5.2.2 函数的和、差、积、商的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“函数的和、差、积、商的导数”，从基本初等函数导数出发，通过“能否由已知导数研究运算法则”的问题导入，搭建从必修知识到新法则的学习支架，引导学生衔接新旧内容。 其亮点在于以“思考-猜想-验证”探究模式，让学生用数学眼光观察具体函数实例，通过推导培养数学思维，结合物理瞬时速度、切线问题等实例，用规范数学语言表达法则应用。学生能理解法则本质，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第5章 导数及其应用 1 5.2 导数的运算 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 2 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中 我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数 进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否由基本初等函数的 导数，研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本 初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 返回导航 新课导入 3 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则，能运用导数公式和导数运算法 则求函数的导数． 2.会用导数的四则运算法则解决相关问题． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 导数的四则运算法则 思考1 设，，试计算,, 以及 ,试猜想它们的关系. 提示 , , ,同 理.猜想 , . 返回导航 7 思考2 设,,试验证与 ,以及 与 是否相等？ 提示 , , . ， 所以 , ， , 所以 . 返回导航 8 ［知识梳理］ 设两个函数, 均可导，则 和的导数 ①_____________ 差的导数 ②_____________ 积的导数 为常数 ③_______________ _______________________________ 商的导数 ④_ ______________ 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例3）求下列函数的导数. （1） ； 【解】方法一:可以先展开后再求导： ， 所以 . 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： . 返回导航 10 （2） ； 【解】把函数的解析式整理变形可得 ， 所以 . 返回导航 11 （3） ； 【解】根据求导法则进行求导： . （4） . 【解】利用除法的求导法则进行求导： . 返回导航 12 求函数的导数应注意的3个问题 （1）解答此类问题时常因不能熟练运用导数的四则运算法则而出错. （2）对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，运用基本初等函数的导 数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形）， 然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程. （3）利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差形式，利用和、差的 求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ 求下列函数的导数. （1） ; 解： . （2） ; 【解】 . 返回导航 14 （3） . 【解】 . 返回导航 15 二 导数运算法则的简单应用 ［例2］ （1）在物理中，经常用导数来求物体在变速运动中的瞬时速度. 若某物体在一次运动中的位移时间函数 （位移单位：，时间单位：），则该物体在 时的瞬时速度为 ( ) A. B. C. D. 解析：由题意得，所以 ，即该物体在 时的瞬时速度为 . √ 返回导航 16 （2）将原油精炼为汽油、柴油、塑料等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热．如果在第时，原油的温度（单位： ）为 ，则原油温度在第 的瞬时变化率为 ____. 解析：由函数，得 ， 则 ， 即原油温度在第的瞬时变化率为 . 返回导航 17 利用导数值求解参数问题是高考的热点问题.它比较全面地考查了导数 的应用，突出了导数的工具性作用.而熟练地掌握导数的运算法则以及常用 函数的求导公式是解决此类问题的关键. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）若，则 ( ) A. B.0 C. D.6 解析：选D．因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以，所以 . √ 返回导航 19 （2）设,且,,求, 的值. 解： , 由, , 得解得 所以, 的值分别为1，0. 返回导航 20 三 与切线有关的综合问题 ［例3］ （1）已知曲线在点 处的切线方程为 ，则( ) A.， B.， C.， D.， 解析：因为，所以 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . 所以即 故选D. √ 返回导航 21 （2）曲线在点 处的切线方程为_______________. 解析：由已知 ， 所以，又 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 返回导航 22 母题探究 本例（2）中，曲线的一条切线 与直线 垂直，则 与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.1 B. C. D. √ 返回导航 23 解析：选D.由 得 ， . 设与曲线相切于点 ， 则，所以， . 故切点为，所以切线方程为 ， 即 . 与两坐标轴的交点分别为， . 因此 与两坐标轴围成的三角形面积 .故选D. 返回导航 24 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其 他的条件可以转化为这三个要素间的关系. （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题 的关键，务必做到准确. 注意 分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设切点. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ 已知函数,曲线在点 处的 切线方程为，则, 的值分别为______. 1，1 解析： ， 因为，所以 ， 则 .② 由①②可得， . 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.曲线在点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为 ， 所以所求切线斜率 ， 所以所求切线方程为，即 .故选A. √ 返回导航 28 2.（多选）（教材PT 改编）下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A选项， ，故错误；对于B选项， ，故正确；对于C选项， ，故错误；对 于D选项， ， 故正确.故选 . √ √ 返回导航 29 3.若函数的导函数为，且满足，则 ______. 解析：由 ， 得 ， 令，则 ， 解得 ， 所以， . 返回导航 30 4.在平面直角坐标系中，若曲线,为常数过点 ， 且该曲线在点处的切线与直线平行，则 的值是____. 解析：由题意知 , 直线的斜率为 . 所以解得所以 . 返回导航 31 1.已学习：导数的四则运算法则. 2.须贯通：在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导. 3.应注意：注意公式的准确使用，不要想当然，如 . 返回导航 32 $