1.2 一元二次方程的解法2（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通过完全平方式回顾引导学生发现常数项与一次项系数关系，再以方程\(x^2 + 6x - 2 = 0\)为例，搭建从旧知到新知的转化支架，明确核心问题。 其亮点在于以转化思想为核心，通过合作对比方程形式、五步流程口诀记忆等，培养学生推理意识与运算能力。课堂小结突出易错点与数学思想，学生能理解配方本质，教师可借助清晰结构高效教学。

苏科版 · 九年级上册 1.2 一元二次方程的解法（2） 第二课时 配方法（2） 核心问题：如何把 x² + bx + c = 0 化为 (x + h)² = k 的形式？ 1.7.2013 同学们好，今天我们继续学习一元二次方程的解法。上节课我们学习了直接开平方法，它适用于形如x²=a或(x+h)²=k的方程。但如果方程是x²+6x-2=0这样的一般形式，该怎么解呢？这就是我们今天要学习的配方法。配方法的核心思想，就是通过配方，把一般形式的一元二次方程转化为可以直接开平方的形式。 ‹#› 学习目标 目标一 理解配方法的意义，掌握用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的一般步骤，能正确运用配方法解方程. 目标二 经历配方法的探究过程，体会"转化"的数学思想—将一般形式的一元二次方程转化为可直接运用平方根的意义解答的形式. 目标三 通过自主探究与合作交流，培养观察、归纳和逻辑推理能力，感受数学方法的内在联系与和谐统一. 重点：用配方法解一元二次方程 难点：理解配方的过程——加一次项系数一半的平方 1.7.2013 本节课有三个学习目标。知识与技能层面，要理解配方法的意义，掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤。过程与方法层面，要经历探究过程，体会转化思想，把一般形式转化为可直接开平方的形式。情感态度层面，通过合作交流培养推理能力。重点是用配方法解方程，难点是配方的过程，也就是为什么要加一次项系数一半的平方，以及怎么加。这两个点在后面的活动中会重点突破。 ‹#› 知识回顾：完全平方式 填空，将下列各式写成完全平方的形式： （1）x² + 6x + 9 = ( )² （2）x² − 8x + 16 = ( )² （3）x² + x + = ( )² （4）x²+px + = ( )² 观察与思考：常数项与一次项系数有什么关系？ 规律：常数项 = 即 x² + bx + = ( x + )² 这就是配方的依据——加上一次项系数一半的平方，就能凑成完全平方式. x + 3 x − 4 x+ x+ （一次项系数 ÷ 2）² 1.7.2013 知识回顾，我们先做几道完全平方公式的填空题。第(1)题x²+6x+9，因为6的一半是3，3的平方是9，所以等于(x+3)²。第(2)题x²−8x+16，−8的一半是−4，平方是16，所以等于(x−4)²。第(3)题x²+10x+___，10的一半是5，5的平方是25，所以填25，等于(x+5)²。第(4)题x²−3x+___，−3的一半是−3/2，平方是9/4，所以填9/4，等于(x−3/2)²。请大家观察，常数项和一次项系数有什么关系？对，常数项等于一次项系数一半的平方。这个规律非常重要，它就是我们今天配方法的依据。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 知识回顾与课堂思考 课堂思考 如何解方程 x² + 6x − 2 = 0 ？ 这个方程不是 x² = a 的形式，也不是 (x + h)² = k 的形式， 不能直接运用平方根的意义解答.能否通过变形，把它转化为可以直接运用平方根意义的形式？ 这就是今天所要学习的解法要解决的核心问题. 1.7.2013 知识回顾第3题，配方法的定义。把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k的形式，当k≥0时，运用直接开平方法求出方程的解，这种方法叫作配方法。注意三个关键点：变形目标是(x+h)²=k、前提条件是k≥0、求解方法是直接开平方法。然后提出本节课的核心问题：如何解方程x²+6x−2=0？这个方程既不是x²=a的形式，也不是(x+h)²=k的形式，不能直接开平方。那能不能通过某种变形，把它转化为可以直接开平方的形式呢？这就是我们今天要探究的配方法。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 活动一：合作交流——两个方程的联系 比较方程① (x + 3)² = 11 和方程② x² + 6x − 2 = 0，它们有何不同？把方程①展开，有何发现？ 方程①（直接运用平方根的意义） (x + 3)² = 11 左边是完全平方式 右边是常数 展开方程① (x + 3)² = 11 x² + 6x + 9 = 11 x² + 6x + 9 − 11 = 0 x² + 6x − 2 = 0 方程②（一般形式） x² + 6x − 2 = 0 左边不是完全平方式， 不能直接运用平方根的意义 → = 发现与结论 ① 方程①展开整理后，恰好就是方程②——它们是同一个方程的两种形式！ ② 方程②可以通过配方变形为方程①的形式： 　 x² + 6x − 2 = 0 → x² + 6x = 2 → x² + 6x + 9 = 2 + 9 → (x + 3)² = 11 ③ 关键：在 x² + 6x 后面加上 9（即 6 的一半的平方），就能凑成完全平方式. 1.7.2013 活动一，请大家比较这两个方程。方程①是(x+3)²=11，左边是完全平方式，右边是常数，可以直接开平方。方程②是x²+6x−2=0，左边不是完全平方式，不能直接开平方。现在把方程①展开：(x+3)²=11展开得x²+6x+9=11，移项得x²+6x−2=0。大家发现了什么？对！方程①展开整理后就是方程②，它们是同一个方程的两种形式！那反过来，方程②能不能变形为方程①呢？当然可以。x²+6x−2=0，移项得x²+6x=2，两边加上9（6的一半的平方），得x²+6x+9=11，即(x+3)²=11。这就是配方的关键：加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式。橙色结论可逐步点击显示。 ‹#› 活动二：用配方法解方程 x² + 6x − 2 = 0 解：x² + 6x − 2 = 0 ① 将常数项移到右边： 　　x² + 6x = 2 ②两边加一次项系数一半的平方（6÷2=3，3²=9）： 　　x² + 6x + 9 = 2 + 9 ③ 左边写成完全平方式： 　　(x + 3)² = 11 ④ 开平方： 　　x + 3 = ± ⑤ 解一元一次方程，写出两根： 　　∴ x = −3 ± 　　即 x₁ = −3 + ，x₂ = −3 − . 移项 配方 1.7.2013 现在我们完整地用配方法解这个方程。第一步移项，把常数项−2移到右边，得到x²+6x=2。第二步配方，这是最关键的一步。一次项系数是6，一半是3，3的平方是9，所以两边同时加上9，得到x²+6x+9=2+9。注意左边加了9，右边也要加9，保持等式成立。第三步，左边x²+6x+9正好是(x+3)²，右边2+9=11，所以方程变成(x+3)²=11。第四步直接开平方，得x+3=±√11。第五步解这个一元一次方程，x=−3±√11，所以两个根是x₁=−3+√11，x₂=−3−√11。整个过程就是：移项→配方→写成完全平方→开平方→求解。橙色答案可逐步点击显示，每一步都可以让学生先思考再展示。 ‹#› 归纳总结：配方法的一般推导 一般地，对二次项系数为 1 的一元二次方程 x² + bx + c = 0，配方过程如下： x² + bx + c = 0 移项：x² + bx = −c 配方（两边加一次项系数一半的平方）： 　　x² + bx += −c + 写成完全平方形式： 　　(x +)² = 归纳：通过配方，把一元二次方程化为 (x + h)² = k 的形式，当 k ≥ 0 时用开平方求解. 核心操作：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式. 当 b² − 4c ≥ 0 时，就可以根据平方根的意义求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 　　　 1.7.2013 归纳总结，我们把刚才的具体例子推广到一般形式。对于x²+bx+c=0，第一步移项得x²+bx=−c。第二步配方，两边加上一次项系数b一半的平方，也就是(b/2)²，得到x²+bx+(b/2)²=−c+(b/2)²。第三步左边写成完全平方(x+b/2)²，右边化简为(b²−4c)/4。当b²−4c≥0时，开平方得x+b/2=±√(b²−4c)/2，所以x=[−b±√(b²−4c)]/2。这就是配方法的一般推导。注意前提条件是b²−4c≥0，否则右边是负数，不能开平方。配方法的定义就是通过配方把方程化为(x+h)²=k的形式，再用直接开平方法求解。核心操作就是加一次项系数一半的平方。橙色部分可逐步点击显示。 ‹#› 为什么要加“一次项系数一半的平方”？ 从完全平方公式说起 完全平方公式：(x + a)² = x² + 2ax + a² 等号右边的二次三项式中，常数项 a² 与一次项系数 2a 的关系：a² = (2a ÷ 2)² 对比 x² + bx，要凑成完全平方式，需要加什么？ 令 2a = b，则 a = ，需要加的常数项 a² = ()² ∴ x² + bx + ()² = ( x + )²　——恰好凑成完全平方式！ 结论 加上一次项系数一半的平方，是为了让方程左边的二次三项式恰好构成一个完全平方式，从而把方程转化为 (x + h)² = k 的形式，进而可以用直接开平方法求解.这就是"配方"的本质. 1.7.2013 活动三第二个问题，为什么配方时要加一次项系数一半的平方？我们从完全平方公式说起。完全平方公式是(x+a)²=x²+2ax+a²，等号右边的二次三项式中，一次项系数是2a，常数项是a²，而a²正好等于(2a÷2)²，也就是常数项等于一次项系数一半的平方。现在我们有x²+bx，要把它凑成完全平方式，对比x²+2ax，令2a=b，那么a=b/2，需要加的常数项就是a²=(b/2)²。所以x²+bx+(b/2)²=(x+b/2)²，恰好凑成完全平方式。结论就是：加上一次项系数一半的平方，是为了让左边恰好构成完全平方式，从而把方程转化为(x+h)²=k的形式，再用直接开平方法求解。这就是配方的本质。橙色部分可逐步点击显示。 ‹#› 活动三：例题学习 例 解方程：x² − 4x + 3 = 0 解：移项，得 x² − 4x = −3 配方，得（一次项系数 −4，一半是 −2，平方是 4）： 　　x² − 4x + 4 = −3 + 4 　　(x − 2)² = 1 开平方，得 　　x − 2 = ±1 ∴ 原方程的两个实数根为x1= 3，x2= 1. 1.7.2013 活动二例题学习，第一题x²−4x+3=0。第一步移项，把常数项3移到右边，得x²−4x=−3。第二步配方，一次项系数是−4，一半是−2，平方是4，所以两边同时加上4，得x²−4x+4=−3+4。第三步左边x²−4x+4是(x−2)²，右边−3+4=1，所以(x−2)²=1。第四步开平方，x−2=±1。第五步求解，x=2±1，所以x₁=3，x₂=1。这道题的两个根都是整数，比较简单。注意配方时一次项系数是负数，一半也是负数，但平方后是正数，所以加的是正数4。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 例 解方程：x² + 3x − 1 = 0（一次项系数为奇数，配方出现分数） 解：移项，得 x² + 3x = 1 配方，得　　x² + 3x + = 1 + 　　(x + )² = 开平方，得 　　x + = ± 　　∴ 原方程的两个实数根为x1 =，x2 = . 活动三：例题学习 1.7.2013 第二道例题x²+3x−1=0，这道题的一次项系数是奇数3，配方时会出现分数，是本节课的难点。第一步移项得x²+3x=1。第二步配方，一次项系数3的一半是3/2，平方是9/4，所以两边加上9/4，得x²+3x+9/4=1+9/4。第三步左边是(x+3/2)²，右边1+9/4=13/4，所以(x+3/2)²=13/4。第四步开平方，x+3/2=±√13/2。第五步求解，x=−3/2±√13/2，分母相同可以合并为(−3±√13)/2。所以x₁=(−3+√13)/2，x₂=(−3−√13)/2。提醒学生注意：一次项系数是奇数时，配方后会出现分数，要细心计算，右边通分不要算错。开平方后√(13/4)=√13/2，不要写成√13/4。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 活动四：思考与交流——配方法的一般步骤 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 x² + bx + c = 0，一般分为五步： 第一步 · 移项 把常数项移到方程右边 x² + bx = −c 含 x 的项在左，常数在右 → 第二步 · 配方 两边加一次项系数一半的平方 + ()² 关键步骤，左右都要加 → 第三步 · 化平方 左边写成完全平方式 (x+)² = k 右边合并为常数 k → 第四步 · 开平方 k ≥ 0 时两边开平方 x+= ± k < 0 时无实数根 → 第五步 求解 写两根 x₁、x₂ 口诀记忆 一移二配三化方，四开五解写两根。 移项要变号，配方两边加（加一次项系数一半的平方），化方看右边，开方分正负，求解写两根. 特别提醒：第四步开平方前必须判断右边 k 是否非负,当k ≥ 0时 才有实数根，k < 0 无实数根. 1.7.2013 活动三，我们来总结配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤。一共五步：第一步移项，把常数项移到右边，得到x²+bx=−c。第二步配方，这是最关键的一步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方(b/2)²，注意左右两边都要加。第三步化平方，左边写成完全平方式(x+b/2)²，右边合并为常数k。第四步开平方，当k≥0时，两边直接开平方得x+b/2=±√k；如果k<0，方程没有实数根。第五步求解，解一元一次方程，写出x₁和x₂两个根。给大家一个口诀：一移二配三化方，四开五解写两根。移项要变号，配方两边加，化方看右边，开方分正负，求解写两根。特别提醒第四步开平方前一定要判断右边是否非负。这页的步骤卡片可以逐步点击显示。 ‹#› 课堂反馈（一）：概念辨析 1. 用配方法将 x² − 6x − 7 = 0 变形，正确的是（　　） A. x² − 6x + 3² = 7 + 3² B. x² − 6x + 3 = 7 + 3 C. x² − 6x + 3² = 7 − 3² D. x² − 6x − 3² = 7 − 3² A 2. 填空（配方练习） （1）x² − 5x + = ( x − )² （2）x² +x + = ( x + )² 1.7.2013 课堂反馈第一部分，概念辨析。第1题选择题，用配方法将x²−6x−7=0变形，正确的是哪个选项。先移项得x²−6x=7，一次项系数是−6，一半是−3，平方是9也就是3²，所以两边同时加上3²，得到x²−6x+3²=7+3²，选A。B选项错在加的是3而不是3²，C和D选项右边的符号都错了，应该是加而不是减。第2题填空，配方练习。第(1)题x²+8x+___，一次项系数8，一半4，平方16，所以填16，等于(x+4)²。第(2)题x²−5x+___，一次项系数−5，一半−5/2，平方25/4，所以填25/4，等于(x−5/2)²。方法就是常数项等于一次项系数一半的平方，括号内的常数就是一次项系数的一半。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 课堂反馈（二）：解方程 （1）x2－10x＋25＝7; 解： 移项，得 x² −10x = −18 配方，得 x² −10x + 25 = −18 + 25 (x −5)² = 7 开平方，得 x −5 = ± ∴ 原方程的两个实数根为x1= 5+ 　 x2= 5−. （2）x2＋12x＋25＝0． 解：移项，得 x² +12x = −25 配方，得 x² +12x + 36 = −25 + 36 (x +6)² = 11 开平方，得 x+6= ± x = −6 ∴ 原方程的两个实数根为x1= −6 　 x2= −6. 1.7.2013 课堂反馈第二部分，解方程练习，两道题左右并排。第(1)题x²+4x−1=0，移项得x²+4x=1，一次项系数4，一半2，平方4，两边加4得(x+2)²=5，开平方x+2=±√5，所以x=−2±√5，x₁=−2+√5，x₂=−2−√5。第(2)题x²−6x+5=0，移项得x²−6x=−5，一次项系数−6，一半−3，平方9，两边加9得(x−3)²=4，开平方x−3=±2，所以x=3±2，x₁=5，x₂=1。两道题对比，第(1)题右边是5，开方后是无理数，第(2)题右边是4，开方后是整数，根也是整数。提醒学生注意移项时常数项的符号不要搞错。橙色答案可逐步点击显示。 ‹#› 课堂小结 配方法：通过配方，把一元二次方程转化为 (x+h)²=k 的形式，再进行开平方. 核心：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式. 解题步骤（五步流程） 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 x² + bx + c = 0，一般分为五步： 第一步 · 移项 把常数项移到方程右边 x² + bx = −c 含 x 的项在左，常数在右 → 第二步 · 配方 两边加一次项系数一半的平方 + ()² 关键步骤，左右都要加 → 第三步 · 化平方 左边写成完全平方式 (x+)² = k 右边合并为常数 k → 第四步 · 开平方 k ≥ 0 时两边开平方 x+= ± k < 0 时无实数根 → 第五步 求解 写两根 x₁、x₂ 1.7.2013 课堂小结。本节课我们学习了配方法解一元二次方程。配方法就是通过配方，把一元二次方程转化为(x+h)²=k的形式，再用直接开平方法求解。核心是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式。解题步骤分五步：移项、配方、化平方、开平方、求解。配方是最关键的一步，用橙色高亮。易错点有五个：移项要变号，配方两边都要加，一次项系数为奇数时注意分数通分，开平方不要漏掉负根，右边k小于0时无实数根。数学思想方面，配方法体现了转化思想，把未知的一般式转化为已知的可开平方形式；也体现了整体思想，把(x+h)看作整体。下节课我们将学习二次项系数不为1时如何用配方法解方程。这页的步骤流程图和易错点可逐步点击显示。 ‹#› 易错点提醒 ① 移项要变号，常数项符号不能错. ② 配方时左右两边都要加，不能只加左边. ③ 一次项系数为奇数时，配方出现分数，要细心通分. ④ 开平方后不要漏掉负根，必须写 ±. ⑤ 右边 k < 0 时方程无实数根，不能强行开方. 数学思想 转化思想：将一般形式的一元二次方程，通过配方转化为可直接开平方的形式 (x+h)²=k，体现了"化未知为已知"的数学思想. 整体思想：把 (x+h) 看作一个整体进行开平方运算. 下节课预告：当二次项系数不为 1 时，如何用配方法解方程？ 课堂小结 $