湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题

雅礼中学2022届高三入学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， .则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 已知复数 满足 ，则 （ ） A 1 B. 2 C. D. 【答案】D 3. 在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 5. 已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 6. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 7. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 8. 设 是定义在 上的奇函数，满足 ，数列 满足 ，且 .则 （ ） A. 0 B. C. 21 D. 22 【答案】A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设向量 、 满足 ，且 ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对具有线性相关关系的变量 、 ，有一组观测数据 ，其线性回归方程是 ，且 ，则实数 的值是 B. 从数字 、 、 、 、 、 、 、 中任取 个数，则这 个数的和为奇数的概率为 C. 已知样本数据 、 、 、 的方差为 ，则数据 、 、 、 的标准差是 D. 已知随机变量 ，若 ，则 【答案】BC 11. 以下四个命题表述正确是（ ） A. 直线 恒过定点 B. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1 C 曲线 与曲线 恰有三条公切线，则 D. 已知圆 ，点P为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 经过定点 【答案】BCD 12. 在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 与平面 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 点 的轨迹是一条线段 B. 与 是异面直线 C. 与 不可能平行 D. 三棱锥 的体积为定值 【答案】ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数 ，若 ，则 ___________. 【答案】4 14. 点 是曲线 上任意一点, 则点 到直线 的距离的最小值是________. 【答案】 15. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 .若 为线段 的中点，则 __________. 【答案】 16. 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第 棵树种植在点 处，其中 ， ，当 时， 表示非负实数 的整数部分，例如 ， ． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______． 【答案】 (1,2) (3, 402) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 满足： （1）问数列 是否为等差数列或等比数列？说明理由. （2）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式. 【答案】（1）数列 不是等差数列也不是等比数列，理由见解析； （2）证明见解析， 18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c=2bcosA. （1）证明∶B=2A； （2）设D为BC边上的中点，点E在4B边上，满足 ，且 ，四边形ACDE的面积为 ，求线段CE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 19. 如图，在四棱台 中，底面四边形 为菱形， ， ． 平面 ． （1）若点 是 的中点，求证： ； （2）棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且 ． 20. 某新型