湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一参考答案 一、二、选择题 题号 8 9 10 11 答案 B C D B BD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.240 π 13.2 2-n2 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤， 15.【解析】(1)设等差数列a,}的公差为d, a,+4d=9, 3× a1+4d=9, 41=1, 因为0=S3=9 3a1+ d=9, ,所以 2 所以a+d=3,解得d=2, 所以8，=1+m-1x2=2n-1.=nx1+2-x2= 2 5分 62 2 1 (2)由(1)知0.=2n-l,所以”a,a1(2n-0(2n+1)2n-12n+1 …7分 -目g动…(a小12 2n 所以 …10分 s4052 2n 4052 由 4053,得2n+14053,解得n≤2026， 4052 T≤ 所以满足 4053的n的最大值为2026. 13分 16.【解析】(1)方法一（坐标法）： 取AB的中点O,根据正三棱柱性质可得OB,OC互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…2分 C(0,3,2.B,02).4(-1,0,2) 亚-得9G=5.瓜-®2)，4-2a- iP=0, 3+5 2 y=0 设平面4PC的法向量为=(x,少2)，则有万：4C=0,即x+5y+2z=0, 令x=1,则y=5,2=1,即i=(-5, 因为4B-万=2x1+0x5+(-2)x1=0.又4Bc平面4PC. 所以AB/平面APC …5分 方法二（几何法）： 如图，连接4C交AC于点O,连接P0, 易知点O为4C的中点，又点P为BC的中点，故POAB 而POc平面APC,AB￠平面APC, 所以AB/平面APC. 5分 (2)因为4B∥平面APC,故点4到平面APC的距离即为点B到平面APC的距离，设为d,因为 AP⊥BC,BB,⊥AP,BC∩B,B=B,BC,BBc平面BCCB, 故APL平面BCCB,PCC平面BCCB,故AP L PC, …7分 由思意知AP=V5,BP=CP=1,所以PC=VPC2+CC=V5 AP:BP-V3 SA4G- 2 -4P.PC=5 2 …11分 1 由'c=-P可得3 .d. .CC,·SAABP =25 代入解得 5, 25 即点A到平面APC的距离为5. …15分 17.【解析】(1)根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 180 18 198 识别为良性 20 282 302 合计 200 300 500 记事件A=“抽中结节被系统识别为恶性”，事件B=“抽中结节实际为恶性”， P(B4)= (AB)_n(AB)_180_10 所求为条件概率 P(A)n(A)19811 …5分 2》由题弦得=35，=93方1974-6x35x93 91-6×3.52 12 …7分 a=y-bx=93-1.2×3.5=93-4.2=88.8 。。。。。。。。。。。。。。。 …8分 故经验回归方程为立=1.2x+88.8, 当x=8时，=1.2×8+88.8=98.4(9%）. …9分 因为98.4697%，所以建议全院推广DeepFAN系统. …10分 (3)零假设为Ho:“是否使用A江辅助”与“判断是否正确”无关， …12分 由列联表，a=150,b=50,c=180,d=20,n=400 X2= n(ad-be)2 400×(150×20-50×180)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)200×200×330x70 400×36000000=14400000000≈15.58 200×200×330×70924000000 …14分 因为15.58>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否 正确”有关（即A辅助显著提高了判断正确率），…15分 e=c_v3 18.【解析】(1)由椭圆定义可知，2a=4N5,所以a=25,又a2,所以c=3, x2 y2 b2=a2-c2=3,故椭圆E的方程为123 -1 。…4分 xx+4y0y-12=0, 2 12-4y +4y2=12 (2)(i)联立( 消去得七 整理得， (4x+16)y2-96%y+14-12x号=0，① 发+=1 又123，所以4x+16%=48,144-12x=486. 故0式可化简为48y2-96%y+48%=0,即480y-尸=0，所以y=%, 故方程组仅有一组解，即直线与椭圆仅有一个交点.… …7分 x2,y2 =1 又点M(,%)在直线x+4y%y-12=0和椭圆123=上， 所以直线x+4,y-12=0为椭圆在点M()处的切线。 …9分 OA 《i)法一：设A(),B(3,乃，易知，当￥=时，由对称性可知，，O8 …10分 S AM-xox-xo 不妨设<<无，易知S2BM x2-xox-x2」 xx+4yoy-12=0, 12-8y0 X1= 联立( y=2, 解得 ，=2 Xox+4yoy-12=0, 12+8y% X2= 联立 y=-2, 解得 ，=-2 ,…12分 12-8y0-x0 =-0=0。 12-8y。-x号 S2x-2x0- 12+8%x7-8%-12 所以 Xo 左+=1 又123，可得6=12-46，%≠0 S-4-8y-2-0 S2-4y6-8y0 2+y0, …… …14分 2 12-8y% +4 OA V12-8%)2+4x V02-8y)2+48-16y6 OB 2 12+8y0 V12+8y)2+4x V12+8)2+48-16 +4 Xo 43V-4+4_ 2-Yo 4W3V+4+4 2+y0 …l6分 SOA 故S,1OB 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 .…17分 S OA 法二：设1(，，B(,）,易知，当=时，由对称性可知， S,OB …10分 xx+4yoy-12=0, x-12-8% 当≠x时，联立 y=2, 解得 ，=2, xx+4yoy-12=0, 12+80 联立( y=-2, 2= 解得七，2=-2 …12分 3 若=0，则%2，。=±5，与=85 重对将性，不纺5=5.名=85，则402).86原，-2).M5,到引 3 V32 8312 3,V3 tan∠A0M=,】=2V3 tan/BOM-koy-kan=2+1223 3 KoM 3 1+koukos 212 ,所以∠AOM=∠BOM, 同理，由对称性知，当=0时，∠A0M=∠B0M,14分 k==2 当名≠0时，不妨设5<<x,则4本12-8%6-4%， k==-2=-x 52+8206*2.6w= X0, 又123，所以6+4=12 Xo yo x号+4y好-6 12-6y0 .tan∠AOM= kos-kou 6-4%=3(0%-2】 3x(0。-2）_2 1+kou'kou 1+%o yo 1+,% 6-4y+y0 6-4y0x0 6-4y% 6-4y0 yo x号+4y+6y0 12+6y tan∠BoM ay-ka8=23+2 =3x(0%+2) 3x(+2)_2 1+konkos1-。名 yo 23+26)-%x0 2x(3+2y) 1 2(3+2y) 2(3+2y) y=2 y=-2 B 则tan∠AOM=tan/BOM,即∠AOM=∠BOM ，…16分 S-OAOM小sin∠AOM_lOA 所以S,OB OM sin∠BOM=OB 17分 19.【解析】(1)求导得f'()=e“(I+aw) 因为e>0恒成立，故只需对l+进行分类讨论， 2分 ①若a=0,则f(x)=尤，在R上单调递增：… 3分 ②若a>0,则 '()>0台x>-1f'()<0台x<- 0 a 所以函数()的单调递减区间为 a). 单调递增区间为 …4分 ③若a<0,则 '()>0台x<-1f(x)<0台x>- a a 所以函数(x)的单调递减区间为 单调递增区间为、 5分 (2)(i)当x>0时，fx)>8(0等价于xe“>xe2+4x2, 两边除以x>0,得e>e2x+4x.… …7分 i设p)=e“-e2-4x,则p(0)=0,p'(x)=ae“+2e2r-4 8分 特别地，p'(0)=a-2 若a<2,则9(0)<0，在x=0右侧附近()<0，不满足题意，所以必须有Q之2，…9分 当a≥2时，对x>0,有ae“≥2e2r 从而p(w≥2e2+2e2-4=2(e-e>0 因此0()在[0，+oo)上单调递增，故x>0时p(x)>p(0)=0,满足e>e2r+4x, 所以实数a的取值范围为[2，+o). 。。。。。。。。。。。 …11分 xc-c (i)由(i)取a=2,得对任意x>0,e2-e2x>4x, 4 12分 k+3 1,k+3 x=-In- 对每个正整数k，令 Vk,则 4 …13分 k+3 1,k+3 -In- sy k Vk+3 将其代入上式得4 k+3 k k+3√R (k+3)-k V k Vk+3 kk+3k(k+3) 3 化简右边： 4 4 4 4Vk(k+3) 1ink+3 3 n3 3 于是4太4k+，即kk+ 公+3<公3 对k=1,2,…,n求和得白kVk+3列 15分 nk+3-n4x5x×n+3）=na+l+2+3》=na+1n+2+3) 左边为石 “12 n 1×2×3 6 夕3 3 右边分+=F,因+司宏F nm+1m+2n+3》<3 所以 台Vk2+3k,证毕 …17分 高三数学一 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全集，集合，，则集合 A． B． C． D． 2．设，则 A． B． C． D． 3．已知，是不共线的向量，且，，，则 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知的分布列如下表．若，则的值为 0 1 2 A． B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 A． B． C． D． 7．函数图象上的点到直线的距离的最小值为 A． B． C． D． 8．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则 A．41 B．42 C．43 D．44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则 A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 10．已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是 A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 11．“尾概率”指的是随机变量取值落在其分布“两端”极端区域的概率，在工业生产中，尾概率常用于衡量极端情况发生的可能性，排查异常或故障情况．现对件产品逐件检测，假设每件产品检测合格的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记件产品中检测合格的件数为，其相应的“尾概率”定义为，，则下列结论正确的有 A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项为________． 13．已知不共线的向量，满足，则向量与向量的夹角为________． 14．已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知等差数列的前项和为，． （1）求数列的通项以及； （2）数列满足，其前项和为，求满足的的最大值． 16．（本小题满分15分） 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取500枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性200枚、实际为良性300枚；其中系统正确识别恶性180枚、正确识别良性282枚，其余识别错误． （1）从500枚结节中随机抽取1枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； （2）为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前6个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过97%，则建议全院推广） （3）研究团队进一步让12名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读200枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，上的点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上． （ⅰ）证明：直线为椭圆在点处的切线； （ⅱ）设为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．设与的面积分别为，，比较与的大小，并写出必要说明过程． 19．（本小题满分17分） 已知函数，，其中为自然对数的底数，． （1）求函数的单调区间； （2）（ⅰ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $