5.3.3第二课时 函数最值在实际生活中的应用（习题课） 课件-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第五 章 导数及其应用 1 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.3 最大值与最小值 2 12 13 THANK YOU 非常感谢您的欣赏 31 第二课时 函数最值在实际生活中的应用(习题课) 几何中的最值问题 [例1] (链接教科书第202页例8)有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少? [解] 设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x, V(x)=(a-2x)2x,0<x<eq \f(a,2). 即V(x)=4x3-4ax2+a2x,0<x<eq \f(a,2). 实际问题归结为求V(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(a,2)))上的最大值点.为此,先求V(x)的极值点. 在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(a,2)))内, V′(x)=12x2-8ax+a2. 令V′(x)=0,得12x2-8ax+a2=0. 解得x1=eq \f(1,6)a,x2=eq \f(1,2)a(舍去). 当0<x<x1时,V′(x)>0; 当x1<x<eq \f(a,2)时,V′(x)<0. 因此x1是极大值点,且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(a,2)))内,x1是唯一的极值点,所以x=eq \f(1,6)a是V(x)的最大值点. 即当截下的小正方形边长为eq \f(1,6)a时,容积最大. eq \a\vs4\al() 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论. 2.几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验. [跟踪训练] 已知圆柱的表面积为定值S,当圆