14.3.2 角的平分线的判定（课件）--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的判定定理，通过情境导入回顾角平分线性质定理，结合“建风筝主题公园到公路铁路距离相等”的实际问题引出判定探究，搭建性质与判定互逆的知识支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过证明推理培养数学思维，用表格对比性质与判定规范数学语言。含“举一反三”题和生活应用题，学生能强化逻辑推理与应用意识，教师可借助系统练习提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.3.2角的平分线的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 14.3.1 角的平分线的性质专项练习 一、核心知识点梳理 角的平分线的性质是初中几何线段相等证明、角度计算的核心知识点，专属角平分线的核心定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理核心条件缺一不可：点在角的平分线上、该点到角两边的垂线段距离；定理结论为两条垂线段长度相等。此定理仅适用于角平分线场景，可直接证明线段相等，无需再通过三角形全等推导，简化几何证明步骤。其逆定理为：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，常用来判定角平分线、证明角度相等。本节考点集中在性质辨析、线段求值、几何证明，是后续几何综合题的基础。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 角平分线的性质核心结论是（） A. 平分角的射线平分对应线段 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 角平分线上的点到角顶点距离相等 D. 角平分线可判定三角形全等 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=3，则PN的长度为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 下列条件中，能判定点P在∠AOB平分线上的是（） A. PA=PB B. PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN C. ∠APO=∠BPO D. OP平分线段AB 4. 若点P在∠AOB平分线上，下列说法错误的是（） A. 点P到OA、OB的垂线段相等 B. 可直接推得对应垂线段相等，无需证全等 C. OP上所有点到角两边距离均相等 D. 点P到角顶点O的距离固定不变 （二）填空题（每题5分，共20分） 5. 角的平分线上的点________________________。 6. 已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，若DB=5，则DC=________。 7. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。 8. 运用角平分线性质证明线段相等，必须满足两个条件：一是点在________，二是线段为点到角两边的________。 （三）证明解答题（共60分） 9. （20分）如图，已知AD平分∠BAC，DB⊥AB于B，DC⊥AC于C。求证：DB=DC。 10. （20分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：DE=DF。 11. （20分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，连接CD。求证：△OCD为等腰三角形。 三、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（角平分线核心性质定义）；2.B（根据性质，角平分线上的点到角两边距离相等）；3.B（符合角平分线逆定理判定条件）；4.D（角平分线上的点到顶点距离不固定，随点位变化）。 填空题答案：5.到角的两边的距离相等；6.5；7.平分线；8.角的平分线上、垂线段。 解答题解析： 9. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DB=DC。 10. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得，DE、DF为角平分线上的点到角两边的垂线段，∴DE=DF。 11. 证明：∵OC平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分线性质）。在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形。 本次练习紧扣角的平分线的性质核心考点，覆盖概念辨析、基础求值、几何证明三类经典题型，重点强化“找角平分线、找垂直距离、直接得线段相等”的解题逻辑，规避误用定理、遗漏垂直条件等常见易错点，夯实几何基础，适配课堂练习与课后巩固需求。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力. 在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心. 能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题. O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 情境导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ 探究新知 思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 探究点一： 角平分线的判定 新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 这个结论正确吗？ A O B P D E 探究新知 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等). 探究点一： 角平分线的判定 探究新知 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 探究新知 （第1题） 1. 在正方形网格中, 的位置如图所示,则 到 两边距离相等的点是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 举一反三 8 2. ［2025常州期中］小王同学在学习了全等三角形的相关知 识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个 角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住 射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是 的平分线”.这样做的依据是( ) 举一反三 9 （第2题） A. 平行线之间的距离处处相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距 离相等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的 平分线上 √ 返回 举一反三 10 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 探究新知 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 探究新知 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 探究新知 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 探究新知 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 探究新知 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 总结：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. ∴△ABC 的三条角平分线交于一点. 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 探究新知 （第3题） 3.［2025泰安期中］如图所示，点 在 一块直角三角板 上（其中 ），于点 ， 于点.若 ，则 的度数是____. 【点拨】 ， ， . ，，，是 的平分 线. . . 返回 举一反三 17 （第4题） 4.如图，点在 的内部，且到三边 的距离相等，于点 ， ，的周长是36，则 的面积为____. 54 举一反三 18 变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 探究新知 【归纳总结】 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 探究新知 5.母题教材P50练习 如图，在直线上求作一点 ，使点 到射线和 的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图 痕迹，不必写作法和证明过程） 【解】如图，点 即为所作. 返回 举一反三 21 6.如图，在中，是的中点，， ， 垂足分别是，，.求证：是 的角平分线. 举一反三 22 【证明】是的中点， . ，， . 在和中， ， . 平分，是 的角平分线. 返回 举一反三 23 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $