精品解析：广东省兴宁市第一中学2025-2026学年高一上学期开学分班考试数学试卷

2025年兴宁一中高一入学测试题 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 方程的非负整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 4. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长12cm，边上的高为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 6. 矩形与如图放置，点共线，点共线，连接，取的中点，连接．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 1 B. 1或2 C. 0或2 D. 0或1 9. 已知命题，那么命题的否定为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，、分别与扇形相切于点、．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 12. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共小题，每小题分，共分） 13. 不等式的解集为_____. 14. 如图，，矩形的顶点、分别在边上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为___________． 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，若以点为顶点的四边形是菱形，则的值为___________． 16. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________________. 三．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 18. 我们知道，则①___________． 【问题提出】那么的结果等于多少呢？ 【阅读理解】在图1所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第行个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中共有②___________个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为③___________． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为④___________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为⑤___________，因此，⑥___________． 【解决问题】 （1）根据以上发现，计算：⑦___________． （2）试计算，请写出计算步骤． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 20. 在边长为2的等边三角形中，是边上任意一点，过点分别作，，、分别为垂足． （1）求证：不论点在边的何处时都有的长恰好等于三角形一边上的高； （2）当的长为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值． 21. 已知正数满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点、在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年兴宁一中高一入学测试题 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用补集的概念求出，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由可得或， 又，所以. 故选：A. 3. 方程的非负整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【详解】方程的非负整数解有，，，共3组. 4. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补求出，再根据等弧所对圆周角相等，得到平分，由此计算的度数． 【详解】因为四边形内接于， 所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 所以． 5. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长12cm，边上的高为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】A 【解析】 【详解】如图，由题意可知， 所以，且. 设正方形的边长为，则， 即，解得. 所以正方形零件的边长是. 6. 矩形与如图放置，点共线，点共线，连接，取的中点，连接．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，先证明和全等，再利用勾股定理即可求出的长. 【详解】如图所示，延长交于点， 四边形与都是矩形，，，， ，， 为的中点，， 在和中，，， ，， ，，则. 7. 关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，直接开方求解方程的解，得到即可. 【详解】解方程（ 均为常数，），得， 而关于的方程（ 均为常数，）的解是， 所以， 方程的解为， 所以，故B正确. 8. 已知关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 1 B. 1或2 C. 0或2 D. 0或1 【答案】B 【解析】 【详解】方程两边同时乘，得，移项合并同类项， 得，方程无解，或，或， 或，故B正确. 9. 已知命题，那么命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题否定的方法，否定量词也否定结论，可得答案. 【详解】因为命题， 所以命题的否定为: . 故选：D 10. 如图，在四边形中，，、分别与扇形相切于点、．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理，因为分别与扇形相切于，所以，同时.过D作的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理，结合的长度，建立关于长度的方程求解 【详解】都是从向扇形所作切线，因此. 连接，则，， 过作于，如下图所示， 四边形是矩形，. 在中，， ， 设，则. 在中，由勾股定理可得：， 即，展开计算， 整理可得，解得，故. 11. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当且，即时取等号． 故选：D． 12. 对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论： ①；②若，则； ③；④若，则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义逐个运算可得答案. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，， 若，由定义可得，当时，可得； 若，由定义可得，当时，可得，成立， 所以，，或，故②错误； 对于③，当时，，所以，， ，故③错误； 对于④，若， 当即时，得，解得， 所以； 当即时，得，解得， 所以； 综上，的取值范围为，故④正确. 其中正确的是①④. 二．填空题（共小题，每小题分，共分） 13. 不等式的解集为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】求方程的根，根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】方程的两根为. 又函数的图象为开口向上的抛物线， 所以不等式的解集为或. 故答案为: 或. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查学生的计算能力,难度较易. 14. 如图，，矩形的顶点、分别在边上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据题意，当三点共线时，点到点的距离最大，算出即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 由于，所以当三点共线时，点到点的距离最大， 因为，所以是直角三角形， 又因为点是的中点，，， 因为四边形是矩形，所以，即是直角三角形， ，，所以， 所以的最大值为. 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，若以点为顶点的四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】4或 【解析】 【分析】分别分析以为边、为对角线，以为边、为对角线，及以为边、为对角线三种情况，根据菱形的性质，即可求得的值. 【详解】如图，若以为边，为对角线， 则由，得， 所以，解得或， 设直线的方程为， 则，解得，. 所以直线的方程为. 当时，点在直线上，即三点共线，不合题意， 所以. 若以为边，为对角线， 由，得， 所以，解得. 若以为边，为对角线， 则由，得， 所以，即， ，所以方程无解，不合题意. 综上所述，或. 16. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件定义转换为集合真包含关系求解即可. 【详解】设集合，集合， 因为p是q的充分不必要条件， 所以， 即. 所以实数a的取值范围为 故答案为：. 三．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，当时，． 所以，． 【小问2详解】 当时，，解得，满足， 当时，若，则，解得， 故实数的取值范围为． 18. 我们知道，则①___________． 【问题提出】那么的结果等于多少呢？ 【阅读理解】在图1所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第行个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中共有②___________个圆圈，所有圆圈中数的和可表示为③___________． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为④___________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为⑤___________，因此，⑥___________． 【解决问题】 （1）根据以上发现，计算：⑦___________． （2）试计算，请写出计算步骤． 【答案】①55；②，③；④，⑤，⑥； （1）⑦7（2）2485 【解析】 【分析】①由求解即可； ②由第行圆圈中的数为，第行圆圈数为，，第行圆圈数为， 则总圈数为到的正整数的和求解即可； ③由第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第行所有数的和为即可求解； ④由图象可得每个位置上三个圆圈中数的和的规律即可求解； ⑤由任意位置的三个数之和都等于，三个数阵的总圈数和单个原数阵的总圈数一致即个， 因此三个数阵的全部数字总和等于与圆圈数的乘积，由此即可求解； ⑥由三个数阵的总和等于三倍的原数阵总和； （1）⑦将分别代入， 以及即可求解； （2）由， 再由，即可求解. 【详解】①由，则 【阅读理解】②由第行圆圈中的数为，第行圆圈数为，，第行圆圈数为， 则总圈数为到的正整数的和，所以， ③由第1行所有数的和为，第2行所有数的和为，第行所有数的和为， 所以所有圆圈中数的和可表示为； 【规律探究】④由题意可得，每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，⑤， ⑥由，所以 【解决问题】（1）⑦， （2） . 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）反比例函数的图象过点求出，把点代入反比例函数求出，再把两点坐标代入可得答案； （2）结合图象可得答案； （3）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，根据，可得答案. 【小问1详解】 反比例函数的图象过点，， 故反比例函数的表达式为， 把点代入反比例函数得，， 解得，点的坐标为， 一次函数的图象经过两点， ，解得， 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图象得时，； 【小问3详解】 点横坐标为，代入，解得：，， 当时，代入，得，解得：，， 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 、，，，， ，， ， ． 20. 在边长为2的等边三角形中，是边上任意一点，过点分别作，，、分别为垂足． （1）求证：不论点在边的何处时都有的长恰好等于三角形一边上的高； （2）当的长为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）连接，设等边三角形一边上的高为， 因为在上，所以， 又，，所以， 因为为等边三角形，所以，于是， 等边三角形的边长为，所以，即. （2）当时，四边形的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，利用面积的可加性，将的面积表示为与的面积之和，结合得到等于等边三角形的高； （2）设，利用含角的直角三角形分别表示，将四边形分成与，建立面积关于的二次函数并求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，其中， 因为，且，， 所以在直角三角形和中，，， 可得，， 于是 连接，则 因为，所以当，即时，四边形的面积最大，最大值为. 21. 已知正数满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式化简即可求解. （2）方法1，由已知可得，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解； 方法2，由已知可得，所以，再利用基本不等式即可求解； 方法3，构造关于的二次不等式，结合一元二次不等式的解法求的最小值. 【小问1详解】 因为，且，则， 即，所以. 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8． 【小问2详解】 解1：因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即，即，时等号成立； 所以的最小值为． 解2：由得． 所以 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 解3：由,得， ，又可得. 当且仅当，时等号成立， 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点、在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把,代入，列方程求解可得抛物线的解析式. （2）过作轴于，设直线交轴于，根据直角三角形的边角关系，得.设，用表示点坐标，根据在抛物线上，求出的值，进而可得点坐标. （3）先用表示出，再分，，，三种情况，利用的最小值为求的值. 【小问1详解】 把,代入得：，解得， 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 过作轴于，设直线交轴于，如图： 在中，令得，令得， ，直线与轴交点为， ， 四边形是正方形，， ，， 设，则，， ，，， ， ，，， 把代入得：，整理得， 解得（舍去）或，. 【小问3详解】 点在抛物线上， 点在抛物线上， ， ， 当时，若，随着的增大而增大， 则时，的值为，，即， 解得（大于，舍去）或； 当时，若，则时，的值为， ，解得或（舍去），； 当时，若，随着的增大而减小， 则时，的值为， ，整理可得，解得（舍去）； 综上所述，的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $