4.3.1 对数的概念同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数概念、互化及求值，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶路径，适配新授课知识内化与能力进阶，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数概念（定义域、定义辨析）、基本对数值计算|含教材原题（如第1、9题），通过选择、填空考查概念理解，落实数学抽象能力| |中档|指数对数互化、简单对数方程求解|以单选、多选（如第6题）及填空题（如第10题）为主，训练运算能力与推理意识| |提升|综合应用（集合与对数结合、多层对数方程、实际情境）|设计跨知识情境题（如第11题有序数对）及综合解答题（如第17题二次函数与对数），发展应用意识与创新意识|

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 1.D　[解析] ∵log(2x-1)(2-x)有意义,∴解得<x<2且x≠1.故选D. 2.ACD　[解析] 由对数的概念易知A,C,D正确;只有ax=N(a>0且a≠1,N>0)才有ax=N⇔x=logaN,故B错误.故选ACD. 3.(-∞,5)　[解析] 由题意得5-a>0,解得a<5,故实数a的取值范围是(-∞,5). 4.A　[解析] 当a>0,a≠1时,由ab=2及对数定义得loga2=b.故选A. 5.A　[解析] 由a=log32,得3a=2,所以3a+3-a=3a+(3a)-1=2+=.故选A. 6.ACD　[解析] 将log39=2化为指数式为32=9,故B错误;显然A,C,D均正确.故选ACD. 7.B　[解析] 由题得=2x-1=25,解得x=13.故选B. 8.AB　[解析] lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确,lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;由e=ln x,得x=ee,故C错误;lg 1=0,而ln 0没有意义,故D错误.故选AB. 9.解:(1)log525=log552=2. (2)log0.41=0. (3)ln=ln e-1=-1. (4)lg 0.001=lg 10-3=-3. 10.解:(1)由lox=-3,可得x==33=27. (2)由logx64=4,可得x4=64, 又x>0,且x≠1,所以x=2. (3)由lg 0.000 01=x,可得lg 10-5=x,所以x=-5. (4)由ln =-x,可得e-x==, 所以-x=,则x=-. 11.C　[解析] M={1,3},N={1,3,5,7,9},从集合M,N中各任取一个数x,y,若满足log3(xy)为整数,则xy=3或xy=9或xy=27或xy=1,所以有序数对(x,y)为(1,1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共6个.故选C. 12.D　[解析] 因为集合A=,集合B={m,n},且A∩B={1},所以log2=1,可得=2.若n=1,则m=2,此时B={1,2}=A,不符合题意;若m=1,则n=,此时B=,符合题意.因此mn=.故选D. 13.4　[解析] 因为log(x-2)(x2-7x+13)=0,所以解得x=4. 14.　[解析] 因为x=log23,所以2x=3,所以2-x=,则===. 15.解:(1)由log3[log4(log5x)]=1,可得log4(log5x)=3, 则log5x=43=64,所以x=564. (2)由log3[log4(log5x)]=0,可得log4(log5x)=1, 则log5x=4,所以x=54=625. 16.　[解析] 设log4a=log6b=log9(a+b)=m,则a=4m,b=6m,a+b=9m,∴a+b=9m===,整理得--1=0,又a>0,b>0,∴=. 17.解:∵f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最小值为3, ∴lg a>0,且f(x)min=f=lg a×+2×+4lg a=4lg a-=3, 即4(lg a)2-3lg a-1=0,∴(4lg a+1)(lg a-1)=0, 可得lg a=1,∴a=10. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　对数 4.3.1　对数的概念 考点一　对数的概念 1.[教材P127第2题] 使式子log(2x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x>2 B.x<2 C.<x<2 D.<x<2且x≠1 2.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以e为底的对数叫作自然对数 3.若ln(5-a)有意义,则实数a的取值范围是　　　　.  考点二　指数与对数的互化 4.若ab=2(a>0,且a≠1),则 (　 ) A.loga2=b B.log2a=b C.2a=b D.2b=a 5.若a=log32,则3a+3-a的值为 (　 ) A. B. C. D.- 6.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是 (　 ) A.100=1与lg 1=0 B.log39=2与=3 C.2=与log27=- D.log55=1与51=5 考点三　求对数值 7.已知=25,则x的值为 (　 ) A.10 B.13 C.100 D.±1001 8.(多选题)下列说法正确的有 (　 ) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若e=ln x,则x=e2 D.ln(lg 1)=0 9.[教材P123第2题] 求下列各式的值: (1)log525;(2)log0.41; (3)ln;(4)lg 0.001. 10.求下列各式中x的值. (1)lox=-3;(2)logx64=4; (3)lg 0.000 01=x;(4)ln =-x. 11.对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7,9},若从集合M,N中各任取一个数x,y组成有序数对(x,y),则使log3(xy)为整数的有序数对的个数为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.已知m,n∈R,集合A=,集合B={m,n},若A∩B={1},则mn= (　 ) A.1 B.2 C.2或 D. 13.若log(x-2)(x2-7x+13)=0,则x的值为　　　　.  14.已知x=log23,则的值为　　　　.  15.求下列各式中x的值. (1)log3[log4(log5x)]=1; (2)log3[log4(log5x)]=0. 16.已知a>0,b>0,若log4a=log6b=log9(a+b),则=　　　　.  17.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最小值为3,求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $