第2章 05 2.2.3 直线的一般式方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，通过选择、填空、解答题组合，强化直线方程的理解与数学思维能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|直线平行垂直判定、倾斜角计算、方程转化|结合教材改编与联考真题，注重概念辨析与基本运算| |能力提升练|斜率范围、面积最值、几何综合问题|情境化问题设计，跨知识点综合应用，培养逻辑推理与数学建模|

2.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 题组一　直线的一般式方程及应用 1.(2026福建三明第一中学月考)已知直线l1:2x+(m+1)y-2=0与l2:mx+3(m+1)y-2=0平行,则m的值是(　　) A.-3　　B.2或-3　　C.6　　D.-1或6 2.(2026重庆第一中学校月考)“a=0”是“直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 3.(2026安徽黄山联考)已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为(　　) A.x+y-3=0　　B.4x-3y+9=0　　 C.3x-4y+3=0　　D.2x+y-3=0 4.(多选题)(2026广东多校联考)已知直线l1:mx-6y+1=0,l2:x+(m-7)y+1=0,则下列结论正确的是(　　) A.若l1∥l2,则m=6　　 B.若l1∥l2,则m=1或m=6 C.若l1⊥l2,则m=　　 D.若l1⊥l2,则m=- 5.(2026黑龙江双鸭山部分学校月考)已知直线l:(m+1)x+my+2-m=0经过平面直角坐标系的第二、三、四象限,则实数m的取值范围是　　　　.  6.(2026黑龙江鸡西实验中学月考)已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y+3a+7=0,a∈R. (1)证明直线l过定点,并求出定点的坐标; (2)若直线l'过(1)中的定点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍,求直线l'的方程; (3)若直线l不经过第四象限,求a的取值范围. 题组二　直线方程几种形式的转化及应用 7.(2026河南天一大联考月考)在同一坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0,不可能的是(　　) 　　　　　　 8.(教材习题改编)(多选题)(2026江苏无锡江阴第二中学月考)下列说法正确的是(　　) A.直线l:mx+y+2-m=0恒过定点(1,-2) B.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第四象限 C.已知直线l过点P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,则直线l的方程为x+y-5=0 D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为- 9.(2026河北沧州沧县中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,直线ax-y-a=0过定点M,点P在直线x=2上,则tan∠OPM的最大值为　　　　.  10.(2026辽宁沈阳第二中学月考)已知直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分别与x轴、y轴的负半轴交于点A,B,坐标原点为O,则三角形AOB的面积最小时的直线的方程为　　　　　.  能力提升练 题组　直线方程的综合应用 1.(2026广东江门广德实验学校月考)已知l的方程是x-y+1=0(-3≤x≤2),则的取值范围是　(　　) A.[0.75,2]　　 B.(0.75,2) C.(-∞,0.75)∪(2,+∞)　　 D.(-∞,0.75]∪[2,+∞) 2.(2026安徽大联考调研)已知直线Ax+By+C=0与x+y-3=0平行,则A2+B+C2的最小值为　(　　) A.-　　B.-　　C.0　　D.1 3.(2024广东佛山南海中学期中)过点P(-1,-2)的直线l的方程可表示为m(x+1)+n(y+2)=0,若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6,则这样的直线l有(　　) A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条 4.(2026河南南阳邓州阶段测试)已知直线l1:y=x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是　　　　.  5.(2026辽宁大连第八中学月考)如图,已知直线l过点(3,4),且与直线3x-4y+2=0垂直,与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,点P为线段AB上一动点,且PQ∥OB,PQ交OA于点Q. (1)求线段AB的垂直平分线方程; (2)若△APQ的面积S△APQ与四边形OQPB的面积S四边形OQPB满足S△APQ=S四边形OQPB,请你确定点P在AB上的位置,并求出线段PQ的长; (3)判断在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 6.(2025北京门头沟期中)已知直线l1,l2均过点P(1,2). (1)若直线l1过点A(-1,3),且l1⊥l2,求直线l2的方程; (2)如图,O为坐标原点,若直线l1的斜率为k,其中0<k<2,且与y轴交于点N,直线l2过点Q(R为常数),且与x轴交于点M,求直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形PNOM的面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 2.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 1.D 2.A 3.B 4.AC 7.D 8.ABD 1.D　由直线l1∥l2,得2×3(m+1)=m(m+1),解得m=-1或m=6, 当m=-1时,直线l1:2x-2=0,直线l2:-x-2=0,满足l1与l2平行; 当m=6时,直线l1:2x+7y-2=0,直线l2:6x+21y-2=0,满足l1与l2平行, 所以m的值是-1或6. 2.A　若直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直,则1×a+(-a)×1=0, 该方程恒成立,则a∈R. 由a=0可以推出a∈R,则充分性成立; 由a∈R无法推出a=0,则必要性不成立, 则“a=0”是“直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直”的充分不必要条件. 名师总结　已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3.B　由直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,可知tan θ=,∵直线l2的倾斜角为2θ,∴直线l2的斜率为tan 2θ==,∵直线l2在y轴上的截距为3,∴直线l2的方程为y=x+3,即4x-3y+9=0. 4.AC　若l1∥l2,则m(m-7)+6=0,解得m=1或m=6. 当m=1时,l1,l2的方程均为x-6y+1=0,此时l1与l2重合; 当m=6时,l1:6x-6y+1=0,l2:x-y+1=0,此时l1∥l2, 所以l1∥l2时,m=6,故A正确,B错误. 若l1⊥l2,则m-6(m-7)=0,解得m=,故C正确,D错误. 5.答案　(0,2) 解析　因为直线l经过平面直角坐标系的第二、三、四象限,所以直线l的斜率k<0,且在y轴上的截距b<0,m≠0. 因为直线l:(m+1)x+my+2-m=0,所以k=-,b=, 则解得0<m<2, 即实数m的取值范围是(0,2). 6.解析　(1)整理直线l的方程,得(2x-y+3)a+3x+y+7=0, 因为此式对a∈R都成立,所以2x-y+3=0,且3x+y+7=0, 联立解得 所以直线l过定点,该定点的坐标为(-2,-1). (2)当直线l'在两坐标轴上的截距均为0时,其方程为y=x,即x-2y=0(易错点); 当直线l'在两坐标轴上的截距不为0时,设其方程为+=1, 则解得 则直线l'的方程为+=1,即12x+y+25=0. 综上可知,直线l'的方程为x-2y=0或12x+y+25=0. (3)根据题设条件分为三类:斜率不存在,斜率为0,斜率不为0. 当a=1时,直线l的方程为x=-2,符合题意; 当a=-时,直线l的方程为y=-1,不符合题意; 当a≠1,且a≠-时,直线l的方程为y=x+, 所以⇒ 解得a>1或a≤-. 综上所述,当直线l不经过第四象限时,a的取值范围是∪[1,+∞). 7.D　观察各选项知a,b均不为0,则两直线的斜率分别为,,且斜率的正负相同. A中,由两直线在x轴上的截距异号,得×<0,所以abc2>0,得ab>0,则两直线的斜率均大于0,故A中图形可能成立; B,C,D中,由两直线在x轴上的截距同号,得×>0,所以abc2<0,得ab<0,则两直线的斜率均小于0,故B,C中图形可能成立,D中图形不可能成立. 8.ABD　A中,l:m(x-1)+y+2=0,显然直线l恒过定点(1,-2),A正确; B中,直线方程可化为y=-x-,由AB<0,BC<0,知->0,->0, 所以直线不经过第四象限,B正确; C中,若直线l过原点,则其方程为y=x,即3x-2y=0,C错误; D中,设原直线方程为ax+by+c=0,根据平移可知,平移后的直线方程为a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+3a-2b+c=0, 所以方程ax+by+3a-2b+c=0与ax+by+c=0表示同一直线, 所以3a-2b+c=c⇒3a=2b⇒-=-,D正确. 9.答案　 解析　直线ax-y-a=0即a(x-1)-y=0,可知其过定点(1,0),即M(1,0). 设P(2,t),A(2,0),注意到∠OPM=∠PMA-∠POM, 则|tan∠OPM|=|tan(∠PMA-∠POM)|=, 而tan∠PMA==|t|,tan∠POM==, 故|tan∠OPM|==≤=, 于是tan∠OPM≤|tan∠OPM|≤, 当t=±时,等号成立, 故tan∠OPM的最大值为. 10.答案　2x+y+4=0 解析　方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即直线恒过定点(-1,-2).由题可设直线方程为+=1,其中a,b<0,则A(a,0),B(0,b),--=1.由基本不等式可知,1=+≥2,解得ab≥8,当且仅当=,即a=-2,b=-4时取等号,故△AOB的面积S=|ab|的最小值为4,此时直线方程为+=1,即2x+y+4=0. 能力提升练 1.D　的几何意义为点(x,y)与点(1,1)连线的斜率,可考虑数形结合. 由题可知,x≠1, 令k=,-3≤x≤2,且x≠1, 当x=-3时,y=-2;当x=2时,y=3, 记A(-3,-2),B(2,3),Q(1,1), 则k可以看作线段AB上(含端点)的点(x,y)与点Q(1,1)连线的斜率.如图: 由图可知k≥kBQ或k≤kAQ,又kBQ==2,kAQ==0.75, 所以的取值范围是(-∞,0.75]∪[2,+∞). 2.A　由两直线平行的充要条件可得=≠,即B=A且3A+C≠0, 所以A2+B+C2=A2+A+C2≥A2+A=-, 即当A=-,B=-,C=0时,A2+B+C2取得最小值,为-, 此时直线Ax+By+C=0即-x-y=0,与直线x+y-3=0平行,满足要求. 3.D　方程m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0①, 要使l与两坐标轴能围成三角形,则mn≠0且m+2n≠0, 对于①,令x=0,得y=-;令y=0,得x=-, 依题意得,××=××=×=×=6,所以++4=12或++4=-12, 所以+=8或+=-16, 设t=,则t+=8或t+=-16,则t2-8t+4=0或t2+16t+4=0, 解得t=或t=,即t=4±2或t=-8±2, 因此=4±2或=-8±2,所以这样的直线l有4条. 4.答案　 解析　直线l2的方程可化为y=-x++4. 当k>4时,>0,-<0,-k+4<0,+4>0. 易知l1,l2均过定点(2,4),直线l1与x轴交于点,直线l2与y轴交于点, ∴四边形的面积S=×2×+×4×=4-16×+8=4-8, ∵k>4,∴0<<,∴S∈. 5.解析　(1)因为直线l与直线3x-4y+2=0垂直,所以直线l的斜率k=-, 又直线l过点(3,4),所以直线l的方程为y-4=-(x-3),即4x+3y-24=0. 令y=0,得x=6,即A(6,0);令x=0,得y=8,即B(0,8), 则线段AB的中点坐标为(3,4), 又直线l的斜率k=-, 所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=(x-3),即3x-4y+7=0. (2)由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0,B(0,8), 因为S△APQ=S四边形OQPB,所以S△APQ=S△ABO. 由PQ∥OB,知△APQ与△ABO相似,于是有==,即==,得|PQ|=4, 此时点P为线段AB的中点, 所以S△APQ=S四边形OQPB时,点P为线段AB的中点,且|PQ|=4. (3)假设在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形, 解题指导:直角不确定,故分∠PQM=90°、∠MPQ=90°和∠PMQ=90°三种情况进行讨论. 由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0, 如图1,当∠PQM=90°时,因为点M在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,所以点M必与原点O重合,设Q(t,0),因为|MQ|=|PQ|,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=<6, 此时M(0,0)满足题意; 　 如图2,当∠MPQ=90°时,由PQ∥OB,|MP|=|PQ|,知四边形OMPQ为正方形, 设Q(t1,0),则P(t1,t1),M(0,t1),于是有4t1+3t1-24=0,解得t1=<6, 此时M满足题意; 如图3,当∠PMQ=90°时,由PQ∥OB,|MQ|=|MP|,得∠OQM=∠PQM=45°,即|OM|=|OQ|, 设Q(t2,0),则M(0,t2),P,显然直线QM的斜率为-1,则直线PM的斜率为1, 即=1,解得t2=<6, 此时M满足题意. 综上,y轴上存在点M(0,0)或M或M,使△MPQ为等腰直角三角形. 6.解析　(1)因为直线l1过点P(1,2),A(-1,3), 所以直线l1的斜率为=-, 因为l1⊥l2,所以·=-1,所以=2, 所以直线l2的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. (2)根据题意可得直线l1的方程为y-2=k(x-1), 令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k), 令y=0,得x=-+1, 设直线l1与x轴的交点为T,则T. 因为直线l2过点P(1,2),Q, 所以直线l2的方程为y-2=(x-1),即y-2=-(x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0), 所以S四边形PNOM=S△TPM-S△TNO=R2+1-×2-××(2-k)=R2+-=R2+=R2-+2,又0<k<2,所以S四边形PNOM∈(R2+1,R2+2). 7 学科网（北京）股份有限公司 $