3.2.2　第2课时　函数奇偶性的应用 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦函数奇偶性的应用，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|奇偶性判断、简单函数值计算|单选（1-4题）直接考查奇偶性定义，如第1题辨析函数奇偶性与单调性| |能力提升层|奇偶性与单调性综合、参数求解|填空（7-9题）结合单调性求函数值范围，多选（5-6题）深化性质理解| |综合应用层|不等式求解、抽象函数证明|解答题（10、16题）综合奇偶性与定义域、单调性解不等式，培养数学建模能力|

第2课时　函数奇偶性的应用 1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　） A.y＝x2 B.y＝x5＋1 C.y＝ D.y＝x3 2.已知偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　） A.f（π）＞f（－2）＞f（－3） B.f（π）＞f（－3）＞f（－2） C.f（π）＜f（－2）＜f（－3） D.f（π）＜f（－3）＜f（－2） 3.若奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f（－3）＋2f（－6）＝（　　） A.13 B.－13 C.5 D.－5 4.已知函数f（x）是奇函数，函数g（x）＝f（x）－2，则g（20）＋g（－20）＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.－4 5.（多选）已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有（　　） A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　） A.a＝2 B.f（2）＝2 C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12 7.已知f（x）为奇函数，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝3，则f（2）＝　　　　. 8.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是　　　　　　. 9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若f（－3）＝0，则＜0的解集为　　　　. 10.已知f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（x）在（－1，1）上是减函数，解不等式f（1－x）＋f（1－2x）＜0. 11.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（－2）＝3，则满足f（2x－3）＜3的x的取值范围是（　　） A.∪　 B. C.∪ D. 12.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（　　） A.最大值－8 B.最小值－8 C.最小值－6 D.最小值－4 13.若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝　　　　. 14.已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝，h（x）＝. （1）试判断 g（x）与h（x）的奇偶性； （2）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系； （3）由此你能猜想出什么样的结论？ 15.（多选）关于定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，则下列说法正确的是（　　） A.当x＜0时，f（x）＝x2－2x B.函数f（x）在定义域R上为增函数 C.不等式f（3x－2）＜8的解集为 D.不等式f（x）－x2－x－1＜0恒成立 16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. （1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系； （2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围. 第2课时　函数奇偶性的应用 1.D　A选项，y＝x2是偶函数，故A错误；B选项，y＝x5＋1是非奇非偶函数，故B错误；C选项，y＝在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，故C错误；D选项，y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确.故选D. 2.B　因为f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3）.又当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，且π＞3＞2，所以f（π）＞f（3）＞f（2），即f（π）＞f（－3）＞f（－2）.故选B. 3.B　由f（x）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f（3）＝－1，f（6）＝7.∵f（x）是奇函数，∴f（－3）＝－f（3）＝1，f（－6）＝－f（6）＝－7，∴f（－3）＋2f（－6）＝1＋2×（－7）＝－13. 4.D　根据题意，函数f（x）是奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0，则g（x）＋g（－x）＝f（x）－2＋f（－x）－2＝0－4＝－4，则g（20）＋g（－20）＝－4，故选D. 5.BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C. 6.ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D. 7.6　解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.∵g（x）＝f（x）＋9，∴g（－x）＝f（－x）＋9＝－f（x）＋9，∴f（x）＝9－g（－x）.∵g（－2）＝3，∴f（2）＝9－g（－2）＝9－3＝6. 8.f（－2）＜f（1）＜f（0）　解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）＜f（1）＜f（0），又∵f（x）＝－x2＋2为偶函数，∴f（2）＝f（－2）.即f（－2）＜f（1）＜f（0）. 9.{x｜－3＜x＜0或x＞3}　解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴f（3）＝f（－3）＝0.当x＞0时，由f（x）＜0，解得x＞3；当x＜0时，由f（x）＞0，解得－3＜x＜0.故所求解集为{x｜－3＜x＜0或x＞3}. 10.解：∵f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数， 由f（1－x）＋f（1－2x）＜0，得 f（1－x）＜－f（1－2x），即f（1－x）＜f（2x－1）. 又∵f（x）在（－1，1）上是减函数， ∴解得0＜x＜， ∴原不等式的解集为x0＜x＜. 11.B　因为偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（－2）＝3，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝3.因为f（2x－3）＜3，所以－2＜2x－3＜2，所以＜x＜.故选B. 12.D　∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x）＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最小值－4. 13.－2x2＋4　解析：∵f（x）＝（x＋a）·（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则函数为f（x）＝bx2，当b为正数时，值域为[0，＋∞），不符合题意；当b为负数时，值域为（－∞，0]，不符合题意；当b＝0时，值域为{0}，不符合题意.若b＝－2，则函数为f（x）＝－2x2＋2a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4. 14.解：（1）∵g（－x）＝＝g（x），h（－x）＝＝－h（x），∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数. （2）g（x）＋h（x）＝＋＝f（x）. （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 15.AC　对于A，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝x2－2x，又f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝x2－2x，即当x＜0时，f（x）＝x2－2x，故A中说法正确；对于B，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－1.所以当x≥0时，f（x）单调递增，由偶函数的图象关于y轴对称得，f（x）在（－∞，0）上为减函数，故B中说法错误；对于C，当x∈[0，＋∞）时，令f（x）＝x2＋2x＝8，解得x1＝2，x2＝－4（舍去），即f（2）＝8，所以不等式f（3x－2）＜8即f（3x－2）＜f（2），又f（x）在R上为偶函数，则｜3x－2｜＜2⇒0＜x＜，所以不等式的解集为，故C中说法正确；对于D，当x＜0时，f（x）＝x2－2x，f（x）－x2－x－1＝x2－2x－x2－x－1＝－3x－1不恒小于0.当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，f（x）－x2－x－1＝x2＋2x－x2－x－1＝x－1不恒小于0，故D中说法错误.故选A、C. 16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得＞0， 所以f（a）＋f（－b）＞0. 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（－b）＝－f（b）， 所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）. （2）由（1）知f（x）为R上的增函数， 因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0， 所以f（1＋m）≥－f（3－2m）， 即f（1＋m）≥f（2m－3）， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为（－∞，4]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $