1) 单摆模型指符合单摆规律的运动模型。满足条件： ①圆弧运动。 ②小角度摆动。 ③回复力F＝－kx。 (2) 知识点04 利用单摆测量重力加速度实验 1．实验原理：由T＝2π知 g＝. 2．实验器材：带孔小钢球一个，细线一条(约1 m长)、铁架台、毫米刻度尺、秒表、或游标卡尺． 3．实验步骤 (1) 把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示． (2) 测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋，即为单摆的摆长． (3) 测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°角度，然后释放摆球，当单摆稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T. (4) 变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T. 4．数据处理 (1) 平均值法：改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值 (2) 图象法：由T＝2π得T2＝l作出T2­l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴． 如图所示，其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g. 5．注意事项和误差分析 (1)摆线要选1 m左右． (2)摆长要悬挂好摆球后再测，先测量摆长再系小球错误．摆线松动g偏小 (3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长． 漏测摆球半径g偏小。 (4)摆球要选体积小、密度大的，这样可以减小空气阻力的影响． (5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动． (6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆． (7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时． (8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．少记录次数g偏小。 注意：摆球质量大小，偏角即振幅大小对测量无影响。 知识点05 固有振动、阻尼振动 1.固有振动 (1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．也叫自由振动，简谐振动。 (2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定。 2.阻尼振动 (1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动。 (2)阻尼振动特点：振幅减小，频率、周期不变(如图)，由系统本身决定。 (3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理。 (4)能量角度：由于摩擦阻力，机械能转化为内能。 机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，E减小，但动能和势能相互转化。 Ep是由位置决定的，因此当Ep相等时，可判断Ek的大小关系。 知识点06 受迫振动和共振 1. 受迫振动 (1)驱动力：对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，这种周期性的外力叫做驱动力． (2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动． (3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 2．共振：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 3．共振曲线及理解 (1)如图所示，当驱动力的频率f与物体的固有频率f0相等时，受迫振动的振幅最大。 (2)对共振曲线的理解 当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小； 当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。 4．发生共振的条件及理解 (1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。 (2)对共振条件的理解： ①从受力角度看：当驱动力的方向跟振动物体的运动方向相同时，加速度为正，振幅增大。 当驱动力的频率等于物体的固有频率时，每一次受力都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。 ②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，振动能量增加，振幅增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。 5．共振的应用与防止 (1)共振现象：音叉共鸣 (2)共振的应用 ①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈． ②实例：转速计、共振筛. (3)共振的防止 ①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好． ②实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速． 归纳总结 简谐运动、阻尼振动、受迫振动、共振的比较 (1)简谐运动是一种理想化的物理模型,物体振动过程中的一切阻力都不考虑，因此实际中并不存在； (2)阻尼振动考虑阻力的影响； (3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到驱动力作用下的振动； (4)共振则是一种特殊的受迫振动。 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振 受力 情况 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用 受阻力和驱动力作用 振幅 不变 变小 稳定后不变 最大 振动周期 (或频率) 由振动系统本身 决定,即固有周期 (或固有频率) 由振动系统本身 决定,即固有周期 (或固有频率) 由驱动力的周期 (频率)决定,即 T受=T驱(f受=f驱) T驱=T固 (f驱=f固) 振动 图像     形状不确定 形状不确定 振动 能量 振动系统的机械能不变 振动系统的机械能减少 驱动力做功对损耗的机械能进行补充 振动物体所获得的能量最大 常见 例子 弹簧振子的振动 用力敲锣,锣面的振动 钟摆的摆动 共振筛 考●向●破●译 考向01 单摆的基本规律 例1. 如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A．t1和t3时刻摆线的拉力大小相等 B．t2和t3时刻摆球速度相等 C．t3时刻摆球速度正在减小 D．t4时刻摆线的拉力正在增大 【变式训练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为1m C．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 考向02 单摆实验 例1.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图象，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示。 (1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________。 (2)由图象求出的重力加速度g＝____________m/s2。(取π2＝9.87) 【变式训练1】（25-26高一下·上海闵行·期末）某同学用单摆测当地重力加速度。 （1）该同学测量了摆线长度l，通过改变l，测得6组对应的周期T。描点，作出图线，如图所示， 图线的横、纵截距分别为和，则重力加速度___________，摆球的直径____________。 （2）实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是________。 A．单摆振动的振幅偏小 B．单摆所用的摆球质量太大了 C．实际测出n次全振动的时间t，误作为（n＋1）次全振动的时间 D．以摆线长作为摆长来计算 考向03 阻尼振动的能量变化 例1.自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是（ ） A．机械能守恒 B. 正在消失 C．总能量守恒，机械能减小 D．只有动能和势能的相互转化 【变式训练1】（多选）如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是（ ） A．振动过程中周期变小 B．振动过程中周期不变 C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能 D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能 考向04 共振及其应用 例1.（多选）如图所示,在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速度释放，在垂直纸面的平面内振动。接着其余各摆也开始振动，当振动稳定后，下列说法中正确的有（ ） A.各摆的振动周期与a摆相同 B.各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 C.各摆均做自由振动 D.各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 例2.为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起，以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的一排等间距减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（ ） A.当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz B.当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸 C.当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害 D.汽车速度越大，颠簸得就越厉害 【变式训练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来．不计空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s C．若使P振动起来，稳定时M比O的振幅小 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s 【变式训练2】（25-26高一下·上海静安·期末）某旅游景点的鱼洗盆如图所示，注入部分水后，某同学用双手不停摩擦鱼洗盆的双耳。盆内水花波动。若鱼洗盆的固有频率为，该同学摩擦鱼洗盆的频率由逐渐增大至，则盆内水花的波动情况是（     ） A．逐渐增强 B．逐渐减弱 C．先减弱后增强 D．先增强后减弱 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 （25-26高一下·上海静安·期末）单摆主要用来计时、测量重力加速度以及证明地球自转。它是物理实验和实际生活中常见的装置，原理简单但用途广泛。 1．下列准备的器材中，适合制作单摆的是（     ） A．乒乓球 B．大的胶木球 C．长的粗绳 D．细的尼龙线 2．某同学依据所测数据绘制两个单摆的振动图像如图所示，则单摆、（     ） A．振幅的比值为 B．摆长的比值为 C．最大摆角的比值为 3．如图（a）所示，将一根不可伸长的轻绳，一端固定在点，另一端系一质量为的小球，制作成一个摆长为的单摆。将小球拉至轻绳水平，由静止释放，经过时间，小球第一次运动至最低点。不计空气阻力，重力加速度大小为。 （1）小球在最低点的速度大小为____________； （2）小球在最低点受到的轻绳拉力大小为____________； （3）在时间内，轻绳对小球拉力的冲量大小为____________； 4．将一根不可伸长的轻绳，一端固定在点，另一端系一质量为的小球，制作成一个摆长为的单摆；在点右侧等高处点静止悬挂一摆长为、小球质量为的单摆，如图（b）所示。现将左侧小球向左拉开一小角度（小于）后由静止释放，两球在最低点发生弹性碰撞。 （1）（计算）求左、右两小球第一次碰撞后的速度大小之比_______； （2）从左侧小球静止释放开始计时，两小球发生碰撞的时刻是____________。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $