2.1.1倾斜角与斜率（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“倾斜角与斜率”核心知识点，系统梳理倾斜角定义及取值范围、斜率定义与坐标公式，构建倾斜角与斜率的关联脉络，形成从概念理解到公式应用的学习支架。 资料以思维导图开篇构建知识框架，知识梳理结合即学即练强化理解，题型精讲通过典例与变式分层突破，题型精练分基础与提升巩固应用。其设计注重培养数学眼光（抽象倾斜角与斜率关系）、数学思维（推理斜率取值范围），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）直线的方向向量为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量与直线斜率关系写出斜率即可. 【详解】设直线的斜率为，则. 故选：D. 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 第三部分 题型精讲 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与轴垂直，故倾斜角为. 【典例2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 可得斜率，解得， 即直线的倾斜角为. 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线为，则直线的斜率，根据，可以得到， 结合直线倾斜角的取值范围为：，可得. 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 【变式3】（25-26高二上·宁夏固原·期末）直线的倾斜角是（      ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】设倾斜角为， 直线的斜率为，则，则， 故直线的倾斜角为. 故选：A 题型02直线斜率的定义 【典例1】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的方向向量求得其斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量的坐标为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 【变式1】（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】由直线的方向向量为，则其斜率. 故答案为： 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【详解】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围及斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的取值范围. 【详解】由题设且，则. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，由正切函数的性质可得， 故选：C. 题型04已知两点求斜率 【典例1】（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 【典例2】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由斜率的坐标公式直接求解可得. 【详解】由斜率公式可得斜率． 故选：A． 【变式3】（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式直接求解即可. 【详解】因为直线经过点和， 所以直线的斜率为. 故选：A 题型05已知斜率求参数 【典例1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 【典例2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 【变式3】已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即， 又，所以的取值范围是， 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 【变式2】已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 【变式1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出PM、QM的斜率，结合图象及斜率变化关系，即可得斜率的范围. 【详解】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 二、多选题 7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【答案】BC 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 三、填空题 9．（25-26高二上·天津和平·期中）已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 【答案】8 【分析】根据倾斜角可得斜率，结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 且点，，则，解得. 故答案为：8. 10．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜率的取值范围，通过正切函数性质来确定倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率，为倾斜角，， 已知，即， 当时，； 当时，. 综上当时，. 故选：C 2．（25-26高二上·四川宜宾·期中）设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，求出边界直线斜率，写出斜率范围. 【详解】如图，直线过点且与线段AB相交，， ， 当直线从处逆时针旋转接近轴时，斜率; 当直线在顺时针旋转接近轴时，斜率， 所以的斜率的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 4．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 6．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）直线的方向向量为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 第三部分 题型精讲 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（25-26高二上·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，则直线倾斜角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·宁夏固原·期末）直线的倾斜角是（      ）. A． B． C． D． 题型02直线斜率的定义 【典例1】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04已知两点求斜率 【典例1】（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 【变式3】（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 题型05已知斜率求参数 【典例1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【变式3】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 【变式3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.   【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 4．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 三、填空题 9．（25-26高二上·天津和平·期中）已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 10．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为_____. B能力提升 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川宜宾·期中）设，直线过点且与线段AB相交，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 4．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 6．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $