第2章 2.2.3 直线的1般式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，承接点斜式、斜截式等特殊形式，通过观察特殊方程均为二元一次方程引出一般式，明确其定义（Ax+By+C=0，A、B不同时为0）、结构特征及系数条件分类，再通过例题实现五种形式转化，后续应用于平行与垂直判定，构建完整知识支架。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察特殊方程共性，通过分类讨论系数条件培养数学思维的逻辑性，结合例题与跟踪训练强化方程转化的数学语言表达。课中助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.2.3　直线的一般式方程 学习目标　1.掌握直线的一般式方程(重点).2.理解关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 导语 观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题. 一、直线的一般式方程 问题　直线y=2x+1是二元一次方程吗？方程2x-y+3=0表示一条直线吗？ 提示　y=2x+1可以化成2x-y+1=0的形式，是二元一次方程.2x-y+3=0可以化为y=2x+3的形式，可以表示一条直线. 知识梳理 我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程. ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. ③x的系数一般不为分数和负数. (2)当直线方程Ax+By+C=0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C=0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合. 例1　(课本例5)　已知直线经过点A(6，-4)，斜率为-求直线的点斜式和一般式方程. 解　经过点A(6，-4)，斜率为-的直线的点斜式方程是y+4=-(x-6)， 化为一般式，得4x+3y-12=0. 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为-3，-1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解　(1)由点斜式，得直线方程为y-3=(x-5)， 即x-y-5+3=0. (2)由两点式，得直线方程为=， 即2x+y-3=0. (3)由截距式，得直线方程为+=1， 即x+3y+3=0. (4)y-2=0. 反思感悟　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 跟踪训练1　根据下列条件分别写出直线的一般式方程. (1)经过两点A(5，7)，B(1，3)； (2)经过点(-4，3)，斜率为-3； (3)经过点(2，1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解　(1)由两点式方程得=， 即x-y+2=0， (2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4)， 即3x+y+9=0. (3)由题意知x=2，即x-2=0. (4)由点斜式得y=2(x-1)， 即2x-y-2=0. 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0). (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 例2　已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l'的方程： (1)过点(-1，3)，且与l平行； (2)过点(-1，3)，且与l垂直. 解　方法一　l的方程可化为y=-x+3， ∴l的斜率为-. (1)∵l'与l平行， ∴l'的斜率为-. 又∵l'过点(-1，3)， ∴由点斜式知l'的方程为y-3=-(x+1)， 即3x+4y-9=0. (2)∵l'与l垂直， ∴l'的斜率为， 又l'过点(-1，3)， ∴由点斜式可得l'的方程为y-3=(x+1)， 即4x-3y+13=0. 方法二　(1)由l'与l平行， 可设l'的方程为3x+4y+m=0. 将点(-1，3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l垂直， 可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1，3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 反思感悟　求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. (2)可利用待定系数法：与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 跟踪训练2　(1)已知直线3x-4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，则实数a的值为　　　　.  答案　-6 解析　因为直线3x-4y+4=0与直线 ax+8y+7=0平行， 所以3×8-(-4)a=0，解得a=-6. (2)过点P(2，1)且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程为(　　) A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+5=0 答案　B 解析　由题意，所求直线的斜率k=-2， 且过P(2，1)，所以直线方程为y-1=-2(x-2)， 即2x+y-5=0. 三、直线的一般式方程的应用 例3　(课本例6)　把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 解　把直线l的一般式方程化为斜截式y=x+3. 因此，直线l的斜率k=它在y轴上的截距是3. 在直线l的方程x-2y+6=0中，令y=0，得x=-6， 即直线l在x轴上的截距是-6. 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6，0)，B(0，3)，过A，B两点作直线，就得直线l(如图). 例3　设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)已知直线l在x轴上的截距为-3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值. 解　(1)由题意知m2-2m-3≠0， 即m≠3且m≠-1，令y=0，得x=， ∴=-3，解得m=-. (2)由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠且m≠-1. 由直线l化为斜截式方程 得y=x+， 则=1，解得m=-2. 延伸探究　对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值. 解　∵直线l与y轴平行， ∴∴m=. 反思感悟　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x=0可得在y轴上的截距.令y=0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线五种形式方程的互化. (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直. 2.方法归纳：分类讨论法、化归转化. 3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 1.直线+=1化成一般式方程为(　　) A.y=-x+4 B.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 答案　C 2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　C 解析　直线斜率k=-，所以倾斜角为150°. 3.已知直线l过点(0，3)，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是(　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 答案　D 解析　设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1)， 由点(0，3)在直线x-y+c=0上得 0-3+c=0，解得c=3， 因此直线l的方程为x-y+3=0. 4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°，则实数m的值是　　　　.  答案　3 解析　由已知得∴m=3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.过点P(-，1)，倾斜角为60°的直线方程是(　　) A.x+y+4=0 B.x-y+2=0 C.x-y+4=0 D.x+y+2=0 答案　C 解析　由倾斜角为60°知，直线的斜率为，又直线过点P(-，1)， 所以直线方程为y-1=(x+)，化简得x-y+4=0. 2.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 答案　A 解析　过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y-3=(x-2)，化简可得x-2y+4=0. 3.已知直线l：x-2y-m=0在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是(　　) A.-2 B.- C. D.2 答案　D 解析　对于直线l：x-2y-m=0，令x=0，则y=-， 令y=0，则x=m，故m+=1，则m=2. 4.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 答案　D 解析　由l1∥l2知，a×a=1×(a+2)， 即a2-a-2=0，∴a=2或a=-1. 当a=2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去； 当a=-1时，l1∥l2.∴a=-1. 5.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 答案　CD 解析　直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 6.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案　C 解析　将l1与l2的方程化为l1：y=ax+b， l2：y=bx+a. A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误. 7.(5分)已知直线l的方程为3x+4y-12=0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为　　　　.  答案　6 解析　直线l的方程为3x+4y-12=0， 令x=0得y=3，令y=0得x=4， 故令A(4，0)，B(0，3)，则S△AOB=×4×3=6. 8.(5分)已知平行四边形ABCD中，一组对边AB，CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，则实数a的值为　　　.  答案　-2 解析　因为ax+4y=a+2，x+ay=a，整理可得ax+4y-(a+2)=0，x+ay-a=0， 因为四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，则a2-4=0，且a·(-a)≠-(a+2)·1， 解得a=-2. 9.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(5分) (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)当直线l过原点时， 直线l在x轴和y轴上的截距均为0， ∴a=2，此时直线l的方程为3x+y=0； 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a-2， ∴=a-2，解得a=0或a=2(舍去)， ∴直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述， 直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2， ∵l不经过第二象限， ∴解得a≤-1. 综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1]. 10.(10分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程. 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE， 其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y-1=0上， ∴设B点坐标为(x，1). 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上， ∴-2×2+1=0，解得x=5， ∴B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(-3，-1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0， x-4y-1=0和x-y+2=0. 11.将直线l上一点A(-1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的一般式方程是 (　　) A.2x-y+4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0 答案　A 解析　将A(-1，2)向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度，得B(0，4)， 因为A，B都在直线l上，则kl==2， 所以直线l的方程为y-4=2x，即2x-y+4=0. 12.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A.-，-1 B.，-1 C.-，1 D.，1 答案　A 解析　原方程化为+=1， ∴=-1，∴b=-1. 又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a， 且x-y-=0的倾斜角为60°， ∴k=tan 120°=-，∴a=-. 13.(5分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=　　　.  答案　12 解析　由M(1，0)，N(5，-3)， 可得=(5，-3)-(1，0)=(4，-3)， 设P(m，n)，可得=(m，n)， 因为P是直线4x-3y-12=0上任意一点，所以4m-3n-12=0，即4m-3n=12， 所以·=4m-3n=12. 14.(5分)若点A(-2，-1)在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则+的最小值为　　　　.  答案　8 解析　点A在直线mx+ny+1=0上， 则2m+n=1，+=(2m+n) =4++≥4+4=8， 当且仅当n=2m，即n=，m=时，等号成立， 即+的最小值为8. 15.(多选)已知直线l的一个方向向量为u=(1，-)，且l经过点(1，-2)，则下列结论中正确的是(　　) A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x-3y+2=0垂直 D.l与直线x+y+2=0平行 答案　CD 解析　因为直线l的一个方向向量为u=(1，-)， 所以直线l的斜率k=-， 因为直线l经过点(1，-2)， 所以直线l的方程为y+2=-(x-1)， 即x+y+2-=0. 对于A，设直线l的倾斜角为θ， 则tan θ=-， 因为0°≤θ<180°，所以θ=120°，所以A错误； 对于B，当y=0时，2=-(x-1)， 得x=1-， 所以直线l在x轴上的截距等于1-，所以B错误； 对于C，因为直线x-3y+2=0的斜率为， 且×(-)=-1， 所以直线l与直线x-3y+2=0垂直，所以C正确； 对于D，因为直线x+y+2=0的斜率为-， 且在y轴上的截距为-2， 而直线l的斜率为-， 且在y轴上的截距为-2， 所以直线l与直线x+y+2=0平行，所以D正确. 16.(13分)已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0). (1)直线PQ是否经过点M(6，1)？(5分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y=x上；(3分) ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.(5分) (1)解　由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t=10-t，故t=5，此时P(5，5)，Q(5，0)， 直线PQ不经过点M(6，1)； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5，kPQ=， 直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10). 假设直线PQ过点M(6，1)， 则2t-10=t(6+t-10)， 即t2-6t+10=0，Δ=-4<0，方程无实根， 故直线PQ不经过点M(6，1). 综上，直线PQ不经过点M(6，1). (2)①证明　由题意设点A(a，0)，B(2a，0)， C(2a，a)，D(a，a)， 点C(2a，a)满足y=x， 故顶点C一定在直线y=x上. ②解　直线PQ的方程为(2t-10)y =t(x+t-10)， 因为P(t，t)，Q(10-t，0)， 设阴影部分的面积为S， 则S=S△OPQ-S正方形ABCD=t(10-t)-a2(0<t<10). 因为点C(2a，a)在直线PQ上， 则(2t-10)a=t(2a+t-10)， 所以a=t(10-t). 所以S=5a-a2=-+. 所以当a=，即t=5时， 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax=， 此时点A，B(5，0)，C，D. 学科网（北京）股份有限公司 $