第五周 第3天 函数奇偶性的概念- 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数奇偶性概念为核心，通过基础认知、能力提升、综合应用三层设计，实现从定义理解到图象应用再到求值问题的递进巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|函数奇偶性定义及判断|教材例题与跟踪练习结合，强化定义应用| |能力提升|奇偶函数图象特征及性质|拓展探究与一题多变，深化性质推理| |综合应用|奇偶性综合求值|今日演练题，融合定义域与参数计算|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 2天 函数奇偶性的概念今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解函数奇偶性的定义并会判断和证明函数的奇偶性. (重点) 2.掌握奇(偶)函数图象的应用. (重点) 3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的奇偶性 ❓ 问题 1 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ ❓ 问题 2 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ 💡知识梳理 1、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝_________ f(－x)＝_________ 图象特点 关于_________对称 关于_________对称 ⚠️ 注意点： (1)判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 🎯教材例题 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5； (3)f(x)=x+； (4)f(x)=. 🎯例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝＋ ； (3)f(x)＝ 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法. (2)图象法： (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 反思 归纳 🎯拓展探究1　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 🎯拓展探究2　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 🎯拓展探究3　若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 🎯跟踪练习1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 知识点2 奇、偶函数的图象及应用 🎯例2 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间． 🎯一题多变 (变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 巧用奇、偶函数的图象求解问题： (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 🎯一题多变　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 知识点3 利用函数的奇偶性求值 🎯例3（1）若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． （2）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝________． 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 （1）已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________． (2)若函数f(x)＝在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________． 自学小结 函数奇偶性的概念 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数的奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1函数f(x)＝－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 2．下列函数中是偶函数的是(　　) A．y＝2|x|－1，x∈[－1，2] B．y＝x2＋x C．y＝x3 D．y＝x2，x∈[－1，0)∪(0，1] 3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________． 4．已知函数f(x)＝x＋(a＞0). (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 2天 函数奇偶性的概念今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解函数奇偶性的定义并会判断和证明函数的奇偶性. (重点) 2.掌握奇(偶)函数图象的应用. (重点) 3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的奇偶性 ❓ 问题 1 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ 💬提示　这两个函数图象都关于y轴对称.当自变量互为相反数时，函数值相等. ❓ 问题 2 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ 💬提示　可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.当自变量互为相反数时，函数值互为相反数. 💡知识梳理 1、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 ⚠️ 注意点： (1)判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 🎯教材例题 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5； (3)f(x)=x+； (4)f(x)=. 【解】　(1)函数f(x)=x4的定义域为R. 因为∀x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)， 所以，函数f(x)=x4为偶函数. (2)函数f(x)=x5的定义域为R. 因为∀x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)， 所以，函数f(x)=x5为奇函数. (3)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}. 因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且f(-x)=-x+=-=-f(x)， 所以，函数f(x)=x+为奇函数. (4)函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}. 因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且f(-x)==f(x)， 所以，函数f(x)=为偶函数. 🎯例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝＋ ； (3)f(x)＝ 【解】　(1)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x). 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)方法一：作出函数f(x)的图象如图: 此函数的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数． 方法二：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 对∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)， 故f(x)为偶函数． 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法. (2)图象法： (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 反思 归纳 🎯拓展探究1　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 【解】设F(x)=f(x)+g(x)，∵f(x)，g(x)的定义域为R，∴F(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)，∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)， ∴F(x)为偶函数. 同理可得，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)均为偶函数. 🎯拓展探究2　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 【解】由拓展探究1易知f(x)±g(x)为奇函数.设G(x)=(g(x)≠0)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R，∴G(x)的定义域关于原点对称， 又f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，∴G(-x)==G(x)， ∴G(x)为偶函数，即(g(x)≠0)为偶函数， 同理，f(x)·g(x)为偶函数. 🎯拓展探究3　若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 【解】设H(x)=f(x)·g(x)，∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴H(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， ∴H(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-H(x)，∴H(x)为奇函数， 即f(x)·g(x)为奇函数， 同理(g(x)≠0)为奇函数. 🎯跟踪练习1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 【解】(1)f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 方法一：因为f(－x)＝(－x)－＝－x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)＝x－是奇函数． 方法二：因为f(x)＋f(－x)＝x－＋(－x)－＝x－－x＋＝0，所以f(x)＝x－是奇函数． (2)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数． (3)方法一：因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x). 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x). 所以函数f(x)为奇函数． 方法二： 作出函数的图象，如图所示的实线部分．由图可知，该函数为奇函数． 知识点2 奇、偶函数的图象及应用 🎯例2 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间． 【解】　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞). 🎯一题多变 (变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 【解】(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1). 巧用奇、偶函数的图象求解问题： (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 反思 归纳 🎯跟踪练习2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 【解】　(1)由题意作出函数图象，如图. (2)由图可知，单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为 {x|-2<x<2，且x≠0}. 🎯一题多变　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 【解】　(1)由题意作出函数图象，如图所示. (2)由图可知，单调递增区间为(-1，1). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}. 知识点3 利用函数的奇偶性求值 🎯例3（1）若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． 【解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 答案：　0 （2）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝________． 【解】因为x＞0时，f(x)＝x2＋mx＋1，所以f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m， 又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，所以5＋2m＝3(－2－m)，所以m＝－. 答案：－ 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 （1）已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________． (2)若函数f(x)＝在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________． 【解】(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1. (2)因为f(x)在[－1，1]上是奇函数，所以f(0)＝0，所以a＝0，所以f(x)＝.又f(－1)＝－f(1)，所以＝－，即b＝0，所以f(x)＝. 答案：(1)－1　(2)f(x)＝ 自学小结 函数奇偶性的概念 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数的奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1函数f(x)＝－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 【解】函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．故选C. 2．下列函数中是偶函数的是(　　) A．y＝2|x|－1，x∈[－1，2] B．y＝x2＋x C．y＝x3 D．y＝x2，x∈[－1，0)∪(0，1] 【解】选项A中函数的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；y＝x2＋x为非奇非偶函数；y＝x3为奇函数；y＝x2，x∈[－1，0)∪(0，1]的定义域关于原点对称且满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．故选D. 3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________． 【解】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，所以f(0)＋f(1)＝－2. 答案：－2 4．已知函数f(x)＝x＋(a＞0). (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 【解】(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3， 所以a＝2＞0满足题意．所以a＝2. (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)＝x＋(a＞0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称． 又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $