14.2.4 斜边及一条直角边证全等（HL） 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“斜边及一条直角边证全等（HL）”定理，通过舞台背景直角三角形问题情境导入，引导学生从已有全等判定方法（SAS、ASA等）过渡到直角三角形专属判定，搭建知识联系支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过尺规作图（作角、作平行线等）发展数学思维，分层练习（选择、填空、证明）强化数学语言表达。如情境导入激发探究欲，作图步骤渗透推理意识，证明题规范书写逻辑，助力学生掌握判定方法，提升推理能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.2.4斜边及一条直角边证全等（HL） 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 14.2.4 斜边及一条直角边证全等（HL）专项练习 一、核心知识点梳理 HL定理是直角三角形专属全等判定定理，区别于SAS、ASA、AAS、SSS通用判定方法。内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记HL。应用前提是两个三角形均为直角三角形，只需证明一组斜边、一组直角边对应相等即可判定全等，无需验证其余边角。书写证明格式必须先注明直角条件，再罗列两组相等边，最后得出全等结论。该定理极大简化了直角三角形的全等证明流程，是初中几何高频考点，常结合线段相等、垂直关系、角度计算综合考查。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 下列关于HL定理的说法正确的是（） A. 可用于任意三角形全等判定 B. 仅适用于直角三角形 C. 需要三组边对应相等 D. 需要两角一边对应相等 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，AC=DF，则可判定两三角形全等的依据是（） A. SAS B. HL C. ASA D. AAS 3. 已知Rt△ABC与Rt△ABD共斜边AB，若利用HL证明△ABC≌△ABD，需补充条件（） A. ∠ABC=∠ABD B. AC=AD C. BC=BD D. ∠BAC=∠BAD 4. 不能判定两个直角三角形全等的条件是（） A. 斜边和一条直角边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 斜边和一个锐角对应相等 D. 两个锐角对应相等 （二）填空题（每题5分，共20分） 5. HL定理的适用对象是________三角形，只需________和________对应相等即可判定全等。 6. 在Rt△MNP和Rt△QST中，∠P=∠T=90°，MN=QS，若________，则Rt△MNP≌Rt△QST（HL）。 7. 已知AD⊥BC于D，AB=AC，可通过HL证明Rt△ABD≌________，进而得BD=CD。 8. 直角三角形全等判定中，HL区别于其他判定定理的核心是________。 （三）证明解答题（共60分） 9. （20分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：BC=AD。 10. （20分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC上一点，BE=BC，DF⊥BE于F，DC=DF。求证：Rt△ADC≌Rt△FDB。 11. （20分）如图，AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B、E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。 三、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（HL专属直角三角形）；2.B（直角、斜边、直角边对应相等，符合HL）；3.B（共斜边AB，补充直角边AC=AD，满足HL）；4.D（仅锐角相等只能证相似，不能证全等）。 填空题答案：5.直角、斜边、一条直角边；6.MP=ST（或NP=QT）；7.Rt△ACD；8.无需角度条件，仅两组边即可判定直角三角形全等。 解答题解析： 9. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD。 10. 证明：∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADC=∠DFB=90°。在Rt△ADC和Rt△FDB中，DC=DF（已知），AC=BD（由BE=BC及等角对等边推导），∴Rt△ADC≌Rt△FDB（HL）。 11. 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC=∠DEF=90°。在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴BC=EF，∴BC-BE=EF-BE，即CE=BF。 本次练习聚焦HL定理核心用法，覆盖基础辨析、条件补充、几何证明三类核心题型，重点强化“先判直角、再找斜边直角边、规范书写步骤”的解题思路，贴合八年级几何考试重难点，帮助熟练掌握直角三角形全等的专属判定方法，规避与通用全等定理混淆的易错点。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 会用“HL”判定直角三角形全等. 探索直角三角形全等的判定方法. 会利用基本作图作三角形:已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;通过作图,理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念. 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但是每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？ （1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？ （2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？ 思考：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等吗？ 情境导入 如图，已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 知识点1 作一个角等于已知角 O A B 1. 一个三角形的三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，能否得到与∠AOB 一样大小的角？为什么？ 能，因为全等三角形的对应角相等. 探究新知 O A B 2. 如何围绕∠AOB 构建一个三角形？ 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角. C D 为了作图方便，一般取 OC = OD. 知识点1 作一个角等于已知角 探究新知 O A B 3. 为了作出与△COD 全等的三角形，哪种三角形全等的判定方法可以作为作图依据？ SSS C D 知识点1 作一个角等于已知角 探究新知 O A B 作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； C D (2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； O' A' C' 知识点1 作一个角等于已知角 探究新知 O A B (3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'； (4) 过点 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' = ∠AOB. O' A' C' D' B' 知识点1 作一个角等于已知角 C D 探究新知 返回 1.如图是用直尺和圆规作一个角等 于已知角的示意图，说明 的依据是( ) B A. B. C. D. 举一反三 9 返回 D 2．聊城期中如图，用尺规作出了∠ICD＝∠A，作图痕迹中弧MN是(　　) A．以点F为圆心，EF长为半径的弧 B．以点C为圆心，EF长为半径的弧 C．以点G为圆心，AF长为半径的弧 D．以点G为圆心，EF长为半径的弧 举一反三 10 与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图. 知识点2 过直线外一点作这条直线的平行线 例 4 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. C A B 探究新知 知识点2 过直线外一点作这条直线的平行线 1. 我们学过的判定两直线平行的方法有哪些？ ① 同位角相等，两直线平行； ② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ④ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2. 根据题目条件和已学过的知识，可以利用上述哪种判定方法来尝试作图？ 探究新知 教材P40 例题第4题 作法： (1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E； C A B E (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB； F D 探究新知 教材P40 例题第4题 (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB. C A B E F D 还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图. 探究新知 返回 3.［西安期末］如图，已知，是射线 上的一点，请用尺 规过点在上方作，使得 .（保留作图痕迹，不 写作法） 解：如图， 即为所作. 举一反三 15 返回 B 4．如图，用尺规作图，“过点B作BC∥OA”，其作图依据是(　　) A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 举一反三 16 知识点3 已知两边及其夹角作三角形 例 5 如图，已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. a b α 你是怎么想的？ 先作一个角等于已知角，再在作出的角的两边上截取指定长度的边，从而确定三角形. 探究新知 教材P40 例题第5题 作法： (1) 作∠DAE = ∠α； a b α A D E 探究新知 教材P40 例题第5题 (2) 在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b； a b α A D E B C 探究新知 教材P40 例题第5题 a b α A D E B C (3) 连接 BC，则△ABC 就是所求作的三角形. 已知三角形的两角及其夹边，如何作出这个三角形？ 探究新知 返回 5.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹. 已知：如图，点是的边 上一点. 求作：点，使，并与交于点 . 解：如图，点 即为所求. 举一反三 21 返回 6.如图，已知 ， ，线段，求作，使得 ， ， . 作法： （1）作线段 ___； （2）在的同侧，作 ___，作 ___，与 交于点___，则 就是所求作的三角形. 举一反三 22 返回 7.如图，已知线段和 ，求作，使得， ， .（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 解：如图， 即为所求作. 举一反三 23 返回 D 8．在△ABC中，D为AC边上一点，现要利用尺规作图过点D作DE∥AB，下列作法不可行的是(　　) 举一反三 24 尺规作图 作一个角等于已知角 过直线外一点作直线的平行线 已知两边及夹角作三角形 已知两角及一边作三角形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $