2.2.3 直线的一般式方程 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练按A/B/C三级分层，题量9/5/1，梯度覆盖直线一般式方程的概念理解、综合应用到探究创新，通过基础巩固-能力提升-素养拓展路径，培养运算能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|直线方程求法、平行垂直判定等单一知识点|选择填空结合解答题，如根据点斜式/截距式转化一般式，夯实运算基础| |B级|中垂线、参数范围、面积计算等综合应用|几何与代数结合，如直线与线段相交求k范围，发展推理能力| |C级|含参直线性质、最值与距离等探究问题|多问递进设计，如直线过定点及面积最小值，体现创新意识|

2.2.3　直线的一般式方程 A级 必备知识基础 1.(探究点一)过点(2,1),斜率k=-2的直线的一般式方程为(　　) A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0 C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0 2.(探究点二)过点A(2,3)且与直线l:2x-4y+7=0平行的直线方程是(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.2x-y-1=0 D.x+2y-8=0 3.(探究点二)已知点A(3,-8)和B(-7,4).通过线段AB的中点并且垂直于3x-4y+14=0的直线方程为(　　) A.4x+3y+14=0 B.3x+4y+14=0 C.3x-4y-14=0 D.4x-3y+14=0 4.(探究点二)(2026浙江杭州高二期中)如果ab>0,那么直线ax+by+1=0一定经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.坐标原点 5.(探究点二)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 6.(探究点二)若直线mx+4y-2=0与直线2x-y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为(　　) A.-2 B.-4 C.10 D.8 7.(探究点二)已知直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x-ay+1=0,a∈R,若l1⊥l2,则a的值为　　　　　.  8.(探究点一)根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式. (1)斜率是-,且经过点A(8,-6); (2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3; (3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4); (4)经过点(2,-3),且一个方向向量为a=(2,4). 9.(探究点二)当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么条件时,该直线分别具有以下性质? (1)过坐标原点; (2)与两条坐标轴都相交; (3)只与x轴相交; (4)是x轴所在直线. B级　关键能力提升 10.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则点B的坐标为(　　) A.(2,-2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,2) 11.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为(　　) A.0 B.2 C.4 D. 12.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是(　　) A.[,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪[,+∞) D.[-2,] 13.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为　 .  14.直线l过原点,且与x-3y+2 025=0平行.若角α的终边落在直线l上,求. C级　学科素养创新 15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)若直线l不经过第四象限,求实数k的取值范围; (2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,求△AOB面积的最小值; (3)已知P(1,5),若点P到直线l的距离为d,求d最大时直线的方程. 参考答案 1.D　2.A　3.A　4.B　5.D　6.A 7.-1 8.解 (1)根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8), 化简可得x+2y+4=0. (2)根据截距式可得,=1,化简可得2x-y-3=0. (3)根据两点式可得,,整理可得x+y-1=0. (4)由直线的方向向量为a=(2,4)可得直线的斜率k=2, 所以所求直线方程为y+3=2(x-2),即2x-y-7=0. 9.解 (1)将O(0,0)代入Ax+By+C=0,得C=0, 当C=0且A,B不同为0时表示过坐标原点的直线. (2)直线Ax+By+C=0与两条坐标轴都相交说明在x轴,y轴上的截距都存在. 当C=0且A≠0,B≠0时直线过原点,满足条件, 当C≠0时,令x=0,则y=-,令y=0,则x=-, 所以A,B都不为0, 综上所述,A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交. (3)直线Ax+By+C=0只与x轴相交,即该直线与y轴平行或重合,因此直线方程可化成x=a形式,故B=0且A≠0. (4)x轴所在直线的方程为y=0,因此方程Ax+By+C=0中A=0,C=0,B≠0时,方程表示的直线是x轴所在直线. 10.A　设B的坐标为(a,b), 由题意可知 解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A. 11.B　由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0, ∴a2+b2=4.又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b=±时,等号成立.∴ab的最大值为2.故选B. 12.D　由已知直线l恒过定点P(2,1),如图所示, 若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB.因为kPA==-2,kPB=,所以-2≤k≤. 故选D. 13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0　由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0), 令y=0,得x=-,令x=0,得y=-, 则S==6,得c2=122,c=±12, ∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0. 14.解 因为直线l过原点,且与x-3y+2 025=0平行,所以直线l的方程为x-3y=0, 当x>0时,取终边上的点(3,1),可得tan α=, 当x<0时,取终边上的点(-3,-1),可得tan α=, 所以若角α的终边落在直线l上,则tan α=, =-. 15.解 (1)由题可得,直线l的方程为k(x+2)-y+1=0,则直线l恒过定点M(-2,1),则直线l不经过第四象限时,k≥0,故实数k的取值范围为[0,+∞). (2)因为直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,所以k>0. 当y=0时,x=-;当x=0时,y=1+2k, 所以S△AOB=|OA||OB|=2k++2≥4,当且仅当k=时,等号成立. 故△AOB面积的最小值为4. (3)当PM⊥l时,d取最大值. 又kPM=,则直线l的斜率为-, 则直线l的方程为y-1=-(x+2),即3x+4y+2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $