3.2.2函数的奇偶性同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册（河南专用）

**基本信息** 以函数奇偶性为核心，通过基础题与拔高题分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课教学需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|定义、图象特征、单调性判断等单一知识点|含判断奇偶性证明题，强化数学语言表达，如解答题15| |拔高题|充要条件、综合不等式等跨知识点应用|设★题考查逻辑推理，如单选题8的条件关系分析|

3.2.2函数的奇偶性同步练（河南专用) 教材知识梳理 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 设函数fx的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I 定义 且 那么函数fx就叫做偶 且 那么函数fx就叫做奇 函数 函数 图象特 关于y轴对称 关于原点对称 征 2.若fx为奇函数且在区间a,ba<b上单调递增，则fx在-b,-a上 即 在对称区间上单调性 a,b符号相同 3.若fx为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增，则fx在[-b,-a]上 即在对称区间上单调性 .a,b符号相同 4.判断正误（正确的写正确，错误的写错误） (1)奇函数的图象一定过原点.() (2)若对于定义域内的任意一个x,都有fx+f-x=0,则函数fx是奇函数.( (3)若函数fx的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是 奇函数.( 4)对于y=fx若存在x,使f-x=fx则fx是偶函数.（ 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1.(24-25高一上·河南信阳·阶段检测)下列选项中的函数在R上为奇函数的是() 试卷第1页，共3页 A.f(x)=x+-B.f(x)=x-2x C.f(x)=x+3x'D.f(x)=-x+x+1 X 2.(25-26高一上·河南南阳·阶段检测)下列函数是奇函数的是（) A.fx)=( B.fx= -(x+1)2-1,x<-1 C.f(x=x-1 D.f(x)=x,-1≤x≤1 X (x-12+1,x>1 3.(25-26高三下河南新乡阶段检测)已知fx是定义在R上的奇函数，且当X≤0时， fx=x1-x,则当x>0时，fx=() A.-x 1-x)B.x 1-x C.-x 1+x) D.x1+x) 4,(25-26高一上：河南新乡：期中)已知函数rX=2心，2x+2的最大值为M:最小值为 x2+1 m,则M+m的值等于() A.2 B.4 C.6 D.8 5.(25-26高-上：河南：期中)已知函数fx=aX+b+1x+2a+b是定义在4a-2,2al 上的偶函数，则fa+b=() A.1 B.0 3 6.(2025河南模拟预测)已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x,y,都有 fx+fy=fx+y列+a,则a=() A.2 B.1 C.0 D.-1 7.(25-26高一上·河南驻马店期中)已知函数fx是偶函数，且对任意的 x,xe|0,+oo1(x1≠x2小都有x1-x2fx-fx)>0:若f-3=4:则不等式 f3x-1-4<0的解集为() B 2 +00 试卷第2页，共3页 C ★8.(2026河南南阳·模拟预测)已知函数fx的定义域为R,gx=fxf2x,则“ fx是奇函数”是“gx是偶函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 9.(25-26高一上·河南·期中)下列函数为奇函数的是() A.flx)=x3-1 B.fx=xx X C.fx=3-3 D.flx=x+x) ★10.(24-25高二下·河南阶段检测)已知函数fx)的定义域为R,则下列说法正确的 是() A.f(x可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B.若f代x是奇西数，则(x是偶函数 C.若fx)是偶函数，则xx是偶函数 D.若f(x)是奇函数，则fx)是奇函数 三、填空题 11.(25-26高一上·河南郑州·期中)已知函数y=fx是定义在R上的偶函数，x>0时， fx=x-2x则x<0时，fx= 12.(25-26高一上·河南·阶段检测)已知fx是定义在R上的偶函数，且在-∞，0上单调 试卷第3页，共3页 递减，f4=4,则关于x的不等式fx-2≥4的解集为 13.(2025河南新乡·二模)若fx,gx分别为奇函数、偶函数，f2+g2=20,且 fx-xgx=x,则f-2+5g-2=一 14.(24-25高三上河南周口期中)已知函数fx-mx+2+1是奇函数，则fm+n= x-n 四、解答题 15.(2026高一上·河南·期中)判断下列函数的奇偶性并证明 四rx=X: x2+1 2f1x=t+1 X Gx)=1-x+)1 16.(25:26高一上河南郑州期中)已知函数fx=x+9 (1)判断fx在区间3，+o∞上的单调性，并用定义证明： (2)判断fx的奇偶性，并用定义证明； ★(3)若fm2+3+f-5≥0，求m的范围. 试卷第4页，共3页 3.2.2函数的奇偶性同步练（河南专用） 教材知识梳理 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数的定义域为，如果，都有 且________，那么函数就叫做偶函数 且________，那么函数就叫做奇函数 图象特征 关于轴对称 关于原点对称 【答案】 2．若为奇函数且在区间上单调递增，则在上________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递增 一致（相同） 3．若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上_________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递减 相反 4.判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）奇函数的图象一定过原点．( ) （2）若对于定义域内的任意一个，都有，则函数是奇函数．( ) （3）若函数的图象关于轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．( ) （4）对于，若存在使，则是偶函数．( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】根据奇偶性的定义以及性质即可逐一判断. 【详解】（1）错误，若函数在处没有定义，则不经过原点，如函数， （2）正确，若，则，故函数是奇函数， （3）正确，由奇函数、偶函数图象的特征可知正确． （4）错误．偶函数需要对定义域内任意的有. 故答案为：错误；正确；正确；错误. 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）下列选项中的函数在上为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域以及奇函数的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，定义域不为，故不符合， 对于B，定义域为，且，故为偶函数，不符合， 对于C，定义域为，且，故为奇函数，符合， 对于D，定义域为，且，故不为奇函数，不符合， 故选：C 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误； 对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误； 对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有; 对任意的，有，则； 对任意的,有，则; 所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 4．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，先判断的奇偶性，利用奇偶性即可求解. 【详解】由， 设，函数定义域为，则， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以， 因为，所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义域、对称轴方程可求出、的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 函数的对称轴方程为，解得， 故，， 因此. 故选：D. 6．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 7．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】由对任意，都有，得函数在上单调递增， 因为函数为偶函数，, 所以， 于是，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. ★8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是奇函数时， 因为， 所以是偶函数. 当是偶函数时， ，而， 所以， 当是偶函数时，显然成立， 所以是偶函数成立，不一定能推出是奇函数， 所以“是奇函数”是“是偶函数”的充分不必要条件， 故选：A 二、多选题 9．（25-26高一上·河南·期中）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，故A选项正确； 对于B选项，函数的定义域为，不是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，函数的定义域为，且，故C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故D选项错误. 故选：AC ★10．（24-25高二下·河南·阶段检测）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，时，，则时，__________. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，则有，所以有， 故答案为： 12．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先得到在上单调递增，从而得到，结合单调性得到不等式，求出解集. 【详解】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 13．（2025·河南新乡·二模）若分别为奇函数、偶函数，，且，则______. 【答案】4 【分析】根据已知有，进而求得，，再应用奇偶性求目标函数值. 【详解】依题意得，又，解得，， 所以. 故答案为：4 14．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则_______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求的值，故可求. 【详解】因为是奇函数，故， 故恒成立，故，或， 当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍， 故，此时，故， 故答案为：. 四、解答题 15．（2026高一上·河南·期中）判断下列函数的奇偶性并证明 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) 为偶函数 证明如下： 因为， 所以的定义域为,关于原点对称， 所以为上的偶函数. (2) 为非奇非偶函数. 证明如下： 因为， 所以，解得且 所以的定义域为,关于原点不对称 所以为非奇非偶函数. (3) 为偶函数 证明如下： 因为， 所以解得， 则的定义域为且关于原点对称，且 ， 所以既为为偶函数也是奇函数. 【分析】先求定义域，看其是否关于原点对称，再验证间的关系. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并用定义证明； ★(3)若，求的范围. 【答案】(1)在上递增，证明： ， ， ， 即，故在上单调递增； (2)奇函数，证明： 的定义域是， ， 有， 是奇函数； (3) 【分析】（1）借助单调性定义，，求出正负即可得； （2）结合函数奇偶性定义计算即可得； （3）结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ∵在上递增，则， 解得或者 的范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $