14.3.1角的平分线的性质-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的性质，核心涵盖尺规作图方法、性质定理及应用。课堂通过复习角平分线定义与作图方法，结合平分角仪器原理引入尺规作图，再经测量实验探究性质，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实验探究培养数学眼光与思维，如通过仪器原理抽象出SSS全等推理，测量PD、PE验证性质。典例涵盖基础证明到综合应用，小结提炼“点-距离-相等”要素，帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 14.3.1角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册14.3.1角的平分线的性质同步练习题 知识点核心：角平分线的尺规作图方法、角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）、性质定理的适用条件、利用定理进行线段相等证明与长度计算、区分角平分线的角度平分性质与距离相等性质、结合全等三角形综合解题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的性质定理核心内容是（） A. 平分角的射线叫角平分线 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 角平分线上的点平分线段 D. 角平分线垂直于角的两边 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长度为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 下列关于角平分线的说法正确的是（） A. 任意一点到角两边距离相等 B. 角平分线是直线 C. 角平分线上的点到两边距离一定相等 D. 距离相等的点一定在角平分线上 4. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，若DE=3，则DF的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 利用角平分线性质可以直接证明的结论是（） A. 角度相等 B. 垂线段相等 C. 线段平行 D. 线段垂直 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 角的内部到角两边________的点，在这个角的平分线上。 2. 角平分线上的点到角两边的________相等，这是角平分线的重要性质。 3. 已知OP平分∠MON，点A在OP上，AB⊥OM，AC⊥ON，AB=6cm，则AC=________cm。 4. 尺规作角平分线的原理是利用________判定三角形全等。 5. 若一个点到角两边的垂线段长度相等，则该点在________上。 三、解答题（共60分） 1.（15分）如图，已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证：PD=PE。 2.（15分）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积为30cm²，AB=8cm，AC=7cm，求DE的长。 3.（15分）已知：BD平分∠ABC，AB⊥AD，BC⊥CD，垂足分别为A、C。求证：AD=CD。 4.（15分）如图，AD是△ABC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC，求证：PM=PN。 参考答案与解析 一、选择题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 解析：角平分线性质的核心是垂线段距离相等，需满足点在角平分线上、线段垂直于角两边两个条件，缺一不可；该性质可直接得出线段相等，无需反复证明全等。 二、填空题：1.距离相等 2.距离 3.6 4.SSS 5.这个角的平分线 解析：熟练掌握角平分线的性质与逆定理，区分“角度平分”和“距离相等”两大核心考点，是本节解题的关键。 三、解答题：1. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。又PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。 2. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S△ABC=S△ABD+S△ACD=1/2AB·DE+1/2AC·DF，代入数据得30=1/2×8×DE+1/2×7×DE，解得DE=4cm。 3. 证明：∵BD平分∠ABC，AB⊥AD，BC⊥CD，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，∴AD=CD。 4. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，P在AD上，且PM⊥AB，PN⊥AC，由角平分线的性质可得PM=PN。 复习回顾 FU XI HUI GU 什么是角的平分线？ 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O A B C 如图，OC是∠AOB的平分线. ∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？ 可以用量角器、圆规、对折等方法. 实际生产应用中，又应该如何找到零件或者材料的角平分线呢？ 思考 思考 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ A B D C E 理由如下：如图构成了△ADC和△ABC， ∵在△ADC和△ABC中， AD=AB， AC=AC， DC=BC， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴ ∠DAC=∠BAC. ∵点C在射线AE上,∴AE是这个角的平分线. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ A B O (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线， 交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为 半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. A B O M N C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点， 等于 MN的长为半径画弧时不容易操作. 为什么要以适当长为半径画弧线？ 以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. A B O M N C 思考 为什么要以大于 MN的长为半径画弧？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 “画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 两弧交点在什么位置？ 应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. A B O M N C 思考 第（3）步能否说成“连接OC”？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 根据以上测量，你能得到什么猜想？ 次数 PD的长度 PE的长度 第1次 第2次 第3次 第n次 猜想：PD=PE 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 探索：角的平分线的性质 （第1题） 1. 如图，用直尺和圆规作一个已知角的 平分线，能得出 的依据是 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 10 （第2题） 2. 教材P60复习题 如图， 是的角平分线，且 ， 则与 的面积之比为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 11 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 能否根据全等的知识来证明上述结论？ 证明： ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO（AAS）. ∴ PD = PE. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 角的平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 定理的作用： 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明几何命题的一般步骤 （1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； （2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3， 则点P到OB的距离为3 O B A C P D 图3 O B A C P D 图2 E O B A C P D 图1 E ┐ ┐ ┐ 判断下列命题是否正确： （PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）. （OC不是∠AOB的平分线）. （PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）. 角的平分线的性质的标准条件 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D F E ┐ ┐ =DE+DB+EB=? 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路、铁路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何处？ 解：∵集贸市场到公路和铁路的距离相等 ∴集贸市场应该在公路和铁路的角平分线上 不妨设公路和铁路的交点为O 作∠AOB的平分线OP 在OP上找一点S，使得OS=500m 点S即为集贸市场 A B O P 看见距离，就想角的平分线！ 回顾：三角形的三条角平分线交于一点如何证明？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 证明：过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D， 作PF⊥AC于点F， ∵BM、CN分别平分∠ABC、∠ACB ∴PD=PF 由于三角形三条角平分线交于一点 故点P也在∠A的平分线上 ∴PD=PF=PE ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等 回顾三角形的三边关系. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系. ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， ∴ BE+PF>PB. ∵ AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， 解： 证明线段和差关系一般用截长补短 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. M 证明：作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， ∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， CM = CD， AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM（HL）. ∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM +BM， ∴ AB=AD +BE. （第3题） 3. 如图，平分，于点 ， 且，已知点到 轴的距离是4，那 么点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 22 （第4题） 4. 教材P53习题 如图， ，和分别平分 和 ，过点，且与垂直.若 ， 求点到 的距离是( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 中考考法 23 （第4题） 【点拨】过点作于，和 分别平分和， ， ， ， ， 点到 的 距离为4. 返回 中考考法 24 5. 如图，在三角形中， , 平分交于点,且,,点是 上一动 点，连接,则 的最小值为___. 2 （第5题） 中考考法 25 【点拨】如图，当时， 有最小值. ，，平分 ， ，，， 的最小值为2. 返回 中考考法 26 （第6题） 6.如图，在中， ， ，平分，交于点 ， 于点，且，则 的周长为______. 中考考法 27 （第6题） 【点拨】平分， ， ，，在 和 中， ， ，，的周长为，的周长为 . 返回 中考考法 28 课堂小结 QING JING YIN RU 尺规作图 一个点：角平分线上的点 二距离：点到角两边的距离 两相等：两条垂线段(距离)相等 角的 平分线 基本要素 属于基本作图，必须熟练掌握 辅助线 过角平分线上一点向两边作垂线段 $