5.2.2同角三角函数的基本关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“公式理解-技能应用-综合迁移”为分层逻辑，通过基础题巩固核心公式应用，提升题培养推理与转化能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层（单选）|平方关系、商数关系直接应用|聚焦“知一求二”题型，强化象限符号判断（如第1题结合第四象限求余弦值）| |关联理解层（多选、填空）|公式变形与互化（齐次式、sin±cos与sincos关系）|通过多选题（如第7题）考查公式多向应用，填空题（第9题）训练“1”的代换技能| |综合应用层（解答）|公式体系综合应用与实际情境（单位圆）|结合单位圆背景（第12题），融合符号判断、弦切互化与化简证明，发展数学推理与几何直观|

5.2.2同角三角函数的基本关系 知识梳理 一、核心公式 1. 平方关系 ：sin²α + cos²α = 1 公式解读： 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，对任意角α都成立。 常用变形：① sin²α = 1 - cos²α ② cos²α = 1 - sin²α ③ （符号由α所在象限决定） ④ （符号由α所在象限决定） 2. 商数关系： 公式解读： 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切。 适用条件： cosα ≠ 0，即角α的终边不在y轴上。 常用变形：sinα = tanα · cosα； 二、公式的推导（利用单位圆） 在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则：x = cosα ； y = sinα 由勾股定理：x² + y² = 1，即 sin²α + cos²α = 1 由正切函数的定义： （cosα ≠ 0） 三、公式的适用条件 关系式 适用条件 sin²α + cos²α = 1 α为任意角，恒成立 四、题型分类与解题方法 题型一：已知一个三角函数值，求另外两个（知一求二） 解题步骤： 1. 由已知函数值，确定角α所在象限（决定符号） 2. 利用平方关系 sin²α + cos²α = 1 求出另一个三角函数值 3. 利用商数关系求出正切值 典型例题： 已知 sinα =，且α为第二象限角，求cosα和tanα。 解：由 sin²α + cos²α = 1，得 ∵ α为第二象限角，∴ cosα < 0，故 ，所以 题型二：弦切互化求值（齐次式） 解题方法： 分子分母同除以cosⁿα（n为最高次数），将原式转化为关于tanα的表达式。 典型例题： 已知tanα = 2，求 的值。 解：分子分母同除以cosα（cosα ≠ 0）： 原式 = 题型三：sinα ± cosα与sinαcosα的关系 核心公式： (sinα ± cosα)² = 1 ± 2sinαcosα 典型例题： 已知sinα + cosα = ，求sinαcosα的值。 解：(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα = 1 + 2sinαcosα，即= 1 + 2sinαcosα 解得 sinαcosα = 题型四：三角函数式的化简 常用技巧： 1. "1"的代换：1 = sin²α + cos²α 2. 切化弦：将tanα化为sinα/cosα 3. 构造完全平方：1 ± 2sinαcosα = (sinα ± cosα)² 题型五：证明三角恒等式 常用方法： 1. 从左到右：从较复杂的一边化简到另一边 2. 从右到左：从较简单的一边推导到复杂的一边 3. 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子 4. 作差法：证明左边 - 右边 = 0 五、常见易错点 易错点 错误示例 正确做法 忽略象限符号 由sinα=3/5得cosα=4/5 先判断α所在象限，再确定cosα的正负号 忽略商数关系条件 在α=π/2时使用tanα=sinα/cosα 注意cosα≠0，即α≠π/2+kπ 混淆公式 误写sin²α+cos²α=1为sinα+cosα=1 注意是平方和，不是一次方的和 六、规律总结 1. 知一求二：已知sinα、cosα、tanα中的一个，利用两个基本关系式可求出另外两个，关键是确定符号。 2. "1"的代换：在化简和证明中，常用1 = sin²α + cos²α进行代换。 3. 切化弦：当表达式中同时出现正切、正弦、余弦时，常将正切化为正弦与余弦的比。 4. 齐次式：分子分母中sinα和cosα次数相同的分式，同除以cosⁿα转化为关于tanα的式子。 5. 整体代换：涉及sinα ± cosα与sinαcosα的问题，常利用(sinα ± cosα)² = 1 ± 2sinαcosα建立联系。 同步训练 一、单选题 1．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．如果，那么___________ 10．已知角α的终边经过点，则_____ 四、解答题 11．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值． 12．在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值. (3)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2同角三角函数的基本关系 知识梳理 一、核心公式 1. 平方关系 ：sin²α + cos²α = 1 公式解读： 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，对任意角α都成立。 常用变形：① sin²α = 1 - cos²α ② cos²α = 1 - sin²α ③ （符号由α所在象限决定） ④ （符号由α所在象限决定） 2. 商数关系： 公式解读： 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切。 适用条件： cosα ≠ 0，即角α的终边不在y轴上。 常用变形：sinα = tanα · cosα； 二、公式的推导（利用单位圆） 在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则：x = cosα ； y = sinα 由勾股定理：x² + y² = 1，即 sin²α + cos²α = 1 由正切函数的定义： （cosα ≠ 0） 三、公式的适用条件 关系式 适用条件 sin²α + cos²α = 1 α为任意角，恒成立 四、题型分类与解题方法 题型一：已知一个三角函数值，求另外两个（知一求二） 解题步骤： 1. 由已知函数值，确定角α所在象限（决定符号） 2. 利用平方关系 sin²α + cos²α = 1 求出另一个三角函数值 3. 利用商数关系求出正切值 典型例题： 已知 sinα =，且α为第二象限角，求cosα和tanα。 解：由 sin²α + cos²α = 1，得 ∵ α为第二象限角，∴ cosα < 0，故 ，所以 题型二：弦切互化求值（齐次式） 解题方法： 分子分母同除以cosⁿα（n为最高次数），将原式转化为关于tanα的表达式。 典型例题： 已知tanα = 2，求 的值。 解：分子分母同除以cosα（cosα ≠ 0）： 原式 = 题型三：sinα ± cosα与sinαcosα的关系 核心公式： (sinα ± cosα)² = 1 ± 2sinαcosα 典型例题： 已知sinα + cosα = ，求sinαcosα的值。 解：(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα = 1 + 2sinαcosα，即= 1 + 2sinαcosα 解得 sinαcosα = 题型四：三角函数式的化简 常用技巧： 1. "1"的代换：1 = sin²α + cos²α 2. 切化弦：将tanα化为sinα/cosα 3. 构造完全平方：1 ± 2sinαcosα = (sinα ± cosα)² 题型五：证明三角恒等式 常用方法： 1. 从左到右：从较复杂的一边化简到另一边 2. 从右到左：从较简单的一边推导到复杂的一边 3. 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子 4. 作差法：证明左边 - 右边 = 0 五、常见易错点 易错点 错误示例 正确做法 忽略象限符号 由sinα=3/5得cosα=4/5 先判断α所在象限，再确定cosα的正负号 忽略商数关系条件 在α=π/2时使用tanα=sinα/cosα 注意cosα≠0，即α≠π/2+kπ 混淆公式 误写sin²α+cos²α=1为sinα+cosα=1 注意是平方和，不是一次方的和 六、规律总结 1. 知一求二：已知sinα、cosα、tanα中的一个，利用两个基本关系式可求出另外两个，关键是确定符号。 2. "1"的代换：在化简和证明中，常用1 = sin²α + cos²α进行代换。 3. 切化弦：当表达式中同时出现正切、正弦、余弦时，常将正切化为正弦与余弦的比。 4. 齐次式：分子分母中sinα和cosα次数相同的分式，同除以cosⁿα转化为关于tanα的式子。 5. 整体代换：涉及sinα ± cosα与sinαcosα的问题，常利用(sinα ± cosα)² = 1 ± 2sinαcosα建立联系。 同步训练 一、单选题 1．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方式，根据象限角的性质，可得答案. 【详解】由题意可知. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 又，， 解得，， 所以. 3．已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由是第二象限角，得；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， 又，所以，因此， 即，所以. 故选：B. 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解. 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 二、多选题 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 8．已知α为锐角，且 则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以，而α为锐角， 所以，故A错误； 由，两边平方可得，故C正确； 因为α为锐角， 所以，故D正确； 由，故B错误. 故选：CD 三、填空题 9．如果，那么___________ 【答案】/ 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 10．已知角α的终边经过点，则_____ 【答案】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则. 四、解答题 11．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求得，由商数关系求得； （2）根据同角三角函数的平方关系式，求得，确定的范围，进而确定的符号，并求出的值． 【详解】（1）因为，且，所以. 因为是第二象限角，所以. 所以. （2）由，得，所以. 因为，所以，所以，所以. 因为， 所以. 12．在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值. (3)求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合，即可求得实数及的值； （2）利用齐次式，即可求得结果； （3）利用可将原式化为齐次式，即可求得结果； 【详解】（1）∵角与单位圆交于点，∴，， 又角为第二象限角，且，∴， ∴. （2）. （3）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $