5.2 导数的运算课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦导数运算，涵盖基本初等函数导数公式、四则运算法则、复合函数求导及导函数与原函数性质关系，通过思维导图梳理知识，从基础公式到法则应用再到复合函数及性质，构建由浅入深的学习支架，衔接函数性质与导数应用。 其亮点是103张PPT含分层练习、高考对接及思维导图，通过例题推导（如复合函数求导步骤）培养数学运算，结合切线问题（如公切线方程）发展直观想象，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第五章 导数及其应用 5.2 导数的运算 本节引导学生熟记基本初等函数的导数公式与四则运算法则，能运用法则求简单函数的导数，规范导数运算过程，发展数学运算素养，为利用导数研究函数性质打好基础。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括103张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 基本初等函数的导数 1 常用函数的求导公式 （1）,为常数 ； （2）为常数 ； （3） ; （4） ; （5） ; （6） ; （7） . 4 2 基本初等函数的求导公式 我们把函数 为常数,， , , 等称为基本初等函数. 对于基本初等函数,有下面的求导公式: （8） 为常数 ;（幂函数型） （9）,且 （指数函数型） （10） （指数函数型） （11）,且 （对数函数型） （12） （对数函数型） （13） （三角函数型） （14） .（三角函数型） 5 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P203 T2（2）]若，则 等于_ ___. 【解析】 , . 点评 若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用 的求导公式解决. 6 例1-2 [教材改编P231 T9]已知且，则 ___. 1 【解析】因为，所以，所以 ，所以 . 例1-3 [教材改编P231 T6]已知函数，其导函数为，则 __. 【解析】 , . 7 例1-4 ［教材改编P210 T4（1）］曲线在点 处的切线方程为________ _________. 【解析】, . 故所求切线方程为 , 即 . 8 知识点2 函数的和、差、积、商的导数 若函数, 均为可导函数，则函数的和、差、积、商的求导法则如下.#1 名称 内容 和差的求导法则 （“”“-”前后一致） （“ ”“-”前后一致） 积的求导法则 为常数 商的求导法则 . . 9 特别提醒 关于函数的和、差、积、商的求导法则的几点说明 （1）函数和与差的求导法则可以推广到任意有限个函数，即 . （2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即 . （3）当,时， #1.2.1.3 10 公式推导 几个求导公式的推导 ，且;，且 ; ; . 推导过程如下： （1）由换底公式得 ， 则 ; （2），则 . 11 注意:的导函数的推导过程中涉及了下面要讲的函数 的求导， 即简单复合函数求导. （3）因为,所以 . ，则 . 12 学思用·典例详解 例2-5 函数的导数 _______. 【解析】（ 使用频率较高，需熟记） 例2-6 [教材改编P210 T9（4）]函数的导数 _________________. 【解析】 . . . 13 例2-7 已知，若，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， 且 ， 解得 ，故选B. 例2-8 已知，则 _______. 【解析】 . 14 【想一想丨问题质疑】 试分析两个函数是否可导与它们的和、差、积、商是否可导的关系. 提示 （1）若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为0）必可导； （2）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，如 ,在处均不可导，但 在 处可导. 15 知识点3 简单复合函数的导数 1 复合函数的定义 一般地，对于两个函数和,如果通过中间变量, 可以表示成关 于的函数，那么称这个函数为函数和 的复合函数.记作 .（将关于的导数记为 ） 16 2 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数 ,它的导数 与函数,的导数间的关系为.（即对的导数等于对 的导数与对 的导数的乘积） 特别地，若,,则，即 . 注意 中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究 （即 ）型复合函数的求导. 17 3 复合函数的求导步骤 18 学思用·典例详解 例3-9 函数的导数 ______________. 【解析】（ 仍是复合函数，需要继续使用复合函数的求 导法则） . . . 19 例3-10 已知函数，则 ( ) D A. B.1 C. D. 【解析】令,则可由及 复合而成， 所以 , 则 . 20 释疑惑 重难拓展 知识点4 导函数与原函数的性质关系探讨 设函数 是可导函数. 1 奇偶性 图5.2-1 （1）若函数是奇函数，则 （【注意】这是复合函 数）,两边对求导，得 ,即 ,所以导函数 为偶函数. 如图5.2-1所示，曲线在点, 处的切线斜率相等，即 . 于是我们得到：奇函数的导数是偶函数.（【莫乱记】但反之不然，即 为偶 函数时，未必为奇函数，如不是奇函数，而 是偶函数） 例如，是奇函数， 是偶函数. . . . . 21 图5.2-2 （2）若函数为偶函数，则,两边对 求导，得 ，即，所以导函数 为奇 函数. 如图5.2-2所示,曲线在点, 处的切线斜率互为相反数，即 . 于是我们得到：偶函数的导数是奇函数.（【这个不一样】反之亦成立，即若 为奇函数，则 必为偶函数.） 例如，是偶函数， 是奇函数. . . 22 2 对称性 （1）若函数的图象关于直线对称，则 （【注意】与都是复合函数）,两边对 求导，得 ，即 ，所以导函 数的图象关于点 对称. 于是有：若函数的图象关于直线对称,则导函数 的图象关于点 对称. . . . . . . 23 （2）若函数的图象关于点对称，则 ,两边对 求导，得 ,即 .所以导函数的图象关于直线 对称. 于是有：若函数的图象关于点对称，则导数 的图象关于直线 对称. . . . . 24 3 周期性 若函数为周期函数，则.两边对 求导，得 ,即.所以导函数 仍为周期函数. 于是有：周期函数的导函数仍是周期函数，且周期相同. 例如，是周期函数（最小正周期是）， 也是周期函数 （最小正周期也是 ）. . . 25 学思用·典例详解 例4-11 已知对任意实数，有，，且当 时， ，，则当 时( ) B A., B., C., D., 【解析】因为对任意,，则为奇函数，所以 为偶函数. 因为当时，，所以当时， . 因为对任意有,则为偶函数，所以 为奇函数.因为当 时，所以当时， . 故选B. 26 例4-12 已知函数，若，则 ( ) B A. B. C.2 D.0 【解析】 （直接求解） 由,得 . 因为，所以，即 . 则 . （转化求解） 易知 是偶函数（【详解】 ，因此 是偶函数），则 是奇函数， 所以 . . . 27 例4-13 已知函数在上存在导数，下列关于， 的描述正确的是 ( ) B A.若为奇函数，则 必为奇函数 B.若为周期函数，则 必为周期函数 C.若不为周期函数，则 必不为周期函数 D.若为偶函数，则 必为偶函数 【解析】对于A，为奇函数，而 为偶函数，故A错误； 因为周期函数的导数仍是周期函数，故B正确； 对于C，不是周期函数，而 为周期函数（常函数是周期函数，但 没有最小正周期），故C错误. 对于D，为偶函数，而 为奇函数，故D错误. . . 28 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 导数的计算 例14 ［教材改编P205例2&例3］求下列函数的导数: （1） ； 【解析】 （【小技巧】将根式化为分数指数幂再求导）,于是 . . . 29 （2） ； 【解析】 . （3） ; 【解析】对函数进行化简，得 , 故 . 30 （4） ； 【解析】 . 因为 ,（将函数式展 开合并同类项后再求导） 所以 . （对数求导法） 因为 ,所以对等式两边取自然对数，得 ， 求导得 ，即 . . . 31 （5） ； 【解析】设（内层函数），则 ，（外层函数） 所以 . （6） . 【解析】 . . . . . 32 名师点评 对数求导法 先对函数两边取对数，再求导. 适用情况:形如， ，根式类或 幂指类函数. 33 导数计算的常见类型及解题思路 1.对于分式中分子、分母齐次结构的函数，可考虑通过裂项化为和差形式. 若待求导的函数是两个函数商的形式，可以直接利用商的导数运算法则进行求导， 但这样做运算量较大，如果先对函数进行适当变形，再对函数求导，这样会大大减 少运算量.#2.2.1 34 2.对于根式型函数，可考虑进行有理化变形. 若待求导的函数中含有根式，可以应用求导公式和导数的运算法则直接求解，但这 样往往比较烦琐，因此可以考虑先对函数进行适当变形——分子、分母有理化. 有理化有两种形式：一是分子中含有根式，则进行分子有理化；二是分母中含有根 式，则进行分母有理化.如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的结构形式，直接 通分就能达到分母有理化的效果，从而使化简过程更为简捷. 3.对于多个整式乘积形式的函数，可以考虑展开，化为和差形式. 若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的 形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小.#2.4.1 35 4.对于三角函数，可考虑恒等变形. 对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化 简，使三角函数式的种类减少，函数的次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.#2.5.1 36 【学会了吗丨变式题】 1.［教材改编P209 T1&T2&T3］求下列函数的导数： （1） ; 【答案】 . （2） ; 【答案】 . （3） ; 【答案】 . （4） ; 【答案】 . 37 （5） ; 【答案】对于，设，则, ， 则 . （6） . 【答案】 . 38 题型2 导数运算的应用 1 求值 例15（1）已知函数,则 __________. 【解析】 ， 所以 . （2）已知上的可导奇函数满足,若,则 ____. 【解析】因为，所以 .（两边同时求导） 又因为奇函数的导数是偶函数, 所以 . 所以 . . . 39 （3）已知函数,为的导函数，则 的值为___. 【解析】由题意得 ， 则 . （4）设函数.若,则 ___. 1 【解析】由于 ， 故，解得 . 40 2 解析式中含导数的函数求导问题 例16（1）已知函数的导函数为，若,则 ( ) A A. B.1 C. D.2 【解析】因为 , （注意 不是函数，是常数） 所以 ， 令，得 ， 解得 ． 41 （2）已知函数，则 ( ) A A. B. C.2 D. 【解析】因为 ， 所以 ， 故 ， 即 ， 解得 ． 42 43 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为常数 的函数，解题的关键是明确是常数，其导数值为0.因此可先求出导数 ,然 后令，即可得到 的值,进而得到函数解析式,再求导数值. 44 【学会了吗丨变式题】 2.已知函数的导数为，且满足，则 _ ______. 【解析】, ， ,， . 45 题型3 与切线相关的问题 1 求切线方程 例17（1）曲线在点 处的切线方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，点在曲线上，又 ，所以曲线在 点处的切线的斜率，故所求切线的方程为 ， 即 . 46 （2）曲线 过原点的切线方程为________. 【解析】点不在曲线 上.（【破题点】先判定切线所过的点是否在曲线上） 设切点坐标为,因为,所以在该点处的切线的斜率 ,故切线方程 为,当切线过原点时,有,解得 ,因此所 求切线方程为,即 . . . 47 2 已知切线斜率求参数 例18 (2026·云南省玉溪第一中学月考)已知函数 . （1）若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率为,求, 的值; 【解析】由题意得,,故,或 （2）若曲线存在两条垂直于轴的切线,求 的取值范围. 【解析】因为曲线存在两条垂直于轴的切线（切线斜率为0）,所以关于 的方程 有两个不相等的实数根,所以 ,即,所以 , 所以的取值范围为 . . . 48 【解析】 . 49 【学会了吗丨变式题】 3.［教材改编P204 T7］已知直线与曲线相切，则 的值为 ____． 【解析】设切点坐标为，令，得 ， 所以，依题意，，所以，则 ，又切点 在直线上，故，解得 . 50 3 公切线问题 类似于两圆的公切线，可以定义两条曲线的公切线：若直线同时是曲线和 的切 线，则称直线是曲线和 的公切线. 设曲线,其在点处的切线为 ,整 理得 . 设曲线，其在点处的切线为 , 整理得 . 由于与 是相同的直线，故有 从而可以求出公切线方程. 从上述分析还可以看出，曲线与曲线 公切线的条数等价于上 述方程组解的组数. 51 例19 (2026·河南省南阳市期中)若直线与曲线和圆都相切，则 的 方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】易知直线的斜率存在（若直线的斜率不存在，且与圆相切，则直线 为 ,很明显直线与曲线不相切，故直线的斜率存在），设直线 的方程为,则 ①，设直线与曲线 的切点坐标为 ,则当时，②， ③，由②③可得 ,将，代入①得或 （舍去），所以 ，故直线的方程为 . . . 52 例20 (2022·全国甲卷节选)已知函数，,曲线 在 点处的切线也是曲线的切线.求 . 【解析】由题可得，所以切点坐标为 ． 由，得 ， 所以切线斜率 ， 所以切线方程为，即 ． 将代入 ， 得 ． 由切线与曲线 相切， 得，解得 ． 53 【学会了吗丨变式题】 4.若直线为的图象与的图象的公切线,则实数 ________. 0或 54 【解析】设与的图象相切于点,又,故直线 的方程为 .（利用点斜式写出的方程： ，再化简） 设与的图象相切于点 , 又,故直线的方程为 , 故 ①式两边同时取对数得,则 ③, 将③式代入②式可得 , 解得或 则直线的方程为或,故或 . . . 55 4 与切线相关的最值或取值范围问题 例21 点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为 ，则角 的取值 范围是( ) D A. B.， C. D. 【解析】因为，所以 . 因为，所以 ， 又，所以 ． （【明易错】此处要牢记正切函数的定义域，因此 ） 56 例22 (2026·四川省绵阳市安州中学期中)点是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为( ) B A. B. C. D. 57 给什么 得什么 点是曲线上任意一点，因此可设点 的坐标为 .由可得其导函数为 . 求什么 想什么 要求点到直线的最小距离，需要求得点 的坐标. 58 差什么 找什么 当曲线在点处的切线与直线平行时，点 到直线 的距离最小.（【原因】此时过点向直线 做的垂线段 就是最小距离） 因此，则，解得或 （舍去）. （【原因】函数的定义域为 ，因此负值要舍去） 当时， ， 故点到直线的最小距离为 . 续表 59 切线法求最短距离问题 求曲线上一点到直线的最短距离问题的一般思路 是转化为曲线上与直线平行的一条切线的切点到直线的距离问题. 解题的一般步骤为: （1）求出与直线平行的曲线的切线的切点坐标; （2）利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离,即为最短距离. 60 【学会了吗丨变式题】 5.曲线在点处的切线斜率为2，则 的最 小值是( ) B A.10 B.9 C.8 D.3 【解析】,由题意可知， ， ，（【学一手】 此处巧妙利用了“1”的代换，因为，所以 ，从而利用基本不 等式求解） 当，且，即， 时，等号成立， 所以 的最小值是9． . . 61 新考法 思维创新 例23 新定义 中值点(2025·天津市河北区期中)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学 重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理如下： 如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得， 称为函数 在闭区间上的中值点．则函数在区间[-， 上的中值点的个数为 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 62 【解析】由题意，函数，，，所以， ， ， （正切函数的导数也经常考查） 所以， . 由拉格朗日中值定理得,，即，所以 . 由于，时，，所以在[-，上无解， 在[-，上有2解，所以函数在区间[-， 上的中值点的个数为2． 63 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考点揭秘 在高考中，导数运算一般较少单独考查，但与导数有关的问题，正确求导是基础， 是解题继续的必要条件；求切线方程一般在选择题、填空题、解答题第（1）问，难 度中等.解答时应注意：①判断切点是否已知,若未知则先设切点；②求函数的导数; ③列方程（组）求出切线的斜率;④写出切线方程. 核心素养：数学运算（导数运算）、逻辑推理（导函数与原函数性质之间的关系）、 直观想象（图象的切线）. 64 考向1 以切线为背景考查导数运算 1 求切线方程 例24（1）(2024·全国甲卷)设函数，则曲线在 处的切线 与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ， 则 ， 即该切线方程为，即 ， 令，则，令，则 ， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 . 65 （2）(2023·全国甲卷)曲线在点 处的切线方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知，则曲线在点 处的切线斜 率，所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 66 2 利用切线求参数的值或取值范围 例25 (2025· 全国一卷)若直线是曲线的一条切线，则 ___. 4 【解析】由，得 ， 设直线与曲线的切点为 ， 则解得 . （利用切点既在曲线上又在切线上列方程） 67 例26 (新高考全国Ⅰ卷)若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范 围是___________________. 【解析】因为，所以 . 设切点为， 为坐标原点，依题意得，切线斜率 ，化简，得 . 因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以关于 的方程 有两个不同的根, 所以，解得或 ， 所以的取值范围是 . 68 3 公切线问题 例27 (2024· 新课标Ⅰ卷)若曲线在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____. 【解析】由得，，故曲线 在 处的切线方程为 ； 由得 ， 设切线与曲线相切的切点为 ， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为 ， 切线方程为 ， 根据两切线重合,所以，解得 69 考向2 导函数与原函数的性质关系 例28 [多选题](2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数及其导函数的定义域均为 ， 记.若， 均为偶函数，则( ) BC A. B. C. D. 70 【解析】 因为 为偶函数， 所以,（【知识回顾】若,则 的图象关 于直线 对称） 所以函数的图象关于直线对称， ,即 ，所以C正确. 因为为偶函数，所以，函数的图象关于直线 对称， 71 因为，所以函数的图象关于点 对称，（【二级结论】若函数 为偶函数，则其图象上在关于 轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导 函数的图象关于原点对称．本题函数的图象关于直线 对称，则其导函数 的图象关于点 对称） 所以的周期，（【二级结论】若函数 的图象既关于点 对称，又关于直线对称，则函数是周期为 的周期函数） 所以，即 ，所以D不正确. ，所以 ，所以 ，所以B正确. 不妨取,经验证满足题意，但 ，所以选项A不正确. 综上，选 . 72 因为,均为偶函数，所以函数的图象关于直线 对称，函数的图象关于直线 对称． 取符合题意的一个函数，则 ，排除A； 取符合题意的一个函数 ， 则，即 ， 所以 ， ，所以 ，排除D. 选 .（【技巧】多选题，排除两项，剩下两项即为正确答案） 73 考向3 数列与导数运算的综合 例29 (2025· 全国一卷)已知数列中，， . （1）证明：数列 是等差数列； 【解析】两边同时乘，得 . 又,所以 是首项为3，公差为1的等差数列. 74 （2）给定正整数，设函数，求 ． 【解析】由（1）可知数列的通项公式为 , 又 , 故 , 所以 . 两式相减，得 , 所以 . 75 高考新题型专练 1.新定义 巧值点[多选题](2026·陕西省榆林市第十中学月考)已知函数 的导数为 ，若存在，使得，则称是 的一个“巧值点”，下列函数 中有“巧值点”的是( ) BCD A. B. C. D. 76 【解析】对于A，,,要使，则 ， 即，即 ，无解，所以原函数没有巧值点，故A错误； 对于B,要使，则，解得 ，原函数有巧值点，故B正确； 对于C,，，要使，则,解得 或2，可见 函数有巧值点，故C正确； 对于D,要使，则,由函数与 的图象（图略）知， 它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点，故D正确． 77 2.[多选题](2026·福建省福鼎市月考)已知函数及其导函数的定义域均为 ， 若是奇函数，，且对任意, ， ，则( ) ACD A. B. C.是周期为3的函数 D. 78 【解析】令，得，因为 ，所以 ，A正确; 令，得 ①， 所以 ， 因为是奇函数，所以 是偶函数， 所以 ②， ，得 ，即 ， 所以 ， 所以，是周期为3的函数，所以 ，所以B错误，C正确； 79 因为，在①中令 得， ， 所以， ， 所以D正确．故选 ． 80 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.下列求导正确的是( ) B A. B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】对于A,因为为常数，所以 ，故A错误；对于B, ，故B正确； 对于C,因为，所以 ，故C错误； 对于D, ，所以D错误. 81 2.已知函数，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ， 所以 . 因为，所以 .故选C. 82 3.已知，两点为抛物线上两点，点，的横坐标分别为4，，过， 两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点 的纵坐标为( ) C A.1 B.3 C. D. 【解析】因为点,的横坐标分别为4,，且点，都在抛物线 上，所以可 得，.因为，所以,，所以可得直线, 的方 程分别为,,联立，得 解得 即点的纵坐标为 . 83 4.已知函数的导函数为，且满足，则 ( ) C A.1 B. C. D.4 【解析】，则 ，则 ，解得，所以 ，所以 ． 84 5.［多选题］若函数的导函数的图象关于轴对称，则 的解析式可能为 ( ) BC A. B. C. D. 85 【解析】 对于A，，其导数 为奇函数，图象不 关于 轴对称，不符合题意； 对于B，，其导数为偶函数，图象关于 轴对称，符合 题意； 对于C，，其导数为偶函数，图象关于 轴对称，符合题意； 对于D，，其导数不是偶函数，图象不关于 轴对称，不 符合题意.故选 . 86 因为导函数的图象关于轴对称，所以 为偶函数.又奇函数的导数 为偶函数，（寻找奇函数即可）而选项中函数的奇偶性分别为： 对于A， 为偶函数； 对于B， 为奇函数； 对于C， 为奇函数； 对于D，，即 不为奇函数. 所以B,C选项符合题意. . . . . 87 6.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数 的取值范围是 ________． 【解析】, . 曲线存在垂直于轴的切线（切线斜率为0）， 有解， （当且仅当时取等号），即的取值范围是 . . . 88 7.已知函数，则_______,设,则 _ ______. 【解析】，， , ， ，解得 . 89 8.已知函数，为自然对数的底数 . （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求 的值； 【答案】，因为曲线在点处的切线平行于 轴 （切线斜率为0），所以，解得 . （2）当时，若直线与曲线相切，求 的直线方程． 【答案】当时，，，设切点为 ，因为 ，，所以 ，即 ，若，则方程无解，所以， ， 所以的直线方程为 . . . 90 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.新定义 凸函数 ［多选题］ 给出定义：若函数在上可导，即 存在，且 导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记 ， 若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在 上是凸函 数的是( ) ABC A. B. C. D. 91 【解析】对于A,,则，在 上恒有 ,符合题意; 对于B,若,则,在上恒有 ,符合题意； 对于C,若,则,在上恒有 ,符合题意; 对于D,若,则，在 上恒有 ,不符合题意. 92 10.[多选题] 已知函数, ,下列说法正确的是( ) BD A.与的图象在点 处有公切线 B.存在的图象的某条切线与 的图象的某条切线互相平行 C.与 的图象有且只有一个交点 D.与 的图象有且只有两个交点 【解析】,，则,，二者不相等，即在点 处与的图象的切线斜率不相等，故在点 处没有公切线，从而A错误； 两切线平行即两切线斜率相等，令，解得, （舍去），因此 与 的图象存在互相平行的切线，从而B正确； 93 图D 5.2-1 在同一平面直角坐标系中，作出, 的图象，如图D 5.2- 1，观察图象可知C错误，D正确. 94 11.[多选题]已知函数,的定义域均为，它们的导函数分别为, .若 是奇函数，,与图象的交点为, , , ,则( ) BC A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线 对称 C.的图象关于直线对称 D. 95 【解析】对于A，因为是奇函数，则 ，即 ，【知识回顾】若,则 的图象 的对称中心为 故图象的对称中心为 ，故A错误； 对于B，，两边求导得 ,即 ,则，则 的图象关于直线 对称，故B正确； 对于C,因为，故为常数,则 图象的对称 轴为，则 ,故C正确； . . 96 对于D，图象的对称中心为,若,即,则 图象的一个 对称中心为，则与图象的交点关于 对称，则 ,若，则 ,故D不一 定正确.故选 . 12.［开放题］(2026·江苏省徐州市九里中学期初)写出一个同时具有下列性质①②③ 的函数 __________________. ；②当时，； 是奇函数. （答案不唯一） 【解析】由题意，可考虑二次函数，如函数，则 ， ,，所以；因为 ， ，所以为奇函数，且当时， .故函数 符合题意. 98 13.曲线 过坐标原点的切线方程为_ _________________. 或 【解析】当时，曲线过原点的切线方程，设切点为 ，则由 ，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得 ，代入 ，得，所以切线斜率为，切线方程为 . 同理可求得当时的切线方程为 ． 综上可知，切线方程为或 ． 99 14.已知：若函数，在上可导，，则 ．英国数学 家泰勒发现了一个恒等式 ，则 ___， ___． 1 【解析】令，则 . ， ， ， ， ，（【会分解】对式子进行变形，为后续 裂项相消求和做准备） ． . . 100 15.(2026·河南省周口市月考)设函数,曲线 在点 处的切线方程为 . （1）求 的解析式； 【答案】方程可化为 . 当时， . 又,且点在曲线 上， 所以解得 故 . 101 （2）证明：曲线上任意一点处的切线与轴和直线 所围成的三角形的 面积为定值，并求此定值. 【答案】设点为曲线上任意一点，由知，曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 令，得,即曲线在点处的切线与 轴的交点坐标为 . 将与曲线在点处的切线方程联立,得 解 102 得即曲线在点处的切线与直线 的交点坐标为 . 所以曲线在点处的切线与轴和直线 所围成的三角形的面积 为 . 即曲线上任意一点处的切线与轴和直线 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为6. $