14.3.1角的平分线的性质（课件）--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕角的平分线的性质及逆定理展开，通过平分角仪器（AB=AD，BC=DC）情境导入，引导学生用SSS证全等，衔接全等三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是情境探究与动手实践结合，如折叠实验发现垂线段相等，尺规作图步骤规范，性质证明强化推理意识。课堂小结结构化，分尺规作图、性质定理、辅助线三点。培养学生数学眼光和思维，学生夯实基础，教师高效教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.3.1角的平分线的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 14.3.1 角的平分线的性质专项练习 一、核心知识点梳理 角的平分线的性质是初中几何线段相等证明、角度计算的核心知识点，专属角平分线的核心定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理核心条件缺一不可：点在角的平分线上、该点到角两边的垂线段距离；定理结论为两条垂线段长度相等。此定理仅适用于角平分线场景，可直接证明线段相等，无需再通过三角形全等推导，简化几何证明步骤。其逆定理为：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，常用来判定角平分线、证明角度相等。本节考点集中在性质辨析、线段求值、几何证明，是后续几何综合题的基础。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 角平分线的性质核心结论是（） A. 平分角的射线平分对应线段 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 角平分线上的点到角顶点距离相等 D. 角平分线可判定三角形全等 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=3，则PN的长度为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 下列条件中，能判定点P在∠AOB平分线上的是（） A. PA=PB B. PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN C. ∠APO=∠BPO D. OP平分线段AB 4. 若点P在∠AOB平分线上，下列说法错误的是（） A. 点P到OA、OB的垂线段相等 B. 可直接推得对应垂线段相等，无需证全等 C. OP上所有点到角两边距离均相等 D. 点P到角顶点O的距离固定不变 （二）填空题（每题5分，共20分） 5. 角的平分线上的点________________________。 6. 已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，若DB=5，则DC=________。 7. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。 8. 运用角平分线性质证明线段相等，必须满足两个条件：一是点在________，二是线段为点到角两边的________。 （三）证明解答题（共60分） 9. （20分）如图，已知AD平分∠BAC，DB⊥AB于B，DC⊥AC于C。求证：DB=DC。 10. （20分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：DE=DF。 11. （20分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，连接CD。求证：△OCD为等腰三角形。 三、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（角平分线核心性质定义）；2.B（根据性质，角平分线上的点到角两边距离相等）；3.B（符合角平分线逆定理判定条件）；4.D（角平分线上的点到顶点距离不固定，随点位变化）。 填空题答案：5.到角的两边的距离相等；6.5；7.平分线；8.角的平分线上、垂线段。 解答题解析： 9. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DB=DC。 10. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得，DE、DF为角平分线上的点到角两边的垂线段，∴DE=DF。 11. 证明：∵OC平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分线性质）。在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形。 本次练习紧扣角的平分线的性质核心考点，覆盖概念辨析、基础求值、几何证明三类经典题型，重点强化“找角平分线、找垂直距离、直接得线段相等”的解题逻辑，规避误用定理、遗漏垂直条件等常见易错点，夯实几何基础，适配课堂练习与课后巩固需求。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 探究角平分线的性质定理. 探究并掌握角平分线的性质定理. 探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题； A B D C E 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ 情境导入 情境探究 ：拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 先 AB = BC，后 AD = DC. 探究点一： 角平分线的作法 探究新知 情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗？ A B D C E 分析：在△ACD 和△ACB 中， AC = AC， AD = AB， CD = CB， ∴△ACD≌△ACB(SSS). ∴∠DAC =∠BAC. ∴AE 平分∠DAB. 探究点一： 角平分线的作法 探究新知 思考：你能想到如何作一个角的平分线吗? A B O M C (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． (3) 画射线 OC. 射线 OC 即为所求. (2) 分别以点 M，N 为圆心． 大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C. 作法： 探究点一： 角平分线的作法 N 探究新知 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 举一反三 7 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 问题1 为什么以大于 MN 的长为半径作弧？ 答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. A B O M N 探究点一： 角平分线的作法 探究新知 问题2 两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？ 答：两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了. A B O M N C 探究点一： 角平分线的作法 探究新知 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 PD PE 第一次 第二次 第三次 在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？ 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 怎样验证猜想呢？ 1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 题设：角的平分线上有一点 结论：这一点到角的两边的距离相等 已知： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 画出图形，几何语言描述 P A O B C D E OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD = PE 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 举一反三 15 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 举一反三 16 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △OPD 和 △OPE 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴△OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD = PE. ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC = ∠BOC. 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少 点在角的平分线上 垂线段的长 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 例 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC. 解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB. ∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC， ∴ DB = DF. 在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL). ∴BE = FC. DE = DC， DB = DF， 探究点二：角的平分线的性质 探究新知 （第5题） 5.如图，平分，点是射线 上一点， 于点，点是射线 上的一个动点， 连接.若，则 的长度不可能是( ) D A.18 B.7.2 C.6 D.4.5 返回 举一反三 21 6.［2025南京期末］如图，在中， ，平分 ， 交于点,于点.若，，则 的长为___. 3 （第6题） 返回 举一反三 22 7.如图,，，垂足分别为,， 与 相交于点，且.求证： . 证明： , 为 的平分线. , ， , . 又 , , . 返回 举一反三 23 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $