第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）讲义（知识清单+6类热点题型讲练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线与平面所成角，系统梳理射影定义、角的范围（0°到90°）及传统法（定义法、等体积法）、向量法（方向向量与法向量关系），构建从概念到解法的完整学习支架。 资料以分层题型（定值、最值、参数、探索性、易错）为特色，典例与变式结合，通过多面体、圆锥等实例培养空间观念（数学眼光）、推理运算能力（数学思维）及模型应用（数学语言），课中助力教学，课后便于学生查漏补缺。

第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：直线与平面所成角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 5、利用向量法求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 第二部分 题型精讲 题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】（25-26高一下·河北承德·期末）在多面体中，底面为矩形，，，，平面，则直线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，为母线的中点，是底面圆圆周上的点，为等边三角形，则直线与平面所成角的余弦值为_______． 【变式1】（25-26高一下·甘肃白银·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·辽宁·期末）若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________. 【变式3】（25-26高一下·广东珠海·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法） 【典例1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为_________．    【变式1】（24-25高二上·广西河池·阶段检测）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海徐汇·期中）正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【变式3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段检测）已知长方体中，，．则直线和平面所成角的正弦值等于________． 题型03求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·浙江·阶段检测）在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·云南大理·阶段检测）在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________.    【典例2】（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【变式1】（24-25高二上·重庆永川·期末）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝________．    【变式2】（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【变式3】（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 题型05直线与平面所成角中的探索性问题 【典例1】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【典例2】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2】（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 （忽视最后正弦转余弦） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·甘肃天水·期中）在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：直线与平面所成角 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 5、利用向量法求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 第二部分 题型精讲 题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】（25-26高一下·河北承德·期末）在多面体中，底面为矩形，，，，平面，则直线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设中点为，连接，利用线面角的定义可知即为直线与底面所成角的平面角，求的正弦值即可. 【详解】设中点为，连接， 因为，所以， 因为，所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，所以即为直线与底面所成角的平面角， 因为底面为矩形，，，所以， 因为平面，所以，， 所以， 即直线与底面所成角的正弦值为. 【典例2】（25-26高一下·河北承德·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，为母线的中点，是底面圆圆周上的点，为等边三角形，则直线与平面所成角的余弦值为_______． 【答案】 【分析】利用圆锥底面垂直轴截面的性质，过点作线段的垂线，得到到平面的垂线段，确定线面角；设定底面半径为，依次求出相关线段长度，在直角三角形内计算线面角的余弦值. 【详解】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 因为垂直于底面，所以，因为，，面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为（或其补角）． 设，则，，所以，，所以，，所以． 【点睛】方法归纳： 1.找线面角核心：寻找直线上一点到平面的垂线，垂足与斜足连线构成射影； 2.旋转体题型常把参数具体赋值，简化长度运算； 3.底面与轴截面垂直时，易证明底面上垂直交线的直线垂直轴截面. 易错归纳： 1.混淆线面角定义，错把斜线与垂线夹角当成线面角； 2.垂线段找错，导致后续计算出错. 【变式1】（25-26高一下·甘肃白银·期末）如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解． 【详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 【变式2】（25-26高一下·辽宁·期末）若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________. 【答案】 【详解】如图正四棱台中，分别为下底面和上底面的中心， 过作底面的垂线，垂足为，E落在上，则为该棱台的侧棱与底面所成的角.    连接， 则，， 所以 所以. 即该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为. 【变式3】（25-26高一下·广东珠海·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 【答案】/ 【分析】求出为直线与平面所成角，利用勾股定理求出，，在直角三角形中利用正弦公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】连接， 因为是正方体，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体边长为2，因为E，F分别为棱，的中点， 所以，，所以，， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值是. 题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法） 【典例1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，结合夹角公式求解即可. 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由题意可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，取可得， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B 【典例2】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为_________．    【答案】 【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面，然后过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】    过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面， 过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·广西河池·阶段检测）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 【变式2】（23-24高二上·上海徐汇·期中）正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果. 【详解】以B为原点，以过B作的垂线为x轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 平面的一个法向量设为， 则，令得， 又，设直线与平面所成的角为，， 则. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段检测）已知长方体中，，．则直线和平面所成角的正弦值等于________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，， 故直线和平面所成角的正弦值等于： . 故答案为：. 题型03求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式得，利用二次函数即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，则，取， 则． 故选：C． 【典例2】（24-25高二上·浙江·阶段检测）在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，由向量法表示线面角的正弦值，根据的范围求解即可. 【详解】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故选：. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求解线面角可得，结合换元法和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，再设平面还通过棱上一点， 可得， 令平面的一个法向量为， 则，取，得，所以. 又，设直线与平面所成角为， 则. 令，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，∴. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量夹角求出线面角的表达式，最后求利用函数性质求其最大值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为， 则， 由在线段上，设， 则. 设平面的法向量， 则，即， 令，得， 则平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以当时，取最小值， 即取最大值，由，则的最大值为. 所以直线与平面所成角的最大值为. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·云南大理·阶段检测）在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，则， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 所以，， 因为，则，则，则， 所以，，则. 故选：B. 题型04已知直线与平面所成角求参数 【典例1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________.    【答案】/ 【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得. 【详解】过点作，交于点，由，为中点，得， 又，且，平面，则平面， 而平面，有，又是矩形，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由，，为中点，得，为的中点， 则点，，，，， ，,，， 令，， 设平面法向量为，则，令，得， 由与平面所成角的正弦值为，得， 解得，所以. 故答案为： 【典例2】（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 【变式1】（24-25高二上·重庆永川·期末）如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝________．    【答案】2 【分析】根据题意求出，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可. 【详解】设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形， 又AB=2，易得， 如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．    则， 所以， 设平面BED的法向量为， 则，令z=1则，， 因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°， 所以， 由，解得，所以AE＝2． 故答案为：2. 【变式2】（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 【变式3】（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 题型05直线与平面所成角中的探索性问题 【典例1】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 【典例2】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 【变式1】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点为的中点 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． （2）存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 【变式3】（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位于的中点位置 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． （2），设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值 （忽视最后正弦转余弦） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量的余弦公式计算求解. 【详解】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， . 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量与法向量，根据线面角的空间向量法即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，， 得， 且， 在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即，令，则，则 设直线与平面所成角为， 则， 则. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·甘肃天水·期中）在四面体中，已知，，，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，并以这三个向量为基底向量，然后设平面的法向量为，由空间向量垂直求得其中一个法向量，然后由空间向量求出线面角的正弦值，从而得到线面角的余弦值. 【详解】 设，，，则， ，，， 所以，，， 故可作为一个基底. 设平面的法向量为，， 由，， 得，则，令，则， 所以其中一个法向量， 设与平面所成的角为， 所以. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $