圆的轨迹识别讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的轨迹识别核心知识点，系统梳理五大轨迹模型（定义圆、单位圆、直角隐圆、阿波罗尼斯圆、中点相关点轨迹），通过直接法、相关点法等求解方法，结合七大题型分类构建从模型识别到方程求解再到综合应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过模型化分类培养数学眼光（快速识别题干隐藏圆），题型标准模板强化数学思维（逻辑推理与规范步骤），结合北京高考真题实例提升数学语言表达（轨迹方程书写与参数范围求解）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过易错点总结和模板应用查漏补缺。

圆的轨迹识别专题（解析版） 一、北京高考 / 高二考纲核心要求 1. 掌握五大轨迹模型：定义圆、单位圆、直角隐圆、阿波罗尼斯圆、中点相关点轨迹，能快速识别题干隐藏圆； 2. 熟练运用直接法、相关点（中点法）求轨迹方程，规范标注定义域限制条件； 3. 将 “存在点满足垂直、距离比例” 条件转化为两圆有公共点，求解参数取值范围； 4. 结合轨迹圆求解线段最值、距离最值、三角形面积、向量数量积最值； 5. 综合直线恒过定点、垂径定理、切线性质，解决轨迹类解答大题。 二、基础核心知识点（五大轨迹模型） 模型 1：定义圆（定点定长型） 1. 判定条件：动点P到定点C的距离恒为定值r，即 2. 轨迹标准方程：，圆心，半径r 3. 常见题干场景 · 动圆圆心到定点距离恒等于半径； · 直线上动点到定点距离固定； · 为单位圆上动点。 4.定点到圆上点最值结论 最小值：；最大值：（Q为平面定点） 模型 2：单位圆（三角坐标隐圆） 点坐标，隐含轨迹方程： 解题技巧：所有含的距离、斜率最值，全部转化为直线与单位圆位置关系求解。 模型 3：直角隐圆（直径型，北京高频考点） 1. 判定 1：(PA⊥PB)或 轨迹：以线段AB为直径的圆，必须剔除 A、B 两点（三点无法构成三角形） 圆心：AB中点；半径： 2. 判定 2：两条动直线分别过定点且互相垂直，交点为P (l1⊥l2)，定点(A、B)，则P轨迹是以AB为直径的圆。 3. 判定 3：过圆外一点作两条切线，切点中点轨迹为圆。 模型 4：阿波罗尼斯圆（距离比例型） 1. 判定条件：动点P到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)， 2. 标准推导步骤 ① 设动点； ② 代入两点距离公式，等式两边平方消根号； ③ 展开整理为圆的标准 / 一般方程。 3. 关键区分 ：轨迹为线段AB垂直平分线（直线，非圆）； (k≠1)：轨迹为圆，常考面积、线段最值。 模型 5：相关点轨迹（中点轨迹） 1. 题干特征：已知动点E在定圆上，M是定点D与E的中点，求M轨迹 2. 固定四步解法 ① 设中点，圆上动点； ② 中点公式变形：(x0=2x-xD，y0=2y-yD)； ③ 将代入定圆方程； ④ 化简得到M的轨迹圆方程（一般无定义域限制）。 3. 三、通用轨迹求解两大基础方法 1. 设动点坐标； 2. 将题干文字条件转化为距离 / 向量等式； 3. 等式平方去根号，展开合并同类项； 4. 标注需要剔除的点（直角隐圆必写x≠xA，xB）。 四、七大题型分类 + 标准作答模板 题型一：定义圆、单位圆识别与最值求解 1. 识别，写出圆心、半径； 2. 计算外部定点到圆心的距离d； 3. 代入最值公式：最小值，最大值。 1. 提取两定点(A、B)； 2. 求中点（圆心）、半弦长（半径），写出圆方程； 3. 题干 “存在点P满足直角” 等价于：隐圆与已知直线 / 定圆有公共点； 4. 根据两圆位置关系列不等式：(|r1-r2|≤圆心距≤r1+r2)，解参数。 易错提醒 轨迹方程后必须标注剔除(A、B)两点。 1. 设动点，列出； 2. 两边平方化简，得到圆方程； 3. 利用圆心加减半径求解距离、面积最值。 典型考法 三角形面积最大值、线段长度最值。 题型四：中点相关点轨迹 固定模板 1. 设中点、圆上动点； 2. 利用中点公式反代(x0=2x-x定，y0=2y-y定)； 3. 代入定圆方程，化简得轨迹。 常考题型 动弦中点、线段中点轨迹，搭配弦长计算。 题型五：两条垂直动直线交点轨迹 识别标志 1. 分离参数，求出两条直线恒过定点(A、B)； 2. 交点P轨迹是以AB为直径的圆； 3. 结合圆几何性质求距离、斜率最值。 题型六：存在性求参数范围（大题高频） 题干：圆上存在点P，满足(PA⊥PB)或 转化思路：满足条件的P构成隐圆，两图形有公共点； 通用不等式：|r1-r2| ≤ 两圆圆心距 ≤ r1+r2，解不等式得到参数区间。 题型七：轨迹与直线综合（弦长、面积） 1. 先求出动点轨迹圆方程； 2. 垂径定理求弦长：（d为圆心到直线距离）； 3. 三角形面积底 × 高，高取圆上点到直线最大 / 最小距离。 五、高频易错扣分点 1. 直角隐圆遗漏剔除直径端点(A、B)，丢失定义域扣分； 2. 混淆阿波罗尼斯圆（直线）与(k≠1)（圆）两种情况； 3. 看到无法识别单位圆，复杂联立计算； 4. 相关点法坐标代换写反，出现类错误； 5. 两圆有公共点只写单侧不等式，缺少(|r1-r2|≤圆心距； 6. 轨迹方程不化简，保留根号、分式，步骤失分； 7. 垂直动直线题型不会分离参数找定点； 8. 圆上点最值直接用半径，忘记圆心距 ± 半径规则。 六、北京期中 / 高考应试答题技巧 1. 选择填空看到垂直、定长条件，优先构造隐圆，不联立方程； 2. “存在点满足直角” 统一转化两圆相交模型，直接列不等式； 3. 中点轨迹直接套用相关点代换，快速出方程； 4. 三角坐标默认单位圆，数形结合秒杀斜率、距离； 5. 解答题求轨迹分三步书写：设点→列式→化简，定义域单独标注； 6. 最值通用口诀：圆上点到定点：远加近；圆上点到直线：远加近减； 7. 弦中点轨迹优先用垂径定理构造小圆； 8. 参数范围大题，先写出两个圆的圆心、半径，再写双向不等式。 类型一：圆的定义识别 1．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】设圆心为，分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】设圆心为，，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 且，即点在圆外， 所以圆心到原点的距离的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解. 【详解】由题设，半径为1的动圆经过坐标原点， 可知圆心的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即 则该圆上的点到直线的距离的最大值为 又，，，即 故距离的最大值为3 故选：C 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为_________. 【答案】（且） 【分析】求出的中点，且，故点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，求出答案. 【详解】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 4．（25-26高二上·北京·期末）已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出得到点P在以O为圆心、半径为的圆上即可计算求解. 【详解】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，， 所以， 所以点P在以O为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故选：D    5．（22-23高二上·北京通州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若动点与点的距离等于2，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意将圆心坐标代入直线，得，再根据圆经过点，则可得到半径，最后写出标准方程即可. （2）根据圆的定义可得到点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，最后写出标准方程即可. 【详解】（1）将圆心坐标代入直线得，则，所以圆心坐标为， ，故圆的标准方程为. （2）由点与点的距离等于2，则点是以点为圆心，半径为2的圆， 所以点的轨迹方程为. 6．（21-22高二上·北京丰台·期末）已知A(1，0)，B(0，1)两点，点到点(1，0)的距离为1，则ABC面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，根据点到点(1，0)的距离为1，得到点C的轨迹是圆，再求得圆上的点到直线AB的最大值即可. 【详解】设， 因为点到点(1，0)的距离为1， 所以，表示以为圆心，以为半径的圆， 直线， 圆心到直线AB的距离为， 所以点C到直线AB的最大值为， 所以， 故选：C 7．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______． 【答案】 6 【分析】对直线方程变形可求出直线l所过定点的坐标，由题意可得动点N在以为圆心，1为半径为圆上，所以当时，点N到直线l的距离最大，最大值为 【详解】由，得， 则，得， 所以直线l所过定点， 因为点，动点N满足， 所以动点N在以为圆心，1为半径为圆上， 所以当时，点N到直线l的距离最大， 所以d的最大值为， 故答案为：，6 类型二：三角单位圆 1．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】问题转化为圆的圆心到直线的距离的最大值加上圆的半径即可得到. 【详解】因为，即， 所以的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆， 直线过定点，如图所示： 过作，垂足为，则 所以点到直线的距离的最大值为， 当与重合，即时，直线，等号成立. 所以点到直线的距离的最大值为3. 故选：C. 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】由点坐标知道点的轨迹是以原点为圆心的单位圆圆周，本题求两定圆上两动点距离的最大值，利用几何关系求解. 【详解】由知圆心为，半径为， 又，所以Q点的轨迹方程为， 则圆心为，半径， 故，所以．故选：B． 类型三：直角定圆 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由知点P的轨迹方程是以 AB 为直径的圆，将问题等价于圆与圆：有公共点即可求解. 【详解】因为，所以， 因此点 P 必在以 AB 为直径的圆上，圆心为，半径为 ， 因为圆：圆心为 ，半径为， 所以两圆的圆心距为 问题等价于圆与圆：有公共点， 所以，即，解得. 则的最小值为2. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 3．（24-25高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知直线与直线，满足， 故两直线垂直， 直线过定点，直线过定点， 故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点）， 该圆方程为，设其圆心为，半径为3， 则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 4．（24-25高二上·北京·期末）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得以直线上的点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由，得点在以线段为直径，中点为圆心的动圆上， 令圆的圆心为，则，当且仅当时取等号， 而点在圆上，则圆与圆必有公共点，显然点在圆外，于是， 又有最小值2，无最大值，因此无最大值，， 所以的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 6．（25-26高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及两点距离公式求出的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，再令 ，，应用向量数量积的坐标表示、三角恒等变换有 ，结合余弦函数的性质求最大值. 【详解】设，且，则， 所以，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 所以，可设 ，， 由， 所以 ，而， 当时，最大值为. 故选：C 7．（22-23高二上·北京丰台·期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为直径的圆与圆有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆上存在点，使得， 所以，以为直径的圆与圆有公共点， 因为以为直径的圆的方程为，圆心为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以，，即 所以，的最大值为 故选：C 8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由得 ， 故 由得， 由得，设 ，则 ， 即，即点C轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则， 整理得 ，代入到中， 得： ，即C轨迹的圆心在圆上， 故点（1,1）到点距离的最大值为 ， 故选：B 9．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求得两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 则， 当且仅当点为射线与圆的交点，点为射线与圆的交点时等号成立， 又， 所以点到点的距离的最大值为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可知可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），且圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系列式求解即可. 【详解】因为， 可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），即圆心为，半径的圆， 且圆：的圆心为，半径， 由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即，且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 11．（25-26高二上·北京·期中）已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据几何关系求点的轨迹方程，再求最值. 【详解】设， 由条件可知，点是的中点，所以， 所以， 即，整理为：， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点到的最大值为，三角形面积的最大值为          故选：C 12．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径， 点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点． 圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ， 点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为， 圆心距， 剔除点，则，即． 故选：D． 13．（2022·广东江门·模拟预测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点， 显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，， 所以的取值范围是：. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 14．（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.    故选：A． 15．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 16．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为__________． 【答案】． 【分析】两直线方程联立消去参数得点轨迹方程，轨迹为圆，由到圆心距离加半径得所求最大值． 【详解】由，消去参数得， 所以点在圆上，圆心为，圆半径为1， ，所以， 故答案为：． 17．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 18．（23-24高二上·北京·期中）设点，，直线，于点，则的最大值为___________. 【答案】6 【分析】先求出直线过定点，再根据条件求出点的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值． 【详解】直线，则， 则，解得，，即直线恒过点， 设， ，， ，即， 故点的轨迹为， 该轨迹是以为圆心，半径为1的圆， ． 故答案为：6. 19．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先由得到的轨迹是圆，从而将问题转化为两圆有公共点的问题，由此得解. 【详解】因为，所以的轨迹是以的中点（即原点）为圆心，为直径的圆，其半径为， 因为同时是圆上的点，所以圆与圆有公共点， 因为圆，圆心，半径为， 所以，则，解得， 故的最小值为． 故答案为：. 20．（25-26高二上·北京东城·期中）已知圆经过，两点，圆心在直线上，过点的直线与圆相交于，两点． (1)求圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)点为圆上的一个动点，若点，满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）设圆心为，由圆心到两已知点距离相等及圆心在已知直线上列方程组求得，再计算出半径得圆标准方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率不存在和存在两种情形求解，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式计算求解； （3）由，求出的最大值和最小值后即可得结论． 【详解】（1）设圆心为，则， 解得， 圆半径为， 圆方程为； （2），则圆心到直线的距离为， 斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设方程为，即， ，解得，直线方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）由于是中点，， 由可知在以为直径的圆上，故，，故 所以， 所以故． 类型四：阿氏圆 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接法可得点的轨迹方程，即可得点到直线的距离的取值范围，即可得面积的最值. 【详解】    如图所示，以中点为坐标原点，方向为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，， 设，则，， 由动点与，距离之比为， 则， 化简可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以当，，不共线时，点到直线的距离， 则， 即面积的最大值为， 故选：D. 2．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】求出点的轨迹方程为圆，数形结合得高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】设，由， 得，化简整理得， 即点的轨迹为圆，半径为， 由于，所以当边上高最大时，的面积最大， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出点轨迹方程得其轨迹是圆，，由此求出的最小值即可得． 【详解】设， 由得，化简得， 所以点轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， ， 显然当是线段与圆的交点时，为最小值． 所以 故选：D． 4．（2022·四川成都·模拟预测）已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】B 【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断. 【详解】设,由题意可知, 整理得,点的轨迹方程为, 其图形是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为,半径为1, 可得两圆的圆心距为3,等于, 则动点的轨迹与圆的位置关系是外切. 故选：B. 5．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式列式求解即可. 【详解】解：因为点和点，动点， 所以， 又因为其满足， 所以，整理得： 所以点的轨迹方程为. 故选：D 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为__________.已知平面内的两个相异定点，，动点满足，记的轨迹为，若与无公共点的直线上存在点，使得的最小值为6，且最大值为10，则圆的周长为__________. 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用给定关系列式化简即得；由圆上的点到直线距离最值求出圆半径即可. 【详解】设点，由，得，化简得； 依题意，的轨迹为是圆，设其圆心为点，半径为，显然直线与圆相离， 令点到直线的距离为d，则有，解得， 所以圆的周长为. 故答案为：； 7．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为__________，的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】首先设，利用两点间距离公式表示，即可求解轨迹方程，再求圆上点到距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】设， 则，整理为， 点到的距离的最大值为2，所以的面积的最大值为. 故答案为：；3 8．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据半径求出圆的半径，即可求出圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）设，根据求出点的轨迹方程，依题意直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点， 则圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得. （3）设，因为，即， 即，即点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在直线上，即直线与圆有公共点， 所以，解得，即的取值范围为. 9．（23-24高二上·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，根据，即可求出动点P的轨迹方程； （2）求弦长和原点O到直线的距离，表示出的面积，列方程求出的值，可得直线的方程. 【详解】（1）设，点，则由，得， ∴动点P的轨迹C的方程为． （2）轨迹C是以为圆心，2为半径的圆， 圆心到直线的距离为，则弦长， 坐标原点O到直线的距离为， 则有， 解得，即， 求直线的方程为或. 10．（22-23高二上·北京·期中）已知点为坐标原点，，动点使得. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为，过点的直线与交于两点、，若，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）先设点，根据题中等量关系列出等式，化简整理，即可得出结果； （2）先由（1）得到为以为圆心，以为半径的圆，设的中点为，连结，，求出点到直线的距离为2，分别讨论所求直线斜率存在和斜率不存在两种情况，结合题中条件，即可求出直线方程. 【详解】（1）设点，则，. 由题意，. 整理得：， 即点的轨迹方程为， （2）由（1）得，为以为圆心，以为半径的圆，设的中点为，连结，. 由垂径定理，. 则 即点到直线的距离为2. （i）当直线的斜率不存在时，：，经检验符合题意； （ii）当直线的斜率存在时，设：，即 所以，解得：； 所以，：，即. 综上，直线的方程为或. 【点睛】思路点睛： 已知圆的弦长求弦所在直线方程时，一般需要先考虑直线的斜率是否存在，设出直线方程，再由圆的性质，根据垂径定理，得到圆心到直线的距离，由点到直线距离公式，列出方程求解，得出直线的斜率，即可求出直线方程. 类型五：由已知轨迹确定动点轨迹 1．（22-23高一上·河南开封·期末）已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意设出Q的坐标，根据勾股定理得到Q的轨迹方程，求出的最大值，根据即可求解. 【详解】解：如图所示： 取的中点Q，连、， 由圆的性质可知， 由可知：， 设点Q的坐标为， 在中，， 即  ，整理为， 可化为， 故Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 的最大值为， 故． 故选：D. 2．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，圆 ，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的轨迹方程，利用两圆相交或相切的位置关系，即可求出的取值范围. 【详解】设，， ，即， 圆上存在点，使得， 所以两圆相交或相切， ，即， . 故选：B. 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 4．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】因为点在直线上，所以， 即，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 由题意直线OP的斜率存在，设直线OP方程为， 因为直线OP与圆有公共点， 所以圆心到直线OP的距离小于等于半径， 所以有 故选：B 5．（24-25高二上·北京·阶段检测）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案. 【详解】连接，则.圆的圆心为，半径为； 又，所以四边形为正方形，所以， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 则该圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：C 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，根据条件确定出中点的轨迹方程，结合以及轨迹方程即可求解出的最小值. 【详解】设中点为，如下图所示： 因为为中点，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以的轨迹方程为， 又因为，所以， 因为在上，在圆上， 所以即为圆心到直线的距离再减去圆的半径， 所以， 所以的最小值为， 故选：C. 7．（25-26高二上·北京·期中）已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为______；当最大时，点P的横坐标为______． 【答案】 【分析】先设点，利用向量坐标运算表示，再利用向量数量积的坐标表示求出的表达式，最后根据二次函数性质求最小值；当最大时，以为弦的圆与直线相切，根据圆的性质和直线方程求出点的横坐标． 【详解】设点，点P为直线上的动点，， ， ， 令，函数图像开口向上，对称轴为， 当时，函数取得最小值，即取得最小值，最小值为； 当最大时，以为弦的圆与直线相切，此时圆心在的垂直平分线轴上，设圆心坐标，半径为，则， 圆与直线相切，则圆心到直线的距离， ，化简得，解得， 半径越小，圆周角越大， ，则圆心， 圆与直线相切，，设直线斜率为，则，解得， 直线的方程为：，即， 点是直线与的交点， 联立，解得， 点P的横坐标为． 故答案为：． 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】（1）设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. （2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 9．（23-24高二上·北京·期中）已知两定点、，动点P满足条件___，求动点P的轨迹方程．请从下列条件中任选一个补充到横线上，并在此条件下完成题目． 条件①：直线PM与直线PN垂直； 条件②：点P到M、N两点距离平方之和为20； 条件③：直线PM与直线PN斜率之积为4． （注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 【答案】 选择条件① 设点P的坐标为， ∵直线PM与直线PN垂直， 法一：当，时，，，则， 即， 化简得， 当时，此时易知，点P的坐标为，满足上述方程， 当时，此时易知，点P的坐标为，满足上述方程， 经检验：点P的轨迹方程为（M，N除外）； 法二：，，， 则， 化简得； 选择条件② 设点P的坐标为， ∵P到两定点，的距离平方和为20， ∴即， 化简得， 经检验所求轨迹方程为， 选择条件③ 设点P的坐标为（，） ∵直线PM与直线PN斜率之积为4， ∴，，则， 即， 化简得， 经检验所求轨迹方程为（，）. 【分析】根据题意，列出动点P满足的方程，化简即得轨迹方程. 【详解】略 10．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）设，利用相关点法求点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 可得，解得. （2）设， 因为点，且为的中点，则， 又因为点在圆上，则，整理得， 所以点的轨迹方程为. 11．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解； （2）设出点坐标，根据题意求解出点坐标，代入圆后解得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 12．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足. (1)当的坐标为时，求的坐标； (2)求点的轨迹方程； (3)求的最小值与最大值. 【答案】(1)或 (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】（1）分析可知点的横坐标为，将代入圆的方程，可求得点的坐标； （2）分析可知，利用两点间的距离公式、勾股定理化简可得出点的轨迹方程； （3）利用圆的几何性质求出的最小值和最大值，结合可求得结果. 【详解】（1）解：由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为， 将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或. （2）解：设点，因为，为的中点，则， 连接，则，且， 所以，，整理可得， 因此，点的轨迹方程为. （3）解：因为，则点在圆内， 记圆的圆心为，半径为，则， 则，即， 所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值， 当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值， 所以，. 因此，的最小值为，最大值为. 13．（22-23高二上·北京东城·期末）已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0. （Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径； （Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程； （Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（Ⅱ）(x+5)2+(y-12)2=169；（Ⅲ）x2+y2+5x-14y+24=0. 【详解】试题分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（Ⅱ）设圆的半径为，圆心纵坐标为，由已知条件列出方程，求出与，由此能求出圆的方程；（Ⅲ）设，根据列出且，化简可得到的轨迹方程. 试题解析：（Ⅰ）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. （Ⅱ）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13. 此时圆心纵坐标b=r-1=12. 所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=169. （Ⅲ）设M(x,y)，依题意有DM⊥PM. 即（x≠0且x≠-5）， 整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x≠0且x≠-5）. 当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意. 故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0. 点睛：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设是轨迹上的任意一点；②寻找动点所满足的条件；③用坐标表示条件，列出方程；④化简方程为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的轨迹识别专题（原卷版） 一、北京高考 / 高二考纲核心要求 1. 掌握五大轨迹模型：定义圆、单位圆、直角隐圆、阿波罗尼斯圆、中点相关点轨迹，能快速识别题干隐藏圆； 2. 熟练运用直接法、相关点（中点法）求轨迹方程，规范标注定义域限制条件； 3. 将 “存在点满足垂直、距离比例” 条件转化为两圆有公共点，求解参数取值范围； 4. 结合轨迹圆求解线段最值、距离最值、三角形面积、向量数量积最值； 5. 综合直线恒过定点、垂径定理、切线性质，解决轨迹类解答大题。 二、基础核心知识点（五大轨迹模型） 模型 1：定义圆（定点定长型） 1. 判定条件：动点P到定点C的距离恒为定值r，即 2. 轨迹标准方程：，圆心，半径r 3. 常见题干场景 · 动圆圆心到定点距离恒等于半径； · 直线上动点到定点距离固定； · 为单位圆上动点。 4.定点到圆上点最值结论 最小值：；最大值：（Q为平面定点） 模型 2：单位圆（三角坐标隐圆） 点坐标，隐含轨迹方程： 解题技巧：所有含的距离、斜率最值，全部转化为直线与单位圆位置关系求解。 模型 3：直角隐圆（直径型，北京高频考点） 1. 判定 1：(PA⊥PB)或 轨迹：以线段AB为直径的圆，必须剔除 A、B 两点（三点无法构成三角形） 圆心：AB中点；半径： 2. 判定 2：两条动直线分别过定点且互相垂直，交点为P (l1⊥l2)，定点(A、B)，则P轨迹是以AB为直径的圆。 3. 判定 3：过圆外一点作两条切线，切点中点轨迹为圆。 模型 4：阿波罗尼斯圆（距离比例型） 1. 判定条件：动点P到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)， 2. 标准推导步骤 ① 设动点； ② 代入两点距离公式，等式两边平方消根号； ③ 展开整理为圆的标准 / 一般方程。 3. 关键区分 ：轨迹为线段AB垂直平分线（直线，非圆）； (k≠1)：轨迹为圆，常考面积、线段最值。 模型 5：相关点轨迹（中点轨迹） 1. 题干特征：已知动点E在定圆上，M是定点D与E的中点，求M轨迹 2. 固定四步解法 ① 设中点，圆上动点； ② 中点公式变形：(x0=2x-xD，y0=2y-yD)； ③ 将代入定圆方程； ④ 化简得到M的轨迹圆方程（一般无定义域限制）。 3. 三、通用轨迹求解两大基础方法 1. 设动点坐标； 2. 将题干文字条件转化为距离 / 向量等式； 3. 等式平方去根号，展开合并同类项； 4. 标注需要剔除的点（直角隐圆必写x≠xA，xB）。 四、七大题型分类 + 标准作答模板 题型一：定义圆、单位圆识别与最值求解 1. 识别，写出圆心、半径； 2. 计算外部定点到圆心的距离d； 3. 代入最值公式：最小值，最大值。 1. 提取两定点(A、B)； 2. 求中点（圆心）、半弦长（半径），写出圆方程； 3. 题干 “存在点P满足直角” 等价于：隐圆与已知直线 / 定圆有公共点； 4. 根据两圆位置关系列不等式：(|r1-r2|≤圆心距≤r1+r2)，解参数。 易错提醒 轨迹方程后必须标注剔除(A、B)两点。 1. 设动点，列出； 2. 两边平方化简，得到圆方程； 3. 利用圆心加减半径求解距离、面积最值。 典型考法 三角形面积最大值、线段长度最值。 题型四：中点相关点轨迹 固定模板 1. 设中点、圆上动点； 2. 利用中点公式反代(x0=2x-x定，y0=2y-y定)； 3. 代入定圆方程，化简得轨迹。 常考题型 动弦中点、线段中点轨迹，搭配弦长计算。 题型五：两条垂直动直线交点轨迹 识别标志 1. 分离参数，求出两条直线恒过定点(A、B)； 2. 交点P轨迹是以AB为直径的圆； 3. 结合圆几何性质求距离、斜率最值。 题型六：存在性求参数范围（大题高频） 题干：圆上存在点P，满足(PA⊥PB)或 转化思路：满足条件的P构成隐圆，两图形有公共点； 通用不等式：|r1-r2| ≤ 两圆圆心距 ≤ r1+r2，解不等式得到参数区间。 题型七：轨迹与直线综合（弦长、面积） 1. 先求出动点轨迹圆方程； 2. 垂径定理求弦长：（d为圆心到直线距离）； 3. 三角形面积底 × 高，高取圆上点到直线最大 / 最小距离。 五、高频易错扣分点 1. 直角隐圆遗漏剔除直径端点(A、B)，丢失定义域扣分； 2. 混淆阿波罗尼斯圆（直线）与(k≠1)（圆）两种情况； 3. 看到无法识别单位圆，复杂联立计算； 4. 相关点法坐标代换写反，出现类错误； 5. 两圆有公共点只写单侧不等式，缺少(|r1-r2|≤圆心距； 6. 轨迹方程不化简，保留根号、分式，步骤失分； 7. 垂直动直线题型不会分离参数找定点； 8. 圆上点最值直接用半径，忘记圆心距 ± 半径规则。 六、北京期中 / 高考应试答题技巧 1. 选择填空看到垂直、定长条件，优先构造隐圆，不联立方程； 2. “存在点满足直角” 统一转化两圆相交模型，直接列不等式； 3. 中点轨迹直接套用相关点代换，快速出方程； 4. 三角坐标默认单位圆，数形结合秒杀斜率、距离； 5. 解答题求轨迹分三步书写：设点→列式→化简，定义域单独标注； 6. 最值通用口诀：圆上点到定点：远加近；圆上点到直线：远加近减； 7. 弦中点轨迹优先用垂径定理构造小圆； 8. 参数范围大题，先写出两个圆的圆心、半径，再写双向不等式。 类型一：圆的定义识别 1．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为_________. 4．（25-26高二上·北京·期末）已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·北京通州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若动点与点的距离等于2，求点的轨迹方程. 6．（21-22高二上·北京丰台·期末）已知A(1，0)，B(0，1)两点，点到点(1，0)的距离为1，则ABC面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______． 类型二：三角单位圆 1．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 类型三：直角定圆 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 2．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25高二上·北京·期末）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·北京丰台·期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为__________. 10．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京·期中）已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 12．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2022·广东江门·模拟预测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 15．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 16．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为__________． 17．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 18．（23-24高二上·北京·期中）设点，，直线，于点，则的最大值为___________. 19．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最小值为___________． 20．（25-26高二上·北京东城·期中）已知圆经过，两点，圆心在直线上，过点的直线与圆相交于，两点． (1)求圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)点为圆上的一个动点，若点，满足，直接写出的取值范围． 类型四：阿氏圆 1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（    ） A． B．8 C． D． 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·四川成都·模拟预测）已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 5．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为__________.已知平面内的两个相异定点，，动点满足，记的轨迹为，若与无公共点的直线上存在点，使得的最小值为6，且最大值为10，则圆的周长为__________. 7．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为__________，的面积的最大值为__________. 8．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 9．（23-24高二上·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的面积为，求直线的方程. 10．（22-23高二上·北京·期中）已知点为坐标原点，，动点使得. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为，过点的直线与交于两点、，若，求直线的方程. 类型五：由已知轨迹确定动点轨迹 1．（22-23高一上·河南开封·期末）已知A、B是圆O：上两个动点，点P的坐标为，若，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，圆 ，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·阶段检测）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 7．（25-26高二上·北京·期中）已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为______；当最大时，点P的横坐标为______． 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 9．（23-24高二上·北京·期中）已知两定点、，动点P满足条件___，求动点P的轨迹方程．请从下列条件中任选一个补充到横线上，并在此条件下完成题目． 条件①：直线PM与直线PN垂直； 条件②：点P到M、N两点距离平方之和为20； 条件③：直线PM与直线PN斜率之积为4． （注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 10．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 11．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 12．（22-23高二上·北京大兴·期中）已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足. (1)当的坐标为时，求的坐标； (2)求点的轨迹方程； (3)求的最小值与最大值. 13．（22-23高二上·北京东城·期末）已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0. （Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径； （Ⅱ）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程； （Ⅲ）过点P(0,2)的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $