安徽部分校2027届高三上学期八月底学情调研数学试题

2027届高三8月底学情调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A B D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 13． 14． （第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）由，得为线段的中点， 因为是等边三角形，所以， （2分） 因为，且，所以平面， （3分） 因为平面，所以． （4分） （2）由是面积为的等边三角形，得，， 由（1）知，平面， 则 ， （6分） 所以，即， 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （7分） 则，，，， 所以，，． （8分） 设平面的法向量为，则，即 取平面的一个法向量为． （11分） 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （13分） 16．（15分） （1）设抽到的第张奖券的金额为，，； 设事件为，事件为，事件为该VIP顾客进行了2次抽奖后获得最大金额， 注意到，，，， 则． （6分） （2）仍设事件为该VIP顾客获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． （8分） 设：抽到的第（，）张奖券金额为， 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的概率均相等，即； （10分） 只有当是前张奖券中的最大金额，顾客才会保留第张奖券，， （13分） 则． （15分） 17．（15分） （1）因为， 所以， （2分） 整理得，， （3分） 由正弦定理得，，即． （5分） （2）由（1）知，，由余弦定理得，， （7分） 因为，则， （8分） 故， （9分） 整理得，即， 即， （11分） 由，得， （12分） 故的外接圆半径， 则的外接圆面积为． （15分） 18．（17分） （1）设直线：，联立，得， （2分） 设直线与抛物线交于，两点，则， 由抛物线定义知，，解得，所以抛物线的方程为． （4分） （2）（i）联立，得，则，， （5分） 设，，代入抛物线得，， 则，，所以． （7分） 因为，，，所以． （8分） 又因为， 所以，解得或； （10分） 因为，，所以，则， 代入中，解得． （12分） （ii）当直线轴时，若，则点必在轴上． （13分） 设，则 ， （15分） 所以，即，则， 故． （17分） 19．（17分） （1）若，则；，的定义域为， 令，解得，令，解得， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， （2分） 故当时，取到极大值，也是最大值，为； （3分） 而，，，故最小值为． （4分） （2）（i）令，则； 令，则， （5分） 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， （6分） 而当时，恒成立，且． （7分） 由有两个零点，得方程有两个不等的正根， 则直线与的图象有两个公共点，因此． 解得，即实数的取值范围为． （9分） （ii）由，得，且， （10分） 不妨设，将代入， 得，即． （11分） 令，，则， （12分） 令，，则，则函数在上单调递减， 所以，则，即函数在上单调递减， （13分） 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， （14分） 于是，解得． （15分） 由（i），，，在上单调递增，而， 则，即，解得， 即的取值范围是． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三8月底学情调研 数学 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据5，2，7，6，1，4的第40百分位数为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．已知平面向量，，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则的元素个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（ ） A． B． C． D． 6．若函数在上存在最小值，则（ ） A． B． C． D． 7．已知各项均不相同的数列满足，则=（ ） A．2027 B．2028 C．2 D．1 8．在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的虚部为9 D．为纯虚数 10．对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（ ） A．当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称 B．若，，且，则 C．若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点 D．若，均存在最大值，则也一定存在最大值 11．已知三棱锥的体积为，外接球的球心为，且点在线段上，向量，的夹角与向量，的夹角分别为定值，若球的体积为定值，则添加下列条件后，若的值能够存在，则使得的值唯一确定的是（ ） A．的长 B．的度数 C．与平面所成角的正弦值 D．二面角的度数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________． 13．半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 14．已知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则________；函数，若关于的方程在有且仅有1个根，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知三棱锥如图所示，其中是面积为的等边三角形，，． （1）求证：； （2）若，三棱锥的体积为1，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 某奢侈品专柜在开业100天的纪念日举办一项有奖回馈至尊VIP的活动，规定当天在专柜消费最多的VIP顾客（下面简称VIP顾客）可以通过抽奖获得最高金额为万元的现金返利（其中未知），具体抽奖活动规则如下：在一个封闭的抽奖箱里装有5张奖券，每张奖券上标注着不同的奖励金额，VIP顾客从抽奖箱中随机摸取1张奖券，查看数字后，若他认为符合自己的心理预期，则直接兑奖，若他认为不符合自己的心理预期，则可以丢掉奖券，再从剩下的奖券中随机抽取一张，重复该过程，直到奖券抽完，若奖券抽完，则按最后一张奖券的金额进行返现． （1）若该VIP顾客进行了2次抽奖后兑奖，其获得的返现金额为，求； （2）经过思考，该VIP顾客决定采取如下抽奖策略，他决定先抽取了2次，记录下这两次抽奖的最高金额，然后丢掉奖券继续抽取，若后续抽奖抽到奖券的金额小于，则继续抽，若金额大于，则直接兑奖，若抽到第5次，奖券的金额仍然小于最大金额，则保留第5次的结果进行兑奖，求按照这种策略，该VIP顾客能够获得最高金额为万元的现金返利的概率． 17．（15分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，且，求的外接圆面积． 18．（17分） 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线形成的弦长为8． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线与抛物线交于，两点，其中，． （i）已知点在抛物线上，且，若，求的值； （ii）探究：是否存在定点，使得（其中，分别为直线，的斜率），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数． （1）若，求函数f(x)在上的最值； （2）已知函数有两个不同的零点，． （i）求的取值范围； （ii）若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $