5.3.2 极大值与极小值 5.3.3 最大值与最小值课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦导数及其应用中的函数极值与最值，系统讲解极值概念、导数关系、最值求解及应用，衔接导数几何意义与单调性，通过知识剖析、典例详解搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于按基础、中档、拔高分层训练，结合思维导图和高考真题，强化逻辑推理与数学运算素养。如通过三次函数极值与零点关系的分类讨论，培养学生严谨思维，助力教师一体化教学，提升学生解题能力与应试技巧。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第五章 导数及其应用 5.3.2 极大值与极小值 5.3.3 最大值与最小值 本节引导学生理解函数极值、最值的概念，掌握利用导数求函数极值与闭区间上最值的方法，辨析极值与最值的区别，提升逻辑推理与数学运算素养。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括245张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 函数极值的概念 极大值 极小值 定 义 若存在,函数在 内有定义，且当 ， 时，都有 ，则称 为函数的一个极大值， 为 的一个极大值点. 若存在,函数 在 内有定义，且当 , 时，都有 ，则称为函数 的一个极小值,为 的一个极小值 点. 4 极大值 极小值 图 象 续表 函数的极大值、极小值统称为函数的极值（函数的极值是一个局部性的概念.）， 极大值点与极小值点统称为极值点. （【观图象】极大值的对应点是局部的“高峰”, 极小值的对应点是局部的“低谷”.） . . . . 6 知识剖析 （1）函数的极值点不是点，是使函数取到极值的 的值，是一个实数. 极值点是函数定义域上的自变量的值,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点. （2）若在上有极值,那么在 上绝不是单调函数,即在定义区间 上单调的函数没有极值. （3）极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多 个极小值和极大值,且极小值不一定比极大值小,极大值也不一定比极小值大. （见右栏【想一想·问题质疑】） 7 （4）若函数在 上有极值且函数图象连续,则它的极值点的分布是有规 律的（如图5.3.2-1所示）,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.当函数在 上的图象连续且有多个极值点时， 函数在 上的极大值点、极小值点是交替出现的. 图5.3.2-1 8 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 ［链接教材P216 T2］极大值一定大于极小值吗？怎样根据函数图象确定函数的极值呢？ 图5.3.2-6 提示 不一定.如图5.3.2-6，,,都是函数 的极大值点，,都是函数 的极小值点.从图中 可以看出，函数的极大值可能比极小值小，如 . 9 由函数图象确定极大值或极小值时，需关注图象在某点处从左侧到其右侧的变化情况, 极值点一般是指单调性的转折点.若图象由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减 少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点对应的函数值比它附近的点对应的 函数值都大，因此是极大值；若图象由“下降”变为“上升”，则在该点附近,该点的位置 最低，即该点对应的函数值比它附近的点对应的函数值都小，因此是极小值. 10 图5.3.2-7 例1-1 函数在 内的图象如图5.3.2-7所示，则函数 在开区间 内有极大值点___个，极小值点___个. 2 2 【解析】如图5.3.2-8所示，函数在, 处取得极大值，所以极大值点有2个. 图5.3.2-8 函数在, 处取得极小值，所以极小值点有2个. 11 知识点2 函数极值与导数的关系 1 极值与导数的关系 （1）极大值与导数之间的关系#1 左侧 右侧 极大值 （2）极小值与导数之间的关系#2 左侧 右侧 极小值 12 说明 （1）在这里，左（右）侧是指以 为右（左）端点的一个小区间. （2）符号“ ”“ ”分别表示“单调递增”和“单调递减”. 特别提醒 （1）一般地，，若在 附近两侧符号相反，则函数 在处存在极值，若在附近两侧符号相同，则函数 在 处不存在极值. （2）极大值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点;极小值 点可以看成是函数单调递减区间与单调递增区间的分界点.#6 13 2 可导函数在某点处取得极值的必要条件和充要条件 （1）必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是 . （2）充要条件：可导函数在 处取得极值的充要条件是 且在 附近两侧异号. . . . . 14 教材深挖 链接教材第216页【思考】：试联系函数思考：当 0时，能 否肯定函数在 处取得极值？ 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的 极值点.举例如下. （1）导数值为0的点是极值点：,, 是极小值点； （2）导数值为0的点不是极值点：,, 不是极值点. 15 学思用·典例详解 图5.3.2-9 例2-2 (2026·四川省绵阳市期末)函数的导函数 在区 间内的图象如图5.3.2-9所示，则在 内的极大值 点有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 【解析】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与 轴有四个公共点. 从左到右进行分析： 第一个交点处导数左正右负，它是极大值点； 第二个交点处导数左负右正，它是极小值点； 第三个交点处导数左正右正，它不是极值点； 第四个交点处导数左正右负，它是极大值点. 所以函数在开区间 内的极大值点有2个． 17 例2-3 [教材改编P215 例5]求函数 的极值. 【解析】 . 令,得, . 当变化时，, 的变化情况如下表： , ,1 1 （1, ） 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表可知为函数 的极大值点， 极大值为 ; 为函数的极小值点，极小值为 . 18 知识点3 函数的最大值与最小值 1 函数最大（小）值的定义 如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有 ，那 么 为函数在定义域上的最大（小）值. 19 知识剖析 闭区间 上函数的最值问题 （1）图象不间断的函数在区间 上必存在最大值和最小值，特别地，当 的图象连续不间断且在 上单调时，其最大值、最小值在端点处取得． （2）对于闭区间上连续不间断的图象，其对应函数的最大值点（最小值点）必 为极大值点（极小值点）或区间的端点.但是函数的极大值不可能是函数的最小值， 函数的极小值也不可能是函数的最大值. 20 开区间 上函数的最值问题 在开区间上，函数 （图象连续不间断）不一定有最值，具体情况如下： 图5.3.2-2 图5.3.2-2（1）中的函数 在 上有最大值而无最小值；图5.3.2-2 （2）中的函数在 上有最小 值而无最大值；图5.3.2-2（3）中的函数 在 上既无最大值也无最小值； 注意：若在区间上函数的图象连续不间断，且 只有一个极值点， 则该极值点就是最值点. 图5.3.2-2（4）中的函数在 上既有最大值也有最小值. 21 函数的极值与最值的区别与联系 （1）函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个 区间上函数值的比较. （2）函数的最大值一定不小于最小值，而函数的极大值与极小值之间没有必然 的大小关系. （3）函数的极值只能在区间内部取得，而最值可能在区间内部取得，也可能在 区间的端点处取得.函数有极值不一定有最值,有最值也不一定有极值，最值只要不在 端点处取得就一定在极值点处取得（常函数除外），且最大值只能在极大值点处取 得，最小值只能在极小值点处取得. （4）若函数在一个闭区间上存在最大（小）值，则最大（小）值只能有一个， 即具有唯一性，但最值点未必唯一；而函数的极值若存在，则可能有多个. 22 2 函数最值的求解步骤 求函数在区间 上的最大值与最小值可以分为两步： 第一步，求函数在区间 上的极值; 第二步，将第一步中求得的极值与,比较，得到在区间 上的最 大值与最小值.#1.2 23 特别提醒 求函数最值的注意点 1.我们讨论的函数是在闭区间上图象连续不断，在开区间 上可导的函 数.在闭区间上图象连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间 上 可导，才能用导数求解. 2.求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值.因此，函数极大值 和极小值的判定是关键. 24 3.如果仅仅是求最值，还可将上面的方法简化，因为函数在 内的全部 极值，只能在 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可 疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后将函数 在可疑点处的函数值与 区间端点处的函数值进行比较，就能求得函数的最大值和最小值. 4.当图象连续不断的函数在 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数 有极大（小）值，则可以判定函数在该点处取得最大（小）值，这里 也可以是无穷区间.#3.4 学思用·典例详解 例3-4 函数在区间 上的图象如图5.3.2-10所示，指出函数的极值和最值. 图5.3.2-10 【解析】显然,,为极大值，,, 为极小值.最大值 ，最小值 . 26 图5.3.2-11 例3-5 [多选题]如图5.3.2-11所示，函数 导函数的图象是一条 直线，则( ) BC A.函数有最大值 B.函数 没有最大值 C.函数有最小值 D.函数 没有最小值 【解析】由导函数图象可知（导函数有且仅有一个零点,设为, 时, ；时,,所以为极小值点），函数 只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值.（函数在 上 先减后增，所以有最小值无最大值） . . . . 27 例3-6 函数 的最小值是( ) C A. B. C. D.不存在 【解析】， . 则当时，，函数单调递增，当时， ，函数单调递减， 当时，函数取得最小值且 . 28 例3-7 函数在区间上有最小值，则 的取值范围是________. 【解析】已知,函数定义域为，可得 ， 当时，， 单调递增; 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 若函数在上有最小值，则此最小值为，需满足 且 ， 所以且 ， 此时且 ， 解得 . 29 例3-8 [教材改编P217例6]已知函数，若在区间上， 的 最大值为，最小值为，则 ( ) A A.20 B.18 C.3 D.0 【解析】 ， 令，解得 ， 易知,为函数 的极值点． 因为，，，，所以在区间 上， ， ，故 . 30 释疑惑 重难拓展 知识点4 零点与极值点的关系（以三次函数为例） 极值点的几何直观性很强，根据极值点的概念，结合函数零点存在定理，往往 可以利用极值的符号来研究函数的零点问题，此处以三次函数为例（三次函数的重 要性不言而喻）. （1）给定三次函数 ,求导得 .用 表示方程 的根的判别式，有以下结论： ①当时,函数 有两个极值点; 当时，函数 无极值点. ②函数的图象存在水平切线,则有实数解,从而 . ③函数在上单调递增,则且 . 31 图5.3.2-3 （2）对于三次函数 ，为了描述方便简洁， 这里只给出 的情形. 令,为的极值点，用 表示 对应方程的根的判别式，则结合函数零点存在定理，有如下 结论： 有一个零点 或 （函数单调或者极大值和极小值同 号，如图5.3.2-3所示） . . . . 32 有两个零点 （函数有两个 极值点，且其中一个极值点为零点，如图5.3.2-4所示） 图5.3.2-4 图5.3.2-5 有三个零点 （函数的极大值 和极小值异号，如图5.3.2-5所示） . . . . 学思用·典例详解 例4-9 已知直线与函数的图象相切，则实数 的值为 _______. 或 【解析】.令，解得或 . 经分析可知，为函数的极大值点，极大值为 ; 为函数的极小值点，极小值为 . 易知直线与函数的图象只能在极值点处相切,故实数 的值为或 . 34 例4-10 已知函数只有一个零点，求实数 的取值范围. 【解析】 ， . 由，得或，即函数在和 上单调递增；由 ，得，即函数在 上单调递减． 即当时，函数 取得极大值； 当时，函数 取得极小值. 要使函数只有一个零点，则需满足 ,（【关键点】 极大值、极小值同号） 即,解得或 . 故实数的取值范围是 . . . 35 知识点5 利用最值解不等式恒成立或不等式有解问题 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化思 想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，此时常需要构造辅助函数. （1）若函数在区间上存在最小值和最大值 ，则对不等式 恒成立或有解问题有以下结论： 不等式 恒成立 有解 无实解 36 （2）若函数在区间上值域为 ，则对不等式恒成立或有解问题有以 下结论： 不等式 恒成立 有解 无实解 37 学思用·典例详解 例5-11 [多选题]已知, ，则正确的选项为( ) BD A.若，成立，则 B.若，成立，则 C.若，恒成立，则 D.若，恒成立，则 38 【解析】由得 .（分离参数） 设，则 . , 当时， . 又，， ， 函数在区间上的最大值为1，最小值为 ． 若，成立，则,即;若, 恒成立，则 ,即 . ，D正确. . . 39 知识点6 重要函数不等式链 重要函数不等式链是高考中的重要内 容，利用上述不等式链可实现对函数式的 放缩，具体可参考本节题型7中“导数中重 要不等式的应用”. 40 学思用·典例详解 例6-12 已知函数，证明： . 【解析】，，令, ，则 ， 所以当时，，即在区间 上单调递增， 当时，，即在区间 上单调递减， 从而，也即，所以在区间 上单调递增. 又，故当时，函数，当时，函数 ， 从而当时， . 41 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 极值概念的理解 1 极值（点）的判定 例13 设函数的定义域为，是 的极大值点，以下结论一定正确 的是( ) D A., B.是 的极小值点 C.是的极小值点 D.是 的极小值点 42 【解析】由极值的定义易知A错； 因为函数与的图象关于轴对称，所以是 的极大值点，B错； 因为函数与的图象关于轴对称，所以是 的极小值点，C错； 因为函数与的图象关于原点对称，所以是 的极小值点，D正确. 43 例14 对于定义在上的可导函数， 为其导函数，下列说法正确的是( ) D A.使的 一定是函数的极值点 B.在上单调递增是在 上恒成立的充要条件 C.若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D.若在上存在极值，则它在 上一定不单调 44 【解析】对于A，使的不一定是函数的极值点，比如 ， ，，在上单调递增，但不是 的极值点， 故A错误； 对于B，在上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如 为单调递 增函数,但在处导函数值为0，故在上单调递增不是在 上恒成 立的充要条件，故B错误； 对于C，若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比 如，在处取得极大值，在 处取得极小值2，极小值大于 极大值，故C错误； 对于D，根据极值点和极值的定义可以判断，若在上存在极值，则它在 上一 定不单调，故D正确． 45 2 极值的图象特征 图5.3.2-12 例15 已知函数的导函数为，若 的图象如图5.3.2- 12所示，下列结论错误的是( ) D A.当时， B.当时， C.当时， 取得极大值 D.当时， 取得最大值 46 【解析】由的图象可得，函数在上单调递减， ， ； 函数在上单调递增，， ； 函数在上单调递减， ． 时，函数 取得极大值， 因此 正确，D错误． 47 图5.3.2-13 例16 (2026·山东省曲阜市期中)如图5.3.2-13是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的是( ) C A.在 处取得极大值 B.是函数 的极值点 C.是函数 的极小值点 D.函数在区间 上单调递减 【解析】由图象知，当时，，单调递减；当 时， ， 单调递增，所以D错误， 当时，函数 取得极小值，无极大值，故选项C正确，选项A，B错误. 48 解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题的注意点 （1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为 负,图象在哪个点处与 轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的; （2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递 减,哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 49 【学会了吗丨变式题】 图5.3.2-14 1.(2026·广东省广州市真光中学期中)设函数在 上可导， 其导函数为，且函数 的图象如图5.3.2 -14所示，则下列结论中正确的是( ) C A.函数有极大值和 B.函数有极小值和 C.函数有极小值和极大值 D.函数有极小值和极大值 50 【解析】 （通性通法）由题图可知，当时，，则 ； 当时，，则；当时， ，则 ；当时，，则，所以函数有极小值 和 极大值 .故选C. 图D 5.3.2-1 （穿根引线法）由题图可知，若令 ,则 ,,且的草图需从右下方开始穿，故 的草 图如图D 5.3.2-1所示.结合导数正负与原函数单调性可知选C. 51 题型2 极值的探求 1 探求不含参函数的极值 例17 ［教材改编P222 T3］求下列函数的极值： （1） ； 【解析】函数的定义域为 ，（研究函数的性质要遵循定义域优先的原则） . 令，解得 . 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，函数 无极大值. . . 52 （2） ; 【解析】函数的定义域为 ， . 令，得 . 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数 单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，函数 无极大值. . . 53 （3） ; 【解析】函数的定义域为 ， . 令，得 . 当变化时，与 的变化情况如下表： 0 - 因此，是函数的极大值点，极大值为，函数 没有极小值. . . 54 （4） . 【解析】函数的定义域为 ， . 令，解得或 . 当变化时，与 的变化情况如下表： 0 2 0 0 0 因此，是函数的极小值点，极小值为；是函数 的极大值 点，极大值为 . . . 55 56 2 探求含参函数的极值 例18（1）已知函数,求函数 的极值. 57 【解析】由 知, ①当时（, 当时，恒成立），，函数 为 上的 增函数，故函数 无极值; ②当时，由,解得 ， 又当时， ； 当时, , 函数在处取得极小值，且极小值为 ,无极大值. 综上，当时，函数无极值;当时，函数在 处取得极小值 ,无极大值. . . 58 （2）已知函数,其中,求 的极值. 【解析】依题意， . 令,得, . ①当时，,则随着的变化，， 的变化情况如下表： 0 0 0 59 当时，函数取得极大值，极大值为 ; 当时，函数取得极小值，极小值为 . ②当时，，则随着的变化，， 的变化情况如下表： 0 0 0 当时，函数取得极大值，极大值为 ; 当时，函数取得极小值，极小值为 . 综上，当时，函数在处取得极大值，在 处取得极小值0； 当时，函数在处取得极大值0，在处取得极小值 . 61 名师点评 求解析式中含有参数的函数的极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解 决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对 的零点有影响，若有影响，则需 要分类讨论；二是看 在其零点附近符号的确定是否与参数有关，若有关，则需 要分类讨论. 62 求可导函数 的极值的步骤 （1）求出函数的定义域及导数 . （2）解方程，得方程的根 （可能不止一个）. （3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将 , 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中. （4）由在各个开区间内的符号，判断在 的各个根处的极值情况： 如果根的附近的值“左正右负”，那么函数 在这个根处取得极大值； 如果根的附近的值“左负右正”，那么函数 在这个根处取得极小值； 如果根的附近两侧 的值同号，那么这个根不是极值点. 63 【学会了吗丨变式题】 2.求函数 的极值. 64 【答案】由, ,知 , ,于是， . 令，从而 ， 又 ，所以 或 . 当变化时，, 的变化情况如下表： 0 0 因此，当时，有极小值 ； 当 时，有极大值 . 65 3.(2026·北京市顺义区期中)设函数,，求 的单调区间和极值. 【答案】由，得 . 令，解得 . 当变化时，与在区间 上的变化情况如下表： 0 所以的单调递减区间是,单调递增区间是 . 故在处取得极小值 ，无极大值. 66 题型3 基于极值求参数的相关问题 1 已知极值（点）求参 例19 若是函数的极值点，则 ____. 67 【解析】因为 ,所以 . 因为是函数的极值点，所以 是 的根，所以.（由于是可导函数在 处取得极值的必要不充分条件，因此由 求出的参数值，务必要检验） 所以 . 令，解得或 ; 令，解得 . 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增， 所以是函数的极大值点， 满足题意. . . 68 2 由极值所在区间求参数范围 例20 若函数在区间上有极值点，则实数 的取值范围 为_ ______. 69 【解析】因为函数在区间 上有极值点，所以 在区间 上有零点，且在零点附近左右两侧导数值异号. ①当在区间 上只有一个零点时， 或或 解得 . 70 ②当在区间上有两个不同的零点时, 解得 . 综上,实数的取值范围为 . 令,则在区间 上有解. （通过分离参数将问题化归为求函数的值域） 由函数的性质可知，当时，,所以 . 当时，，单调递增，则 无极值， 不符合题意，舍去.（【明易错】时刻牢记检验导函数的函数值恒大于等于0或恒小 于等于0的情况） 综上可知，实数的取值范围为 . . . 72 名师点评 对于三次函数，无论是区间极值还是整个定义域上的极值问题，对函数求 导后都转化为与二次函数相关的不等式、方程问题,中学阶段对一元二次问题研究得 较为透彻，并且其思想内涵也比较丰富.加强对“三个二次”问题的研究并掌握含参的 “三个二次”问题的分类讨论是必须的. 73 3 对含参函数极值存在性的讨论 例21 已知函数的图象在其与 轴交点处的切线方程是 . （1）求函数 的解析式； 【解析】由题意知，函数的图象与轴的交点为，故有 ,即 , ,由已知，得，即 ②, 联立①②，解得, , 于是函数解析式为 . 74 （2）设函数,若的极值存在，求实数的取值范围及函数 取得极值时对应的自变量 的值. 【解析】 , , 若函数有极值，则在 上有两个不同的零点，即方程 有两个不同的实根， 由,得 . 令，解得, . 75 当时，随着的变化，， 的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 故在时，函数 有极值， 且当时， 有极大值； 当时， 有极小值. 76 名师点评 三次函数有极值，意味着其导函数对应的一元二次方程有相异实根，即一 元二次方程根的判别式为正，这便是三次函数存在极值的条件，本题就是为研究这 个问题而设计的. 77 例22 已知函数 . （1）为何值时,函数 无极值？ 思路点拨 若图象连续不间断的函数 无极值，则该函数一定是单调函数，因此 只需或 恒成立即可; 78 【解析】 , . 要使无极值,只需或 恒成立即可.（函数一定是单调函数） ,与 同号. 的二次项系数为 ， 只能满足 恒成立, 令,解得 ， 当时,函数 无极值. . . 79 （2）试确定的值,使 的极小值为0. 思路点拨 对分情况讨论，由 的极小值为0即可求解. 80 【解析】由（1）知 , 令,得,.（由于,大小关系不确定，因此无法确定函数 的 极小值点，故需对 分类讨论） ①当，即时,随着的变化,, 的变化情况如下表： 2 0 0 极小值 极大值 令，得，解得，满足 . . . 81 ②当，即时,随着的变化,, 的变化情况如下表： 2 0 0 极小值 极大值 令,得，解得，满足 . 综上，当或时, 有极小值0. 82 基于函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点 处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号. 1.已知可导函数的极值点求参数的取值，可由 构建关于参数的方程 求解，但应对参数的取值进行检验. 2.已知可导函数在处有极值，求参数的取值，可由 解方程组求 值，同样需对参数的取值进行检验. 83 3.已知可导函数 极值的存在性求参数的取值范围.若函数在给定区间上不存在极值， 则函数在该区间上单调，即或 恒成立；若函数在给定区间上存 在极值，则 在该区间上存在变号零点.进而化归为关于参数的不等式（组）求解. 84 【学会了吗丨变式题】 4.已知函数，是 的唯一极小值点， 则实数 的取值范围为( ) D A.[-， B.[-， C. D. 【解析】由题可知， ， 是 的唯一极小值点， 恒成立，即 恒成立. 令，则 . 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. ，，即 ． 85 5.已知函数的极大值点和极小值点都在区间 内， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C.， D. 【解析】由题意可知的两个不同解都在区间 内. 因为，所以根据导函数图象可得 又，所以 .故选D. 86 6.已知函数，若在内有极值，试求 的取值范围． 【答案】若在内有极值，则在 内有零点， 令，得，即 . 设，，则 恒成立， 所以在 上单调递减， 所以在上的值域为 . 所以当时， 有解. 设，当时，，因此在 上单调递 减，又， ， 所以在上有唯一零点 ， 87 当时，，当时， ， 因此当时，在 内有唯一极值. 当时，在 上单调递减，不存在极值. 综上所述， ． 题型4 函数的极值与零点的相关问题 1 三次函数的极值与零点的问题 母题 致经典·母题探究 三次函数的极值与零点问题 利用导数解决函数的极值与零点问题是考试的一个难点，同时也是热点，而对三次 函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，渗透等价转 化与化归、数形结合等思想方法，具有较强的综合性，在各类考试中颇受青睐. 89 例23 若有一个实数根，则实数 的取值范围为_____________. ， 【解析】令,则.令，解得 , . 因为 有一个实数根, 所以或且 . ①由，得 ; ,且,即,且,所以 ， 且 . 综上，实数的取值范围是， . 90 子题 子题1 若有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为_ _______. 【解析】令,则 . 由 有两个不同的实数根，得 （是 的极值点） 由，得,令，得, ,所以 ， , 则，解得 . 综上，实数的取值范围为 . 91 子题2 若有三个不同的实数根，求实数 的取值 范围. 【解析】令 ,则 ,令 ,解得 , . 由 有三个不同的实数根可得 易知, ， , 则 , 解得或或 . 综上，实数的取值范围是 . 92 【学会了吗丨变式题】 7.设函数,曲线在点处的切线与 轴垂直. （1）求 ； 【答案】 . 依题意得,即，故 . 93 （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1. 【答案】由（1）知, . 令,解得或 . 当变化时，与 的情况如下表所示： , , , 0 0 94 因为，所以当时, 只有大于1的零点. 因为,所以当时，只有小于 的零点. 由题设可知 . 当时,只有两个零点 和1; 当时,只有两个零点和 ; 当时，有三个零点,,,且, , . 综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则 所有零点的绝对值都不大于1. 95 2 指数型、对数型函数的极值与零点的问题 例24 已知函数，若函数有零点,则实数 的取值范围为 ______. 96 【解析】 （利用函数零点存在定理） 函数 的定义域为 . 由,得 . 因为,所以当时, ; 当时, . 所以函数在上单调递减, 在 上单调递增. 所以当时,函数取得极小值，极小值为 ,这也是最小值. 又函数有零点,且 ， 所以,（由于,因此只需极（最）小值 ,即可确保函数存 在零点） 解得.所以实数的取值范围为 . . . 97 （分离参数法） 函数的定义域为 . 令,得 .（分离参数，构造新函数） 令，则 . 当时, ; 当时, . 所以函数在上单调递增, 在 上单调递减. 故当时,函数取得极大值，极大值为 ，这也是最大值. 又函数有零点,,所以.所以实数的取值范围为 . . . 98 【学会了吗丨变式题】 8.已知函数 ． （1）当时，求在 处的切线方程. 【答案】由,得, ． 当时， ． 又，所以的图象在处的切线的方程为 ,即 99 （2）函数 是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由． 【答案】函数的定义域为 ． 当时，,，所以,即在区间 上没有零点. 100 当时，， 令，只要讨论函数 的零点即可． ，令,得 ． 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增． 所以在区间上的最小值为 显然，当时，，所以是 唯一的零点； 当时，，所以 没有零点； 当时，，所以 有两个零点． 综上可知，当时，函数 没有零点; 当时，函数 有唯一的零点; 当时，函数 有两个零点. . . 101 题型5 最值的探求 1 函数解析式中不含参数的最值问题 例25（1）求函数 是自然对数的底数 的最值. 【解析】由题意知的定义域为 . ,令，解得 . 当时，， 单调递增; 当时,， 单调递减. 故函数的最大值为 ，无最小值. 102 （2）求函数 的最值. 【解析】由题意知，函数的定义域为 . （当 时这两个式子都大于0） 令,解得 . 当时,, 单调递减; 当时,, 单调递增. 故当时,取得极小值，也是最小值，最小值为 ，无最大值. 103 2 函数解析式中含参数的最值问题 例26 设函数,其中 . （1）讨论 在其定义域上的单调性； 【解析】的定义域为， . 令，得,, , 所以 . 当或时， ； 当时， . 故在和上单调递减，在 上 单调递增. 104 （2）当时，求取得最大值和最小值时的 的值. 【解析】因为，所以, . ①当时，.由（1）知，在上单调递增，所以在 和 处分别取得最小值和最大值. . . . . 105 ②当时，.（将, 分别与0,1比较，是为了将极值点与区间端点处 的函数值的大小进行比较） 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，因此 在 处取得最大值. 又,,所以当时，在 处取得最小值； 当时，在和 处同时取得最小值； 当时，在 处取得最小值. 综上，当时，在和 处分别取得最小值和最大值. 当时，在 处取得最大值, 当时，在 处取得最小值; 当时，在和 处同时取得最小值; 当时，在 处取得最小值. . . 106 名师点评 研究函数在区间上的最值问题，关键是比较极值点与区间端点处函数值的 大小，而这个就是讨论的切入点.本题中因为，所以将极小值点 排除在区间 外，时将极大值点也排除在区间之外，函数的单调性显而易见，易得 取最 值时对应的的值.故只需关注 时的最值，进一步讨论即可. 107 求函数最值的着眼点 （1）从极值点和端点处找最值. 求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是 极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值. （2）单调区间取端点. 当图象连续不断的函数在 上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处 取得. 108 【学会了吗丨变式题】 9.求函数在区间 上的最大值和最小值. 【答案】,设 , 则 . 当时,,所以在区间 上单调递减, 所以对任意,都有,即 , 所以函数在区间上单调递减,因此在区间上的最大值为 ,最 小值为 . 109 10.已知函数，其中,， 为自然对数的 底数.设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值. 【答案】因为 , 所以， . 因此当时， . 当时，，所以在上单调递增,因此在 上的最小值是 . 当时，，所以在 上单调递减， 因此在上的最小值是 . 110 当时，令，得, . 所以函数在上单调递减，在上单调递增,于是,在 上的最小值是 . 综上所述，当时，在上的最小值是;当时，在 上 的最小值是;当时，在 上的最小值是 . 题型6 最值背景下的逆向探讨 例27 [多选题]已知函数, 的最大值为3，最小值为 ，则 ( ) AD A.5 B. C.1 D. 112 【解析】由题设知，否则 为常函数，与题设矛盾. 对求导得,令,得, （舍去）. ①当,且变化时，, 的变化情况如下表： 0 2 0 由表可知，当时，取得极大值，也就是函数在 上的最大值， . 又, ， 113 在上的最小值为,即，解得 . ②当时，同理可得，当时，取得极小值，也就是函数在 上的最小值， . 又, ， 在上的最大值为,即，解得 . 综上可得，,或, . 故或 . 名师点评 求解本题的关键是利用函数的单调性确定某个极值就是函数的最值，同时 由于系数的正负对函数的单调性有直接的影响，且最值也受 的正负的影响，因此 需要对 的正负进行分类讨论. 115 例28 已知函数,其中 . （1）当时，求 的单调递增区间； 【解析】函数的定义域为 . 当时， ， 令，得或 , 故函数的单调递增区间为和 . 116 （2）若在区间上的最小值为8，求 的值. 【解析】, ， 由得或.（由,可得 ,据此可划分单调区间） 当时， 单调递增； 当时， 单调递减； 当时， 单调递增. ①当，即时，在上的最小值为 ,由 ,得 ，均不符合题意. ②当，即时，此时，在 上的最小值为 ，不符合题意. . . 117 ③当，即时，在上的最小值可能在或 处取得，而 时没有符合题意的值（由①可知 ）,由 得或（舍去），当时， 在 上单调递减，在上的最小值为 ，符合题意. 综上知， . . . 118 已知函数最值求参数的步骤 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用， 这类问题的解题步骤是： （1）求导数 ，并求极值; （2）利用单调性，将极值与端点处的函数（尤其要注意给定区间的开闭，若为开区 间，则最值必定为极值）值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数 的单调性，要对参数进行分类讨论； （3）利用最值列关于参数的方程（组），解方程（组）即可. . . 119 【学会了吗丨变式题】 11.已知函数,.若函数在区间 上的最大 值为28，则实数 的取值范围为__________. 【解析】,令 ,则 ， 令,得, . 当或时，;当时， . 所以和为的单调递增区间，为 的单调递减区间，则 为函数的极大值，由于,故若函数在区间 上的最大 值为28，则该区间包含极大值点,所以 . 即的取值范围是 . 120 题型7 最值与不等式的综合问题 1 构造辅助函数证明不等式 例29 已知定义在正实数集上的函数， ，其中 ．设两曲线, 有公共点,且在该点处的切线相同． （1）用表示，并求 的最大值； 121 【解析】设曲线与在公共点 处的切线相同. ， ， 由题意得 即 （在该点处函数值相同,导数值也相同） 由得或 （舍去）， 即有 ． 122 令,则 ． 令得；令得 . 故在上的最大值为,即的最大值为 . （2）求证： ． 【解析】设 ，则 ． 故在上单调递减，在上单调递增,于是函数在 上的最小 值是 . 由（1）知 . 故当时，有 ， 即当时， . 124 125 构造函数证明函数背景下不等式的策略 （1）转化为 型：寻找待证不等式的等价不等式，把等价 不等式转化为 型，观察此等价不等式左右两边的结构， 构造函数 . （2）转化为 型：寻找待证不等式的等价不等式，把不等式转化为 型，由此构造函数 . 126 【学会了吗丨变式题】 12.(2026·陕西省渭南市期末)已知函数 . （1）讨论 的单调性； 【答案】 , 当时，，则在 上单调递增， 当时，令，得，所以当时，， 单调递 增，当时，， 单调递减. 综上所述，当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在 上单调递减. 127 （2）证明不等式 恒成立. 证明恒成立，即 . 设函数，则,可知在 上单调递增， 又由，知在上有唯一实数根，且 ， 则，即 . 当时，，单调递减，当时，， 单调递增，所以 , 结合，知 ， 所以 ， 则，即不等式 恒成立. 128 2 由不等式恒成立求参数的取值范围 例30 (2026·湖南省永州市期末)若对任意的， 恒成立，则 实数 的最小值是( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 思路点拨 思路一 恒成立，即 ,求出最小值即 可得出 的取值范围. 思路二 分离参数，得恒成立,即，求出 的最大值 即得 的取值范围. 129 【解析】 （求在上的最小值） 令 , . 因为恒成立，所以 . ，若，则，函数单调递减， 不恒成 立，所以 . 令，解得 . 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 所以，即，即，所以 的最小值是2. 130 （分离参数，化归为求函数的最值） 因为 恒成立， 则恒成立，令（构造函数求最值） ，则 ， 令，即，解得 ， 令，即，解得 ， 故在上单调递增，在上单调递减， ， 故， 的最小值是2. . . 131 已知不等式恒成立求参数的方法 1.分类讨论（求最值）法 将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.求解时要确定一个函数，分析不同 参数取值时，对函数最值的影响，得到最终满足题意的结果. 2.分离参数法 在不等式中，参数只出现一次或出现的参数只是一次的形式，可以对不等式进行变 形，把参数分离到一边，而另一边则是关于自变量 的表达式，这样的恒成立问题可 用分离参数法来求解.一般地，恒成立; 恒成立 . 132 【学会了吗丨变式题】 13.已知函数，若恒成立，求 的范围. 【答案】因为恒成立，所以 恒成立， 令 ， 则 , 因为，，所以 ， 当时， ， 当时， ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以,所以,即 ， 所以的取值范围为 . 133 3 双变量恒成立（能成立）问题 例31 已知函数，若存在实数 使得不等式 成立，则实数 的取值范围为_ __________________. 134 【解析】对函数求导可得, , ,得 . 又, . 故， , 设,则恒成立，故导函数在 上单调递增.而 ，故 存在实数使, ,即 ，（切勿与恒成立问题搞混） 解得 . . . 135 例32 (2026·海南省临高县期中)已知函数, 为自然对数的底数 . （1）若直线与函数的图象相切,求 的值; 【解析】易知，,设切点坐标为，则 ，解得 ,所以，解得 . 136 （2）设,,,都有 ,求实 数 的取值范围. 137 【解析】因为,所以时,,所以在 上单调递增. 因为，所以在 上单调递增. 不妨设，则, , 所以 , 可转化为 , 即 . 设,则在 上单调递减, 在 上恒成立, 即, 恒成立. 设,,则,所以 在 上单调递增,所以，所以 . 故的取值范围为 . 138 139 双变量恒成立与能成立问题的四种类型 记区间，分别是函数, 定义域的子区间.双变量的恒成立与能成 立问题包含以下四种基本类型. 类型1 ,, .其等价转化的基本 思想是：函数的任一函数值均大于函数 的任一函数值，只需 即可.同理有：, , .#2.2.1 140 类型2 ，, .其等价转化的基 本思想是：函数的任一函数值大于函数 的某些函数值，但并不要 求大于的所有函数值，故只需 即可. 类型3 ,, .其等价转化的基本 思想是：函数的某些函数值大于函数 的任一函数值，只要求 有函数值大于的任一函数值即可，故只需 即可. 类型4 ，， .其等价转化的基 本思想是：函数的某些函数值大于函数 的某些函数值，都只要求 有这样的函数值，不要求所有的函数值，故只需 .同理有： ，， .#2.2.4 141 4 导数中重要不等式的应用 例33 (2026·江苏省无锡市期中)已知函数 . （1）设是的极值点，求，并讨论 的单调性; 【解析】 . 由是的极值点得,所以 . 于是,定义域为, . 函数在上单调递增，且,因此当 时， ; 当时， . 所以在上单调递减，在 上单调递增. 142 （2）当时，证明 . 【解析】当，时， , 故只需证明当时，.（利用 的取值范围，将问题转化为证明 成立） 当时，函数在 上单调递增. 又,,故 . . 143 在上有唯一实根,且.（是导函数 的一个未知零点，通 常称为“隐零点”，设出“隐零点”是解决本题的关键） 当时，;当时，，从而当 时， 取得最小值. 由得,即 , 故 . 综上，当时， . . . 144 图5.3.2-15 名师点评 本题第（2）问的证明遵循了一般解法，事 实上，注意到，当 时， ，又 （令 ，则，当 时，；当时， .因此，当 时，，即 ，所以 上述考题所涉及的不等式是再普通不过的了，从中也可以进一步认识到重要不等式 及其等价不等式的价值.我们可以通过图5.3.2-15所示的图象来看到上述放 缩的关系. ，所以 ，由于等号不可能同时成 立，所以当时， 成立. 145 新考法 思维创新 例34 新定义 隔离直线 若存在实常数和，使得函数和 对其定义域上的任 意实数分别满足和,则称直线为和 图象的“隔离直线”.已知函数和函数，那么函数 和函数 的图象的“隔离直线”的方程为___________. 146 【解析】设 ,则 . 易知在上单调递减，在上单调递增，故 , 则与的图象有唯一的公共点 . 由,得,从而曲线在点处的切线方程为 . 因为 , 所以 恒成立. 设,则，易知在 上单调递减， 在上单调递增，故 , 所以 恒成立. 综上，与的图象的“隔离直线”的方程为 . 147 名师点评 事实上，由图5.3.2-16可知，此隔离直线为两函数图象在点 处的公共切线. 图5.3.2-16 148 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 导数研究函数的极值或最值问题在高考中的选择题、填空题和解答题都有呈现，命 题点主要有：求解函数极值（点）、最值（点）；由函数的极值或最值求参数的值 或取值范围；不等式恒成立（有解）或不等式证明问题.难度中等或偏难. 核心素养：数学运算（导数运算、函数最值的求解）,逻辑推理（导数与函数极值之 间的关系）. 149 考向1 函数极值（点）的求解及其应用 1 函数极值（点）的求解与判断 例35 [多选题](2025· 全国二卷)已知是定义在上的奇函数，且当 时， ，则( ) ABD A. B.当时， C.当且仅当 D.是 的极大值点 150 【解析】对A，因为是定义在上奇函数，所以 ，故A正确； 对B，当时， ，则 ，故B正确； 对C，（举反例即可） ，故C错误； 对D，当时， ，则 ， 令，解得 或3（舍去）， 当时，，此时 单调递增， 当时，，此时 单调递减， 则是 的极大值点，故D正确. . . 151 例36 [多选题](2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数 ，则( ) AD A.当时， 有三个零点 B.当时，是 的极大值点 C.存在，，使得直线为曲线 的对称轴 D.存在，使得点为曲线 的对称中心 152 【解析】A选项，，由于，故当 , 时，，故在, 上单调递增， 当时，， 单调递减， 则在处取到极大值，在 处取到极小值， 由，，则 ， 根据零点存在定理在 上有一个零点， 又， ， 则, ， 则在, 上各有一个零点， 于是时， 有三个零点，A选项正确. 153 B选项，，当时，易知当时,， 单调递 减， 当时，， 单调递增， 此时在 处取到极小值，B选项错误. C选项，假设存在这样的,，使得直线为曲线 的对称轴， 即存在这样的,使得 ， 即 ， 经展开后，等式右边的系数为，等式左右两边 的系数不相等，原等式不可能 恒成立，于是不存在这样的,，使得直线为曲线 的对称轴，C选项错误. D选项，，若存在这样的，使得点为曲线 的对称中心， 则 .事实上， ， 于是 ， 即解得，即存在使得点是曲线 的对称中 心，D选项正确. 2 基于极值（点）的逆向探讨 例37 (2025· 全国二卷)若是函数 的极值点，则 ____. 156 【解析】（1）由题意有 ， 因为2是函数 的极值点， 所以，得 ， 所以 . 当时,, 单调递增， 当时,, 单调递减， 当时,, 单调递增， 所以是函数 的极小值点，符合题意. （验证求出的函数是否符合2为极值点） 所以 . 157 （【另解】函数 为三次函数，其图象可用“穿根引线法”作出来，遵循“奇过偶不 过”的原则，因为2是函数的极值点，所以在处函数图象不过 轴，所以 的次数为2，即，即， ） 例38 (2025·上海)已知, . （1）若，求不等式 的解集; 【解析】由题设条件可得，，解得 ,所以 . 由，可得 ， 令，则在上恒成立，所以 在 上单调递增， ，所以即，可得 . 综上，不等式的解集为 . 159 （2）若函数满足在上存在极大值，求 的取值范围. 【解析】，令 ,得 或 . ①当，即时，由得；由 得 . 故在,上单调递增，在上单调递减，此时在 处取得 极大值. ②当，即时，由得；由 得 . 故在，上单调递增，在上单调递减，此时在 处取 得极大值. 160 ③当，即时，在上恒成立，即在 上单调递 增，此时函数在 上无极大值. ④当，即时，由得 ； 由得 . 故在上单调递减，在上单调递增，此时在 处取得极小值， 无极大值. 综上可知，的取值范围为 . 161 例39 (2023·全国乙卷节选)已知函数.若在 上存在 极值，求 的取值范围. 【解析】 ， 设 ， 则 ， ①当时，，当时， ， 所以在 上单调递减， 所以当时，，即 ， 162 所以在 上单调递减，无极值，不满足题意. ②当时，，当时， ， 所以在 上单调递增， 所以当时，，即 ， 所以在 上单调递增，无极值，不满足题意. ③当时，令，得，当时， ，当 时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 又当 时， ， 所以存在，使得 ， 即当时，，单调递减，当时，， 单调递增， 此时有极小值点 . 综上所述，的取值范围为 . 例40 (2024·新课标全国Ⅱ卷节选)已知函数，若 有极小值， 且极小值小于0，求 的取值范围． 【解析】 的定义域为，且 ， 若，则对任意 恒成立， 可知在 上单调递增，无极值，不合题意. 若，令，解得 ； 令，解得 . 可知在上单调递减，在 上单调递增， 则有极小值 ，无极大值. 由题意可得，，即 ， 165 构造, ， 则 ， 可知在上单调递增，且 ， 不等式等价于，解得 ， 所以的取值范围为 . 的定义域为，且 ， 若有极小值，则 有零点， 令，可得 ， 可知与有交点，则 . 若，令，解得 ； 令，解得 . 可知在上单调递减，在 上单调递增， 则有极小值 ，无极大值，符合题意. 由题意可得，，即 ， 构造, ， 167 因为,在 上单调递增， 所以在上单调递增，且 ， 不等式等价于，解得 ， 所以的取值范围为 . 考向2 基于极值的函数零点问题 例41 (2023·全国乙卷)函数存在3个零点，则 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知,要使函数存在3个零点，则 要有2个 不同的根，则 . 令，解得 . 令,则或 ， 令,则 . 169 所以在和上单调递增，在， 上单调递减， 所以要使 存在3个零点， 则即 解得,即 . 例42 (2025· 全国二卷节选)已知函数 ，其中 ．证明：在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点. 【解析】因为， , 所以 . 当时，令，解得 ， 所以当时，， 单调递增; 当时,， 单调递减. 所以是在 上唯一的极值点，且是极大值点. 171 因为（由单调性可得）, , （令,,当时，恒成立，所以在 , 上单调递减，.又，所以 ,所以 ） 所以, , 所以是在 上唯一的零点. . . . . 考向3 最值的探求 例43 (2022·全国乙卷)函数在区间 的最小值、最 大值分别为( ) D A., B., C., D., 173 【解析】, ，则 . 令,解得（舍去），或 . 因为 ， , , , 所以, .故选D. 174 例44 (新高考全国Ⅰ卷)函数 的最小值为___. 1 【解析】函数的定义域为 . ①当时，（对 进行分类讨论） ，所以 ， 当时，，当时， ， 所以 ； ②当时，在（0， 上单调递减， （直接用基本初等函数的单调性进行判断） 所以 . 综上， . 175 例45 (2025· 全国一卷节选)求函数在 的最大值. 【解析】 第1步：求 因为 ， 所以 . 176 第2步：令，求出导函数的零点，讨论函数 的单调性 令，得 ， 又，所以或 ， 所以或 ， 所以，， 的关系如表所示： 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 177 第3步：求在区间, 的最大值 因为 ， 所以函数在区间,的最大值为 . 178 ，（和差化积公式 ） 因为，所以，故 ， 当时，,故，即 ， 当时，，故，即 ， 故在上单调递增，在 上单调递减， 故在上的最大值为 . . . 179 例46 (2025·北京节选)已知函数的定义域是, ，求导函数 的最大值. 【解析】设 ， ， 由可得 ， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 所以的最大值为 . 180 考向4 函数最值的综合应用 1 不等式的证明 例47 (2023· 新课标Ⅰ卷)已知函数 . （1）讨论 的单调性; 181 【解析】第1步：求导 ， 第2步：对分类讨论，判断 的符号，得单调性 当时， ， 所以函数在 上单调递减； 当时，令，得 ， 令，得 ， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增. 综上可得，当时，函数在 上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 182 （2）证明:当时， . 【解析】 （最值法） 第1步：利用（1）的结论，求函数 的最值 由（1）得当时，函数 的最小值为 ， 第2步：构造函数 ，求导，判断其单调性 令， ， 所以，令,得；令,得 . 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 183 第3步：求函数 的最小值，得结论 所以函数的最小值为 ， 所以当时， 成立. （分析法） 第1步：利用（1）的结论，求函数 的最值 当时，由（1）得， ， 184 第2步：利用分析法转化不等式 故欲证 成立， 只需证 ， 即证 . 185 第3步：构造函数 ，求导，判断其单调性，求最值 构造函数 ， 则，所以当时，；当时， . 所以函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以，即 ， 第4步：把要证的不等式转化为一元二次不等式，利用配方法破解 故只需证，即证 ， 因为 恒成立， 所以当时， 成立. 186 例48 (2023· 新课标Ⅱ卷节选)证明:当时, . 【解析】第1步：构造函数 令 , 第2步：求导，利用函数的单调性证左边不等式 则 , 令 , 则 , 所以即单调递减,又 , 所以当时，, 单调递减, 所以当时，,即 . 187 第3步：构造函数 令 , 第4步：求导，利用函数的单调性证右边不等式 则 ， 所以单调递减,又 , 所以当时，,即 . 第5步：整合结论 综上，当时， . 188 2 利用最值求参数 例49 (2024·全国甲卷)已知函数 ． （1）当时，求 的极值； 【解析】当时， ， 故 ， 因为,在 上为增函数， 故在上为增函数，而 ， 故当时，，当时， ， 故在处取极小值且极小值为 ，无极大值. 189 （2）当时，恒成立，求 的取值范围． 【解析】, ， 设, ， 则 ， 当时，，故在 上为增函数， 故，即 ， 所以在上为增函数，故 . 当时，当时， ， 故在上为减函数，故在上, ， 190 即在上,,即 为减函数， 故在上, ，不合题意，舍去. 当，此时在 上恒成立， 同理可得在上 恒成立，不合题意，舍去. 综上，的取值范围是 . 命题探源 本题主要考查的是利用函数的最值来求出参数的取值，这在近年 的高考中多次考查，应引起重视. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 导数的求解. 逻辑推理 函数最值与单调性的判断. 192 变式探源 (全国甲卷)设函数,其中 . （1）讨论 的单调性; 【解析】由题意，的定义域为 ， ， 则当时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减. 故函数在上单调递减,在 上单调递增. 193 （2）若的图象与轴没有公共点（最小值恒大于0或最大值恒小于0），求 的取值范围. 【解析】由（1）知函数的最小值为 ， 要使的图象与轴没有公共点，只需的最小值恒大于0，即 恒 成立， 故，得，所以的取值范围为 . . . 194 3 函数最值与零点的综合 例50 (2022·全国乙卷)已知函数 . （1）当时，求 的最大值； 【解析】当时， ， 所以 . 若，， 单调递增， 若，， 单调递减， 所以 . 195 （2）若恰有一个零点，求 的取值范围. 【解析】由 , 得 . 当时，由（1）可知， 不存在零点. 当时， ， 若，， 单调递增， 若，， 单调递减， 所以，所以 不存在零点. 当时， ， 196 若，，在上单调递增，因为 ，所以函数 恰有一个零点， 若，在,上单调递增，在 上单调递减，因为 ，所以,当时， ，由零点存在定 理可知在上必有一个零点，所以 满足条件; 若，在,上单调递增，在 上单调递减，因为 ，所以,当 时， ，由零点存在 定理可知在上必有一个零点，即 满足条件. 综上，若恰有一个零点，的取值范围为 . 例51 (全国甲卷)已知且，函数 . （1）当时，求 的单调区间； 【解析】当时, , ， 令,则,此时函数 单调递增, 令,则，此时函数 单调递减， 所以函数的单调递增区间为 ,单调递减 区间为 . 198 （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求 的取值范围. 【解析】曲线与直线有且仅有两个交点，可转化为方程 有两个不同的解,即方程 有两个不同的解. 设,则 ， 令,得 ， 当时,,函数 单调递增， 当时,,函数 单调递减， 故,且当时, . 又,所以,所以且,即的取值范围为 . 199 （1） （2） . . 200 高考新题型专练 1.[多选题](2026·贵州省惠水民族中学开学考试)函数和 有相同的 最大值,直线与两曲线和 恰好有三个交点，从左到右三个交 点的横坐标依次为,, ,则下列说法正确的是( ) ABD A. B. C. D. 201 【解析】因为,, , 所以令，得,令，得 . 当时，在上，，单调递减，在上， ， 单调递增，所以 有最小值，无最大值，不合题意. 当时，在上，，单调递增，在上， ， 单调递减，所以;在上，， 单调递增，在 上，，单调递减，所以 . 因为函数和有相同的最大值,所以，所以, ， 202 作出函数与 的图象如图D 5.3.2-2所示. 图D 5.3.2-2 根据题意知，当直线过两曲线的交点 时，满足题意. 设,直线与曲线在的左边的交点为，直线 与曲线 在的右边的交点为 ， 所以，且,， ， 203 因为，所以，即 . 又，，且在 上单调递增， 所以，所以 . 由,得 . 又，，且在 上单调递减， 所以，所以，所以，所以，， 成等比数列， 所以.故选 . 2.新考法 结构不良有两个条件：①函数的图象过点，且函数 在区间 上 是减函数，在区间，上是增函数;在时取得极大值 ．这 两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只需填写序号），并 解答本题． 题目：已知函数 存在极值，并且____． 205 （1）求 的解析式； 【答案】选①： ， 因为函数在区间上是减函数，在区间， 上是增函数， 所以1，2是方程 的两根， 所以,解得 ． 因为，故 . 206 选②： 因为 ， 所以 ， 由题意知 解得 故 . 经检验在 时取得极大值，故符合题意， 所以 . 207 （2）当时，求函数 的最值． 【答案】选①： 由（1）知，函数在区间上是减函数，在区间， 上是增函数， 因为，， ， 所以时，， . 208 选②： ，令，解得或 ， 所以或时，， 单调递增； 时，， 单调递减. 则，， ， 所以时，， ． 209 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:30分钟 1.“”是“函数在 上有极值”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 210 【解析】 , 令，得 ， 当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 故函数存在唯一的极值点 ， 若函数在 上有极值， 则，即 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件， 故选A． 211 2.若函数在处取得极小值,则实数 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 【解析】,令,得 或 .若函数在处取得极小值,则,解得,故的取值范围是 , 故选B. 212 3.函数， 的最大值是( ) B A.0 B. C. D. 【解析】 ， 当时，，单调递增，当时，， 单 调递减， 当时，取最大值，为 .故选B. 213 图5.3.2-1 4.函数的导函数为，若已知 的图象如图 5.3.2-1，则下列说法正确的是( ) B A. 一定存在极大值点 B. 一定有最小值 C.在 上单调递增 D.不等式 一定有解 214 【解析】根据函数的导函数的图象知，的定义域为 ， 当时，，单调递减，时，， 单调 递增，所以时，取得极小值 ； 当时，，单调递减，时，， 单调递 增，所以时，取得极小值 . 所以有最小值,为，，没有极大值点，且在 上先单调递减 后单调递增，且 不一定有解．故选B． 215 5.[多选题] 判断下列命题正确的是( ) CD A.函数的极小值一定比极大值小 B.对于可导函数，若，则 为函数的一个极值点 C.函数在内单调，则函数在 内一定没有极值 D.三次函数在 上可能不存在极值 216 【解析】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，故A选项错 误； 对于B选项，若或恒成立，则无极值点，故B选项错误； 【举例子】函数在处有,但0不是极值点 对于C选项，因为在 内单调，没有极值，故C选项正确；对于D选项，三次 函数求导以后为二次函数，若或恒成立 单调递减或单 调递增，则 无极值点，故D选项正确． 故选 ． . . 217 6.［多选题］ 已知函数 ，下列说法中正确的有( ) ACD A.函数的极大值为，极小值为 B.当时，函数的最大值为，最小值为 C.函数的单调递减区间为 D.曲线在点处的切线方程为 218 【解析】的定义域为， . 令，得或 ， 所以在和 上单调递增， 在 上单调递减，故C正确; ， ，故A正确； ， ， 所以当时，的最大值为，最小值为 ，故B不正确； ，曲线在点处的切线的方程为，即 ， 故D正确． 219 7.若函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是_ ______. 【解析】易知， . 令，解得或 ， 分析易知在上单调递减，在和 上单调递增， 所以0和是函数的极值点，函数的极小值为 ，极大值为 ． 函数恰有三个零点，则解得 ,故实数 的取值范围是 ． 220 8.已知函数在点处的切线与直线 垂直． （1）求 ； 【答案】，则（2） ， 由题意可得，解得 . 221 （2）求 的单调区间和极值． 【答案】由，故 ， 则， ， 故当时，，当时，，当时， ， 故的单调递增区间为， ， 的单调递减区间为 ， 故有极大值 ， 有极小值 ． 222 B 综合练丨高考模拟 建议时间:4分钟 9.若函数在上有极大值，则 的取值范围为( ) B A.， B. C. D. 【解析】，令，得或 ,因为函 数在 上有极大值， 所以，解得， . 由题意，函数在上有极大值，故当，时， ，当 时，，所以，得 ． 综上， ． 223 10.已知函数，若对任意， 恒成立， 则 的取值范围为( ) A A. B. C. D.， 224 【解析】由题意知函数在 上单调递增， 因为 ， 所以可转化为在 上恒成立. 因为，所以在 上恒成立， 即转化为 ， 令，则 ， 所以当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以 ，故选A． 225 11.(2026·广东省中山市华侨中学月考)若过点可以作曲线 的两条切线，则 ( ) D A. B. C. D. 226 【解析】 （数形结合法） 设切点， ，则切线方程为 ，由得 ,则由题意知关 于的方程 有两个不同的解. 设，则.由 得 ，所以当时，，单调递增，当时，， 单调递减， 所以 . 当时，，所以，当 时,,当 时, .（提示：判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限 思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图，以达到草图不草的目的） 227 图D 5.3.2-1 画出函数 的大致图象如图D 5.3.2-1 所示， 因为的图象与直线 有两个交点，所以 .故选D. （用图估算法） 过点可以作曲线 的 两条切线，则点在曲线的下方且在 轴的上方， 得 .故选D. 228 12.[多选题] 已知函数， ，则( ) AC A.函数在 上单调递减 B.函数在 上的最大值为1 C.函数在处的切线方程为 D.若关于的方程在区间上有两解，则 229 【解析】 ， 令，即,令，即，所以函数在区间 上 单调递减，在 上单调递增，故A正确； 因为，，所以函数在区间 上的最大值为4，故B错误； 因为， ， 所以函数在点处的切线方程为，即 ，故 C正确； 230 图D 5.3.2-2 ，则函数 的大致图象如图D 5.3.2-2所示， 要使方程在区间上有两解，则 ，故D 错误． 故选 ． 231 13.已知，若对任意，，都有 ,则实 数 的取值范围是_ ___________. 【解析】由 ， 得，令，则 ， 所以当时，；当时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又,, , 所以, ， 因为对任意，，都有 , 所以只需 , 所以实数的取值范围为 ． 232 14.已知函数，, . （1）设函数，当存在最小值时，求其最小值 的解析式； 233 【答案】由题意知 ， , ①当时，令,解得 , 当时，，在 上单调递减； 当时，,在 上单调递增. 是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 的最小 值点. 最小值 . ②当时，,在 上单调递增，无最小值. 综上所述，的最小值的解析式为 . 234 （2）对（1）中的，证明：当时， . 【答案】由（1）知 , 则 . 令,解得 . 当时，,在 上单调递增； 当时，,在 上单调递减. 在处取得极大值，也是最大值， ， 故当时， . 235 15.已知函数 ． （1）求 的极值； 236 【答案】因为，定义域为 ， 所以 . 当时，由于，则 恒成立， 所以在上单调递增， 无极值； 当时，令，解得 ， 当时，，则在 上单调递增， 当时，，则在 上单调递减， 所以在处取极大值，极大值为 ,无极小值. 综上所述，当时， 无极值， 当时，在处取极大值 ,无极小值． 237 （2）若在区间，有2个零点，求 的取值范围． 【答案】 ， 令，得 ， 令,若在区间， 上有2个零点， 则直线与的图象在区间， 上有2个交点. （零点问题转化为图象交点问题） ，令，得 ， 当，，在 上单调递增， 当，，在 上单调递减， 238 所以的最大值为 ， 又， ， 所以若直线与的图象在区间，上有2个交点，则 ，所 以的取值范围为 ． C 培优练丨能力提升 16.新考法 结构不良 已知函数,其中, ，从条件①，条件 ②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题． 条件①：函数在点处的切线方程为 ； 条件②：函数的单调递减区间为 ； 条件③：函数的三个零点分别是0，, . 240 （1）求 的解析式； 【答案】选择条件①. 因为 , 依题意有所以解得 所以 . 选择条件②. 因为,函数的单调递减区间为，所以 和1为方程 两根， 241 所以解得 所以 , 检验： ， 令，得 ， 所以的单调递减区间为 ，符合题意． 选择条件③. ， 依题意，,为方程 两根， 所以解得 所以 . （2）求 的极值； 【答案】的定义域是，且 ， 令，解得， ， 所以随着的变化,与在 上的情况如下： 1 0 - 0 极大值 极小值 所以， ． 244 （3）若函数在区间上的最小值为，求 的取值范围． 【答案】由 及（2）中结论可知， 当时在区间上的最值随的改变而改变，故要对的取值进行讨论 ， 函数在区间上的最小值为 ，符合题意， 当时，函数在区间上的最小值大于 ，不符合题意， 所以的取值范围是 ． . . . . 245 $