14.3.2角的平分线的判定-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的判定”，核心知识点包括判定定理及适用前提，通过复习性质定理引入“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”的问题，引导猜想并利用全等证明，搭建性质与判定的逻辑支架。 其亮点在于对比辨析性质与判定的互逆关系，结合例题与中考题强化推理能力，如通过HL全等证明判定定理，设计建中转站等实际问题培养应用意识。能帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可借助系统习题与分层例题提升教学效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 14.3.2角的平分线的判定 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册14.3.2角的平分线的判定同步练习题 知识点核心：角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）、定理适用前提（点在角内部、垂线段距离相等）、区分角平分线性质与判定（性质：点在平分线上→距离相等；判定：距离相等→点在平分线上）、利用判定定理证明角相等、综合几何推理 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的判定定理正确表述是（） A. 角平分线上的点到两边距离相等 B. 角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 C. 距离相等的点在角平分线上 D. 角平分线平分角的两边 2. 已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则可直接判定（） A. OP平分∠AOB B. PM=OM C. PN=ON D. ∠AOB=90° 3. 下列条件中，不能判定点在角平分线上的是（） A. 点在角内部，到两边垂线段相等 B. 点在角外部，到两边距离相等 C. 点到角两边垂直且距离相等 D. 满足距离相等且在角内部 4. 点P是△ABC内部一点，且P到AB、AC的距离相等，则点P在（） A. BC中线上 B. ∠BAC的平分线上 C. AB高线上 D. BC垂直平分线上 5. 关于角平分线性质与判定说法正确的是（） A. 性质和判定完全相同 B. 性质由距离证平分 C. 判定由距离证平分 D. 判定由平分证距离 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 角的________到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2. 若点P在∠AOB内部，且PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则________平分∠AOB。 3. 角平分线性质：点在平分线上→________；角平分线判定：________→点在平分线上。 4. 三角形内到三边距离相等的点是三角形________的交点。 5. 点M在∠ABC内部，且M到AB、BC的距离相等，则BM是________。 三、解答题（共60分） 1.（15分）已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。求证：OP平分∠AOB。 2.（15分）如图，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 3.（15分）已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D、E，且BE=CD。求证：点A在∠BAC的平分线上（即AD平分∠BAC）。 4.（15分）求证：三角形三条角平分线交于一点，且该点到三边距离相等。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 解析：判定定理必须满足两个条件：点在角内部、到角两边垂线段距离相等。性质是“知平分，得距离相等”，判定是“知距离相等，得平分”，二者互为逆定理，考试极易混淆。 二、填空题：1.内部 2.OP 3.距离相等；距离相等 4.三条角平分线 5.∠ABC的平分线 解析：三角形内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，是角平分线判定定理的经典应用场景。 三、解答题：1. 证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。 2. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，D在∠BAC内部，根据角平分线判定定理，可得AD平分∠BAC。 3. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°。可证△AEC≌△ADB，得AE=AD，即点A到两边距离相等，故AD平分∠BAC。 4. 证明：设两条角平分线交于一点，由判定定理可知该点到三边距离均相等，因此该点也在第三个角的平分线上，故三线共点。 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 定理的作用： 复习回顾 FU XI HUI GU 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？ 思考 你能写出已知和求证分别是什么吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ ┐ 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的判定 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用： 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 　 (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的 平分线上． 角的平分线的性质与判定定理有何关系？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 归纳总结 三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部， 这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 ┐ A A B B C C A B C 画出三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 分析：AD是∠BAC的平分线. （角的平分线的判定） DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF. （三角形全等的判定） Rt△DEB≌Rt△DFC. （直角三角形全等”HL“） BE=CF，DB=DC. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. C E A F D B ┐ ┐ 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线. C E A F D B ┐ ┐ （第1题） 1. 在正方形网格中, 的位置如图所示,则 到 两边距离相等的点是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 中考考法 11 2. ［2025常州期中］小王同学在学习了全等三角形的相关知 识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个 角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住 射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是 的平分线”.这样做的依据是( ) 中考考法 12 （第2题） A. 平行线之间的距离处处相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距 离相等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的 平分线上 √ 返回 中考考法 13 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离， 且OF=OD=OE. （角的平分线的判定） OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. （角的平分线的性质） ∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA. （三角形内角和定理） 转化为 ∠BAC和∠BOC的关系. 如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 证明：∵OF=OD=OE， ∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. ∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°. ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°. ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°. 如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC. 面积如何求？与角的平分线有何联系？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO. 解：∵OA,OB,OC为三条角平分线， ∴点O到AB,AC,BC的距离相等为r， ∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= ·AB·r： ·BC·r： ·AC·r =4:5:6. M N H ┐ ┐ ┐ 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 在∠AOB的平分线上 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 解：到∠AOB两边距离相等的点在∠AOB的平分线上 由网格可知，∠AOB的平分线为射线l， 而点M在射线l上，故选A. l 看到角的平分线就要想其性质 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？ 解：如图，作PD⊥BC，垂足为D. ∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD， 在Rt△PDC和Rt△PEC中， PD＝PE， PC＝PC， ∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC(HL)， ∴CD＝CE.同理可证BD＝BF. ∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF. 将三角形面积的表达式写出来再思考 如图，在△ABC中，请证明： (1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∴S△ABD∶S△ACD＝（ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC. 这是三角形的角平分线的又一重要性质，请牢记！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 和第（1）问的条件与结论互换，你还会证明吗？ 如图，在△ABC中，请证明： (2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC， 则AD为∠BAC 的平分线． (2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.   ∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC， 在图中作出来 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P. 求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等. B C P D E F M N O 证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB， 垂足分别为点M，N，O. ┐ ┐ ∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO. ∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO. ∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN. ∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等. ┐ A 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处? 画出它的位置. P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 解：如图所示，即为所求. （第3题） 3.［2025泰安期中］如图所示，点 在 一块直角三角板 上（其中 ），于点 ， 于点.若 ，则 的度数是____. 【点拨】 ， ， . ，，，是 的平分 线. . . 返回 中考考法 23 （第4题） 4.如图，点在 的内部，且到三边 的距离相等，于点 ， ，的周长是36，则 的面积为____. 54 中考考法 24 【点拨】 点在 的内部，且到三边的距离相 等， 点为 的三条角平分线的交点. 如图，过点作于点， 于 点，则的周长为36， . 返回 中考考法 25 5.母题教材P50练习 如图，在直线上求作一点 ，使点 到射线和 的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图 痕迹，不必写作法和证明过程） 【解】如图，点 即为所作. 返回 中考考法 26 6.如图，在中，是的中点，， ， 垂足分别是，，.求证：是 的角平分线. 中考考法 27 【证明】是的中点， . ，， . 在和中， ， . 平分，是 的角平分线. 返回 中考考法 28 （第7题） 7. 如图，直线，， 表 示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 返回 中考考法 29 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 结论 判断一个点是否在角的平分线上 作用 三角形的角平分线相交于内部一点， 该点到三角形三边的距离相等 $