2.3.1 直线的交点坐标与距离公式（七大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线交点坐标与距离公式，以七类递进题型构建从基础计算到综合应用的训练体系，强化方程思想与几何直观的结合，培养数学思维与坐标表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求交点坐标|4题|直接求解交点及几何应用（如欧拉线）|从代数方程组求解到几何意义理解| |方程组解判断位置关系|4题|通过解的个数判断平行、相交、重合|方程解与直线位置关系的对应| |交点个数求参数|4题|含参数直线交点个数的参数范围讨论|参数对直线位置关系的影响分析| |交点坐标求参数|4题|交点位置（象限）及围成三角形的参数条件|坐标特征转化为不等式求解| |三线围成三角形|4题|三线平行或共点的参数排除|直线位置关系的综合判断| |交点系方程及应用|4题|定点问题及轨迹方程推导|交点系方程的参数分离技巧| |坐标法应用|4题|几何图形中交点坐标的综合求解|几何问题代数化的坐标法应用|

2.3.1 直线的交点坐标与距离公式 题型一 求直线交点坐标 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标，从而选出选项. 【详解】因为点､，的垂直平分线方程为， 又因为外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又因为， 所以的外接圆方程为. 设，则三角形的重心在欧拉线上， 即，整理得：， 又因为在外接圆上，得， 联立，解得：或， 所以顶点的坐标可以是或， 故选：AD. 3．直线和直线的交点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据直线交点的性质，联立直线方程求出交点坐标． 【详解】设直线交点坐标为，则交点位于直线上， 联立直线方程，解得， 直线交点坐标为． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 5．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 6．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 7．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 8．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 题型三 由直线的交点个数求参数 9．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 10．若与的图形有两个交点，则的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】在同一直角坐标系中作出与的图形，数形结合即可得解. 【详解】表示关于轴对称的两条射线， 表示与平行的直线，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知. 故选：CD. 11．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 12．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 题型四 由直线的交点坐标求参数 13．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 14．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 15．已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 16．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 题型五 三线能围成三角形的问题 17．已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 18．设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 19．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 20．已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解； （2）联立直线与的方程即可得解； （3）分别求得，在坐标轴上的截距，结合图象，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，的中点为 ，， 所以直线的斜率为，则其方程为，即. （2）联立直线与的方程，，解得， 所以直线与的交点坐标为，不妨记为. （3）对于直线，它在轴的截距为； 对于直线：，它在轴的截距分别为；    结合图象可知，线，与坐标轴所围成的三角形为，其中，， 所以. 题型六 直线交点系方程及应用 21．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 22．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断； B.根据含参直线过定点问题，即可判断； C.取特殊点，即可判断； D.首先求交点的坐标，代入两点间距离公式，即可判断. 【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B,无论为何值，直线过定点，过定点，故B正确； 对于C，（0，0）能使方程成立，但不能使直线方程成立，故C不正确； 对于D，联立，解得，即， 所以，所以的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 23．直线恒过定点_______ 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 24．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 【答案】(1)直线过定点，证明见详解； (2) 【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明. （2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程. 【详解】（1）证明：方程化为： ， 由直线系方程的性质有：，解得， 故直线恒过点 （2）设直线， 则由题意得：，解得， 所以直线，即， 所以所求直线方程为：. 题型七 坐标法的应用——交点坐标 25．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率， ，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为， 则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为. 故选：A. 26．如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（    ）    A．翻折过程中，动点在圆弧上运动 B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧 C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则． D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为 【答案】AD 【分析】A选项，由题可知点P为以D为顶点的圆锥底面圆周上的点，即可判断选项正误；B选项，如图，可证动点在平面的射影在过A点且与DF垂直的线段上，即可判断选项正误；C选项，结合B选项分析，可知与为同一等腰三角形的顶角和底角，即可判断选项正误；D选项，由题可得K点为在平面的射影轨迹与DC交点，如图建立平面直角坐标系，表示出K点坐标，即可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到翻折过程中，点P到D点距离不变， 则P为以D为顶点，DP为母线的圆锥底面圆周上的点， 即动点在圆弧上运动，故A正确； B选项，如图，作，连接PH，则， 因平面PHA，则平面PHA. 作，又平面PHA，则PI， 又，平面，则平面. 则在翻折过程中，动点在平面的射影在过A点且与DF垂直的直线上， 即动点在平面的射影的轨迹为一段线段，故B错误； C选项，由B选项分析可知，二面角的平面角为， 直线与平面所成角为， 则可知与为同一等腰三角形的顶角和底角，则. 则当时，，故C错误； D选项，结合B选项分析，当平面平面时，点P在线段DC正上方. 则K点为在平面的射影轨迹与DC交点， 即为DF过A点垂线与DC交点. 如图，建立以D为原点的平面直角坐标系，则. 又由题设，其中，则， 因，则，令， 则，故D正确. 故选：AD         27．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 28．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)最小值为，此时直线的方程为. 【分析】（1）直线变形为，得到方程组，求出直线恒过点，又在上，从而证明出结论； （2）先根据题意得到直线的斜率存在且大于0，故，得到点的坐标，得到，表达出，换元后得到最值，进一步得到直线的方程. 【详解】（1）直线变形为， 令，解得，故直线恒过点， 又，故点在上， 故直线与直线总有公共点； （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 故直线的斜率存在且大于0，故， 中，令，得， 中，令，得， 显然，解得， 则， 令， 则， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16， 此时，，直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 直线的交点坐标与距离公式 题型一 求直线交点坐标 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．直线和直线的交点的坐标为__________． 4．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 5．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 6．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 7．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 8．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 题型三 由直线的交点个数求参数 9．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 10．若与的图形有两个交点，则的取值可能为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 11．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 12．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 题型四 由直线的交点坐标求参数 13．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 15．已知三条直线与相交于一点，则___________. 16．已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 题型五 三线能围成三角形的问题 17．已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 18．设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 19．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 20．已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 题型六 直线交点系方程及应用 21．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 22．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）． A．不论a为何值时，与都互相垂直 B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为 D．如果与交于点，则的最大值是 23．直线恒过定点_______ 24．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 题型七 坐标法的应用——交点坐标 25．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（    ）    A．翻折过程中，动点在圆弧上运动 B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧 C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则． D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为  27．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 28．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $