精品解析：广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高一上学期开学考数学试题

龙城高级中学2025-2026学年第一学期高一年级开学考 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义即可求解. 【详解】由题可得：, 故选：B 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的概念即得. 【详解】集合含有3个元素，则其子集的个数为. 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要确定函数的定义域，只需考虑函数中平方根有意义的条件，列出不等式组并求解，取交集即可. 【详解】要使函数有意义，则，解不等式组得. 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 已知集合为全集，集合为其子集，如图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义即可求解. 【详解】由于图中白色部分表示，因此阴影部分表示， 故选：D 5. 函数与的图像有四个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，； 要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 6. 方程的所有实数根之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】令，解二次方程得或，然后求解和的根，即可得解. 【详解】令，则原方程化为，解得或， 所以或，即或， 所以，，，，所以所有实数根之和为. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【详解】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由空集的定义判断A；由0为自然数，可判断B；由为无理数，可判断C；由是整数及集合间的关系判断D. 【详解】对于A，因为空集中没有任何元素， 所以，故A错误； 对于B，因为0为自然数， 所以，故B正确； 对于C，因为为无理数， 所以，故C错误； 对于D，因为是整数， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 下列函数是奇函数，并且在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据正比例函数的性质判断即可；B：根据函数奇偶性定义判断奇偶性，根据正比例和反比例函数的单调性判断单调性；C：根据对勾函数的性质判断；D：根据函数奇偶性定义判断奇偶性，根据二次函数单调性判断其单调性． 【详解】解：A：正比例函数是奇函数，且在单调递增，符合题意； B：在上单调递增，∴在单调递增； 定义域是，关于原点对称，且，∴是奇函数，故B符合题意； C：对勾函数是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； D：定义域为R，，∴是奇函数； 时，，∴在单调递增，符合题意． 故选：ABD． 11. 已知有三个实数根，其中有一个根为1，另外两个实数根分别为和，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】因式分解得，从而和是方程的两根，判断AB，结合完全平方式化简判断C，利用化简得判断D. 【详解】因为， 所以， 所以和是方程的两根，所以，故A错误B正确； 因为，且，所以， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的算术平方根是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算即可. 【详解】由于,所以的算术平方根是; 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定时，函数的解析式，再分类根据函数解析式列式求. 【详解】设，则， 所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以，. 因为， 若，则，无解； 若，则，所以或（因为，故舍去）. 综上：. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】需满足每一段上单调递增，再结合分段处的高低得到不等式组即可求出答案. 【详解】在R上单调递增，需满足，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或. （1）求； （2）若全集，求. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合交集并集运算求解； （2）根据集合交并补运算即可； 【小问1详解】 因为，解得，所以集合， 集合或，所以， 或 【小问2详解】 全集，结合（1）中结果可得或， , 或. 16. （1）解方程：； （2）解不等式：； （3）求函数在上值域. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）解根式方程求解，注意验根； （2）把分式不等式转化为整式不等式求解； （3）证明函数的单调性，结合函数的单调性求值域. 【详解】（1）由， 两边平方得：， 两边再次平方，得或. 经检验，和均是原方程的根. 所以方程的解为：或. （2）由. 所以原不等式的解为：. （3）设， 则， 因为，所以， 所以即. 所以在上单调递增，且，. 所以函数，的值域为. 17. 已知函数是定义域为上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在上是增函数； （3）若实数满足，求实数的范围. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】(1)首先根据函数是定义域为上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出a的值，即可得出结果； (2)可根据增函数的定义，通过设并计算的值得出结果； (3)可通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果． 【小问1详解】 因为函数是定义域为上的奇函数， 所以，解得，所以， 因为，所以， 所以，； 【小问2详解】 在任取、，设，即， 则， 因为，所以，，所以， 即当时，， 故在是增函数； 【小问3详解】 由题意可知， 所以， 由（2）知在是增函数 所以，解得， 故t的取值范围是. 18. 已知为二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时原不等式无解;当时原不等式的解集为; 当时原不等式的解集为 （3） 【解析】 【小问1详解】 设则 ， 解得 【小问2详解】 将代入得 即 当时，即时原不等式无解; 当时，即时原不等式的解集为 当时，即时原不等式的解集为 综上所述： 当时原不等式无解; 当时原不等式的解集为; 当时原不等式的解集为. 【小问3详解】 方程在区间上有两个不相等的实数根，令 则解得 综上，实数的取值范围是. 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“Y函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“函数”； （2）若函数是上的“Y函数”，求实数的取值范围； （3）已知，若函数是上的“函数”，求的最大值. 【答案】（1）最小值为；最大值为1；是 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的性质结合条件即得； （2）根据题意，讨论函数对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴处取得最小值，再根据和求函数在区间上的最大值，进而即得. 【小问1详解】 根据题意，，则， 因为时，则当时，， 当或时，，且， 所以是区间上的Y函数. 【小问2详解】 ①若，则，， 根据题意，无解； ②若，则，， 根据题意，无解； ③若，则，， 根据题意，解得； ④若，则，， 根据题意，无解. 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 . 因为，则， ①若，则，，设，即求的最大值.， 因为，则，代入上式得，则； ②若，则，，设，即求的最大值.， 因为，则，代入上式得，则. 综上所述：最大值为4，当且仅当时取等号， 即或时取等号，的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙城高级中学2025-2026学年第一学期高一年级开学考 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合为全集，集合为其子集，如图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 函数与的图像有四个交点，则（ ） A. B. C. D. 6. 方程的所有实数根之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，则（ ） A 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 8. 已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数是奇函数，并且在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知有三个实数根，其中有一个根为1，另外两个实数根分别为和，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的算术平方根是__________. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若，则实数__________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或. （1）求； （2）若全集，求 16. （1）解方程：； （2）解不等式：； （3）求函数在上的值域. 17. 已知函数是定义域为上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在上增函数； （3）若实数满足，求实数的范围. 18. 已知为二次函数，且. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“Y函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“函数”； （2）若函数是上“Y函数”，求实数的取值范围； （3）已知，若函数是上的“函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $