1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系这一核心知识点，从向量表示点、直线、平面位置入手，梳理平面法向量求法，再到线线、线面、面面平行与垂直的判定，形成逻辑递进的知识脉络，为学生构建系统的学习支架。 资料以思维导图整合知识框架，题型精讲通过典例与变式培养推理能力，即学即练和精练题强化应用意识。例如平面法向量求法步骤明确，线面平行证明题结合几何体实例，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练2】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练3】（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 第三部分 题型精讲 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 【典例2】（2025高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【变式2】已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【详解】略. 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 【典例2】在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 【答案】 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则由题可得，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，则平面. 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据证明线面平行的向量法即可求解. 【详解】略 【变式1】（25-26高三上·江西吉安·期末）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1) 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 【详解】（1）略 【变式2】（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； 【详解】（1）略 【变式3】（25-26高二上·四川达州·期末）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面； 【答案】(1) 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， ，， 因此向量共面，而直线确定平面， 则平面，而平面，所以平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. 【详解】（1）略 题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. 【典例2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【变式1】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系分析可知，，建系，利用空间向量可得∥，根据题意结合线面、面面平行分析证明. 【详解】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式3】在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面. 【详解】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则有，，， ， ， ， 于是， ，，， 显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面， 同理平面， 平面，， 所以平面平面 题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【典例2】（25-26高二上·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且． (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， (2) 由（1）易得， 因，故. 【分析】（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标； （2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可. 【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图，易得，，，. 设，则， 由代入坐标，可得， 解得，故点的坐标为. （2）略 【变式1】在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】借助直二面角性质可得面面垂直，再利用面面垂直的性质定理可得线面垂直及线线垂直，即可建立适当空间直角坐标系，得到直线、的方向向量，借助空间向量数量积为即可得证. 【详解】因为，为的中点，所以， 由二面角为直二面角，故平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以， 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， ，， 因为，所以． 【变式2】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明如下： 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. (2)证明如下： 由（1）可得：， 则， 所以. 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，已知是一个正方体，求证：．    【答案】证明: 在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. 【详解】略. 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2) 依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）略 【典例2】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明：如图以为原点，建立空间直角坐标系， AI则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】略. 【变式1】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 【变式2】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】 如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则， ， 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD. 【详解】略 【变式3】（23-24高二上·广东广州·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【答案】(1)证明： 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； (2) 证明：由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【典例2】（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【变式2】（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【变式3】如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】 证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. AI则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】略 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 2．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 6．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 二、多选题 7．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 8．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ACD 【分析】根据向量坐标关系，可得，即可判断A的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断B、D的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断C的正误. 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以或，故B错误； 选项C：因为，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以， 所以或，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 四、解答题 10．（第77天拼下解答题第一问综合练2（逆袭90分）--考前百日冲刺）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】 证明：由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】略 B能力提升 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】(1) 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. (2) 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $第05讲1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一部分思维导图 设向量：设平面a的法向量为n=(xy,) 选向量：选取两不共线向量B4C 列方程组： 由8列出方程组 法向量 解方程组：解方程组。 AC=0 赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1） 得结论：得到平面的一个法向量， ll2÷a川i种a=5(eR) 线线位置 空间向量应用1 11l2÷a.i=0÷aa+bb+99=0 l1‖a÷a⊥n÷a-n=0 线面位置 a1=九x 1⊥a分aln片a=2n分4=i4 9=3 a‖B÷nlmn=m 面面位置 01B台n⊥m种im=0台方为+hy+3=0 第二部分知识梳理 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP表示.我们 把向量OP称为点P的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a,设P是直线I上的任意一点，则点P 在直线l上的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB 图① 3、空间直线的向量表示式 如图②，取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线1上的充要条件是存在实数t,使 OP=OA+ta① 或OP=OA+tAB② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的 方向向量唯一确定 B 图② 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（化，y),使得AP=xa+yb,如图；取定空间任 意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 OP=OA+xAB+yAC 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线1⊥x,取直线l的方向向量a,我们称a为平面a的法向量；过点A 且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP=O}. 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下： 设向量：设平面的法向量为n=(x,y,z) 选向量：选取两不共线向量AB,AC n-AB=0 列方程组：由 nAC=0列出方程组 nAB=0 解方程组：解方程组 n-AC=0 赋非零值：取其中一个为非零值（常取士1） 得结论：得到平面的一个法向量， 【即学即练1】(25-26高二上·安徽阜阳期末)在空间直角坐标系中，已知点 A10,0),B(21,0),C(1,-1,),则平面ABC的一个法向量可以是() A.(11,1) B.(,-1,) c.(11,-) D.(1,-1,-1) 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线，马2的方向向量分别为a,b,平面，B的法向量分别为n,m,则 线线平行 llleallbea=ab(AER) 线面平行 hlaalnea.n=0 面面平行 allBen‖msn=m 【即学即练2】(25-26高二上·四川攀枝花期末)己知平面“、B的法向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,m),若a11B,则m=() A.-4 B.4 C.-5 D.5 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为a=(a,b,G),直线l2的方向向量为b=(a2,b,C2),平面a的法 向量n=(x,,z),平面阝的法向量为m=(x2,》2,z2),则 线线垂直 1⊥l2aa.b=0台aa2+bb,+cc2=0 a=Ax 线面垂直 台{b=y (⊥x alln a=nG=z 面面垂直 aLBonLmnm=0xx2+yy2+222=0 【即学即练3】(25-26高三·全国一轮复习)设平面α的法向量为(1,2，-2)，平面B的法向 量为(-2,4，k),若a1B,则k等于() A.2 B.-4 C.-5 D.-2 第三部分题型精讲 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】(25-26高二上河北衡水阶段检测)已知点A1,2,-),B(2,1,-1),C(-1,2,0) ,则平面ABC的法向量i是() A.(11,2) B.(1,-1,2) c.(21,) D.(1,2,1) 【典例2】(2025高二上全国专题练习)已知平面ABC,且A1,2,-),B(2,0,-), C(3,-2,),则平面ABC的一个法向量为一· 【变式1】(2425高一下河北期末)在空间直角坐标系0-z中， A(-11,0),B(2,1,-2),C(0,2,-),则平面ABC的一个法向量为() A.(2,1,3 B.（-21,3) c.(2,-1,3) D.(21,-3) 【变式2】己知空间中，点A(1,2,-,B(-2,1-),C(-1,2,0),则平面ABC的一个法向量为 () A.(21,3) B.(1,-3,2) c.(1,3,2) D.（-1,2,2) 【变式3】(24-25高二上四川凉山期末)平面“内三点坐标分别为 A1,0,-),B(-1,1-1),C(-1,0,0),则平面a的一个法向量为， 题型02利用向量方法证明线线平行 【典例1】(23-24高二上·全国课后作业)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD,E为CP的中点，N为DE的中点， DM=DB,DA=DP=LCD=2,求i证：MNaP E C 【变式1】(2026高二全国·专题练习)已知棱长为1的正方体0ABC-04BC在空间直 角坐标系中的位置如图所示，D,E,F,G分别为棱O4,4B,BC,OC的中点，求证： DEIIGF 2 01 D A E B 【变式2】(25-26高二下·全国课堂例题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, ∠BAC=90°，D,E,F,G分别是棱AB,BC,CP,AP的中点，AB=AC=PA=2. 求证：DGIEF: D D4-A B 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】如图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,AA=2V2 N是BC的中点，P是BC与BC的交点 B P B (1)求直三棱柱ABC-ABC的体积： (2)若卫是AN的中点，证明：P91/平面ABC: 【奥例2】在正方体ABCD-ABCA中，点E在BD上，且BE=BD,用向量法证明： ADII平面DEC. 【变式1】(25-26高三上江西吉安期末)如图，己知正三棱柱ABC-ABG中， AB=A4=2,点P为BC的中点： A B (1)证明：AB1/平面AP℃： 【变式2】(25-26高二上山东枣庄期末)如图，在长方体ABCD-ABCD中， AB=4,BC=3,CC=2,E是AB的中点. D B B (1)求证：BC11平面ECA: 【变式3】(25-26高二上四川达州期末)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点E,F 分别为棱BC,CD的中点， A D B 9 A.-4…D E (1)证明：EF/平面BDDB: 题型04利用向量方法证明面面平行° 【典例1】(2026高二全国专题练习)如图，长方体ABCD-ABCD中，AB=4, BC=3.CC=2 D C 、B1 A D B (1)求证：平面ACB/1平面ACD: 【典例2】(25-26高二下·全国课堂例题)己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,点E、F分别是CD、PA的中点，点G为线段 PD上一点.确定点G的位置，使平面GEF平面PBC,并证明. 【变式1】如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD∥ 平面OBC,二面角P-AB-C与二面角2-CD-A的大小都是30°，AP=C9=V3, PD⊥AB.证明：平面PCD∥平面OAB, D D B 9 【变式2】(23-24高二上·全国课后作业)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD,四边形 ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA, PD,CD的中点，求证：平面EFG/I平面PBC. D 【变式3】在正方体ABCD-ABCD中，M,N,P分别是CC,BC,CD的中点，试建立适 当的空间直角坐标系，求证：平面MNP∥平面ABD D A B M D A B 题型05利用向量方法证明线线垂直 【典例1】(25-26高二下·全国课堂例题)如图，在直三棱柱ABC-ABC中， A4=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AC,CC,AB的中点，点G在棱 BB上，且B,G=3BG.证明：DF⊥EG. D G 【典例2】(25-26高二上·吉林期中)如图所示，MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为 1的正方形，M=2MB,点p是MC上-点，且CD=写CM M A.. B (1)建立适当的坐标系并求点P的坐标： (2)求证：MB⊥DP 【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,PC=PD ,O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角求证：PB⊥PD B 【变式2】(2024山西三模)如图，在正方体ABCD-ABCD,中，E,F,G分别是棱 AB,BC,CD的中点. D C B D (1)证明：CE∥平面AAG (2)证明：AF1⊥CE 【变式3】(24-25高二全国课堂例题)如图所示，己知ABCD-ABCD是一个正方体， 求证：AD⊥BD D C B 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】(2425高二上山东菏泽·开学考试)如图所示，直三棱柱ABC-4B,C中， CA=CB=1,∠BCA=90°，AA=2,M,N分别是ABAA的中点， B B (1)求BN的长： (2)求证： BN⊥平面CMN 【典例2】(2425高二·上海随堂练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中， M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB中点.求证：BDL平面MNP. D C A B B 【变式1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD, PM=AB=2'D='E是PB的中点，作EF LPC交p心于点p,且F-P元.求 0 证：PC⊥平面AEF; P E D 【变式2】(23-24高二上·安徽阜阳·阶段检测)如图，已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD 为正方形，PA=AD=AB=2,M,N分别为AB,PC的中点求证：MNL平面PCD N M B 【变式3】(23-24高二上广东广州阶段检测)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F 分别是BB,DB的中点. D C B (1)求证： EF⊥DA: (2)求证：DA⊥平面ABC 题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】(25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测)如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是 直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)证明：平面PAD⊥平面PAB, 【典例2】(25-26高二下·全国课堂例题)在正方体ABCD-AB,CD中，E,F,M分别 是BB,DB,A4的中点，求证： (1)AD⊥BD (2)EF⊥平面BAC (3)平面MBD⊥平面BCD 【变式1】(25-26高二下·全国课堂例题)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四 边形，且PA⊥底面ABCD,点E是线段BC的中点，AB=2,PA=BC=4,∠ABC=60° ·求证：平面PAE⊥平面PED. A 【变式2】(25-26高二·全国寒假作业)在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD,点E,F分别是PB,PD的中点，PA=AB=l,BC=2. (1)求证：EF/I平面ABCD (2)求证：平面PAD⊥平面PDC, 【变式3】如图，在直三棱柱ABC-ABC中，侧面ABB,A是正方形，AB=BC=2,D, E分别为棱AC,CC的中点，BE14B.用向量法证明：平面BEA⊥平面ABD. B 万 第四部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1.(25-26高二下甘肃平凉期末)设=(1,2,3)是直线1的方向向量，i=(山，-2，)是平面 的法向量，则() A.I⊥ B.llla或lcax C.Illa D.1与a相交但不垂直 2.(25-26高一下·黑龙江·期末)已知i=(3,a+b,a-b(a,b∈R)是直线l的一个方向向量， i=(-l,2,3)是平面a的一个法向量若1∥a,则() A5a-b=-3B.5a-b=3 C.5a+b=3 D.5b-a=3 3.(25-26高二下甘肃兰州期中)设ā=(1,2,3)是平面x外的直线1的方向向量， i=(1,-2,)是平面a的法向量，则() A.l⊥a B.l⊥a或l在平面a内 c.I∥a D.I∥a或l⊥a 4.(25-26高二下·江苏徐州期中)若平面α的一个法向量为n=(2,1,-),平面B/1平面 a,则平面P的法向量的坐标可以是() A.(4-2,2) B.（-1,1,-1) C.(4,2,-2) D.（-2,-1,-1) 5.(25-26高二下江苏连云港期中)己知向量m=（2,1-)是直线1的一个方向向量，向 量i=(2,k+l,)是平面a的一个法向量，若l/a,则k=() A.0 B.-2 C.4 D.3 6.(25-26高二下江苏泰州阶段检测)已知直线1的方向向量为v=(6,2x-1,2),平面α 的法向量为n=(x,2,x-l),若1Ma,则实数x的值为() A c.4 B. 3 D.3 二、多选题 7.(2526高二上广东东莞期末)直的1一个方向向量为ā=(2，-1,0)，若11α，则平面 “的法向量可以是() A.万=(4，-2,0）B.i=(2,4,0) c.i=（-2,1,0) D.n=(1,2,0) 8.(25-26高二上·四川绵阳阶段检测)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的 结论中，正确的有() A.两条不重合直线4,42的方向向量分别是ā=(2,3，-1)，b=(-2,-3,),则4， B.直线1的方向向量=(1，-l,2),平面a的法向量是i=(6,4,-),则11a C.两个不同的平面a,B的法向量分别是i=(2,2,-),=(-3,4,2),则a1B D.直线1的方向向量d=(13,0),平面a的法向量是i=(6,2,0),则111a或1ca 三、填空题 9.(25-26高二下江苏南京阶段检测)直线1的一个方向向量为m=(1,0,-3),平面α的一 个法向量为n=(-5,0,),且1Wa,则t=一· 四、解答题 10.(第77天拼下解答题第一问综合练2（逆袭90分）考前百日冲刺)如图，已知矩形 ABCD所在平面与直角梯形ABPE所在平面交于直线AB,DE=V2且AB=BP=2, AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.设点M为棱PD的中点，求证：EMI∥平面ABCD. D A B能力提升 1.(25-26高二下福建宁德期中)如图，正四棱柱ABCD-ABCD中， AD=2,DD,=4,0为BD的中点，E在线段CC上，CC=4CE,M为A4的中点， D C A B M D B (1)证明：MC11OE: (2)证明：MO⊥平面DEB. 2.(25-26高二下·江苏扬州阶段检测)如图，在空间直角坐标系0-2中，正四棱锥P PM BN 1 ABCD的侧棱长与底边长都为32，点M,N分别在PA,BD上，且PA=BD-3:试用 向量法证明. ZA M Dk-- B (1)求证：MN⊥AD: (2)取PC的中点E,求证：OE∥平面PAD 3.(25-26高二上山东济宁·期中)棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为DD的中 点，F为BD中点，G为A4的中点. D B D (a)证明：EF1/平面ABCD: (2)证明：平面BDC⊥平面BDG. 4.(25-26高二上河北：期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, MB1DC,D1LAB:AB=AP=2:DA=DC=E为pC上-点，且PE=C. 3 B (1)求证：AE⊥平面PBC: (2)求证：PAII平面BDE. 5.(25-26高二上北京期中)如图，在三棱柱ABC-4BG中，△ABC是正三角形，侧面 ABB,A是边长为2的菱形，D是BC中点. A (1)求证：AB/1平面ACD: (2)若BB上平面ABC,判断直线AB与平面ACD的位置关系，并加以证明.