5.3.3 最大值与最小值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

5.3.3 最大值与最小值 新课导入 上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的山谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． 学习目标 1.会求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与最值的关系. 3.会利用导数解决实际问题. 第1课时 函数的最大（小）值 新知学习 探究 一 函数的最大（小）值 思考．函数极值与最值有什么关系？ 提示 （1）函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念. （2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大值、最小值只能有一个. （3）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. ［知识梳理］ 1．函数的最大值与最小值 （1）如果在函数定义域内存在,使得对任意的,总有①_ _ ,那么为函数在定义域上的最大值. （2）如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有②_ _ ，那么为函数在定义域上的最小值. 【答案】； 2．求可导函数在区间上的最大值与最小值的步骤 （1）求在区间上的③_ _ ； （2）将第一步中求得的④_ _ 与⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 比较，得到在区间上的最大值与最小值. 【答案】极值； 极值； ； ［例1］ （对接教材例6,例7）求下列各函数的最值. （1） ，； （2） ，. 【答案】 （1） 【解】， 因为 在 内恒大于0， 所以 在 上单调递增. 故当 时，； 当 时，. （2） ，令，得 ， 又，解得 或. 计算得， ，，. 所以当 时，有最小值； 当 时，有最大值 . 求函数最值的步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步:求，解方程； 第三步：列出关于,,的变化表； 第四步:求极值、端点处的函数值,确定最值. 注意 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. ［跟踪训练1］． （1） 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 无最小值 （2） 若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 _ _ _ _ ． 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选．因为， 所以， 则， 解得， 则. 令,得， 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增． 故 的最小值为，无最大值．故选． （2） 因为点 是曲线 上的一点， 故设,， 所以 到直线 的距离为， 令，则.令，得， 当,,单调递增；当,,单调递减； 所以， 所以，所以 的最小值为. 二 含参数的函数的最值问题 ［例2］ 已知函数.求函数在上的最小值. 【解】 ， 令，得，. ①当 时，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以. ②当 时，，在 上单调递增，所以. ③当 时，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以. 综上所述，当 时，的最小值为； 当 时，的最小值为0； 当 时，的最小值为. 母题探究．当时，求函数在上的最值. 解：， 令，得，. 因为，所以， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 因为，， ，， 所以， . 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. ［跟踪训练2］．已知函数在处有极小值. （1） 求的值； （2） 求函数在上的最大值. 【答案】 （1） 解：因为，则， 又因为 在 处有极小值，则， 解得 或， ①当 时，则，令，得 或， 当 时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增，所以当 时，取得极小值，符合题意； ②当 时，，令，得 或， 当 时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以当 时，取得极大值，不符合题意，舍去. 综上所述，. （2） 由（1）可知，，且 在,上单调递增，在 上单调递减，，如图所示， 又因为，则有： ①当 时，则 在 上单调递增， 所以函数 在 上的最大值为； ②当 时，结合图象可知，函数 在 上的最大值为； ③当 时，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 且，所以函数 在 上的最大值为. 综上所述： 三 由函数的最值确定参数的值 ［例3］ 已知函数,的最小值为13，最大值为53，求,的值. 【解】 由题设知，, 令,解得（舍去）或. （1）当,且 变化时，,的变化情况如表所示： 1 2 4 0 - 由表知，当 时，取得极大值,也就是函数 在 上的最大值， 所以.① 又,, 所以.② 由①②可得 （2）当，且 变化时，,的变化情况如下表： 1 2 4 - 0 由表知，当 时，取得极小值，也就是函数 在 上的最小值， 所以.③ 又,,所以.④ 由③④可得 综上所述，,或,. 已知函数最值求参数的步骤 （1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； （3）结合已知条件求出参数，进而使问题得以解决. ［跟踪训练3］．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为函数 在 上单调递减，所以 对于任意 恒成立，得，所以. 又因为 在区间 上既有最大值，又有最小值， 所以 在 上有变号零点， 即 有解，得， 可得.因为当 时，不符合题意，故. 综上可得，. 课堂巩固 自测 1．函数在区间上的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】选.， 因为，所以， 所以， 所以 在 上恒成立， 所以函数 在 上单调递增， 所以 . 2．函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为， 所以， 易知，则， 所以当 时，； 当 时，； 即当,时， 单调递增； 当,时，单调递减； 故 在,处取得极大值即最大值， 所以. 故选. 3．（多选）（教材P218T1改编）下列结论中不正确的是（ ） A. 若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B. 若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C. 若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D. 若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 【答案】ABC 【解析】选.若函数 在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故，，都不正确；连续函数在闭区间上一定有最值，故 正确.故选. 4．设函数，，则的最大值为_ _ _ _ _ _ ，最小值为_ _ _ _ . 【答案】； 0 【解析】由 得. 令，则，解得； 令，则，解得. 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且，，所以 的最大值为，的最小值为. 1.已学习：（1）函数最值的概念. （2）利用导数求函数的最值. 2.须贯通：（1）求最值的方法. （2）分类讨论的思想方法. 3.应注意：注意函数极值与最值概念的联系与区别. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列说法正确的是（ ） A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值 【答案】B 【解析】选.如图为函数 在区间 上的图象： 对于选项，极大值 小于极小值，故 错误；对于选项，根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故 正确；如图所示，函数 在区间 上的极大值，而不是最大值，故 错误；同时，最大值 不是极大值，故 错误．故选. 2．函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ） A. 1， B. 1， C. 3， D. 9， 【答案】C 【解析】选．， 令，解得. 又，， ,. 所以函数 的最大值为3，最小值为. 3．函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】选．因为，则， 当 时，,， 可得； 当 时，可得； 当 时，,， 可得. 综上所述，在 上恒成立， 则 在 上单调递增， 所以函数 在区间 上的最小值为.故选. 4．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选．因为, 所以, 令,得, 且当 时，;当 时，;当 时，, 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 又,， 又 时,或 或， 所以其图象如图所示. 由图象及题意可得. 故选． 5．当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】选.因为函数 的定义域为，所以依题可知，而,所以 解得 所以,当 时，；当 时，，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时取最大值，满足题意，即有. 6．（多选）下列关于函数的判断正确的是（ ） A. 的解集是 B. 是极小值，是极大值 C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，无最小值 【答案】ABD 【解析】选．由 得，故 正确； ， 令，得， 当 或 时，， 当 时，， 所以当 时，取得极小值， 当 时，取得极大值，故 正确； 当 时，，当 时，，且，故结合函数的单调性可知，函数 有最大值，无最小值，故 不正确，正确. 7．已知函数,,则的最大值为_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】函数,,所以，当且仅当,即 时等号成立，因为,所以,所以 在 上单调递增，最大值为. 8．已知函数,为实数，且在区间上的最大值为1，最小值为，则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】,令，解得,.当 时，,单调递增；当 时，,单调递减， 所以. 因为,, 所以, 解得, 所以. 9．若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，在 上恒成立， 令， 则． 在区间 上，，函数 单调递减； 在区间 上，，函数 单调递增． 则，所以， 所以实数 的取值范围是． 10．（13分）已知函数,其中为常数.函数的图象在点，处的切线的斜率为1. （1） 求的值；（5分） （2） 求函数在上的最小值.（8分） 【答案】（1） 解：函数 的定义域为，,因为函数 的图象在点，处的切线的斜率为1，则,解得. （2） 由（1）得,,由 得 或,因为,则当 时，；当 时，,所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，，所以函数 在 上的最小值为. B 能力提升 11．已知函数在定义域内单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.的定义域为， ， 因为函数 在定义域内单调递增， 则 在 上恒成立， 则， 即， 令， ， 令，解得，令，解得， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以. 故，故实数 的最小值为. 故选. 12．已知函数，且的最小值为0，则的值为_ _ _ _ ． 【答案】1 【解析】 的定义域为， ， 当 时，，在 上为减函数，此时 无最小值，不符合题意； 当 时，令，得；令，得， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以， 令， ， 令，得，令，得， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，取得最大值，故. 13．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得,由于,均为增函数，故 在 上单调递增，因为 在 上有最小值，故 即 可得. 14．（15分）设函数. （1） 当时，求证：;（6分） （2） 当时，求函数在上的最小值.（9分） 【答案】 （1） 证明：当 时，，， 当 时，，当 时，， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 上取得极小值，也是最小值， 且， 故 在 上恒成立. （2） 解：，，， 令，解得，令，解得， 当 时，，故 在 上单调递减，在 上单调递增， 此时 在 上取得极小值，也是最小值， 故 在 上的最小值为； 当 时，，故 在 上单调递减， 此时 在 上的最小值为， 综上，当 时，在 上的最小值为， 当 时，在 上的最小值为. C 素养拓展 15．（15分）已知函数. （1） 当时，求函数的单调区间；（5分） （2） 若函数在上的最小值是,求的值.（10分） 【答案】 15．解：函数 的定义域为， . （1） 因为,所以, 故函数在定义域 上单调递增. 所以 的单调递增区间为，无单调递减区间. （2） 当 时，分如下情况讨论： ①当 时，,函数 单调递增，其最小值为,这与函数 在 上的最小值是 矛盾； ②当 时，函数 在 上有,单调递减，在 上有,单调递增，所以函数 的最小值为,由,解得，符合题意； ③当 时，，函数 在 上单调递减，其最小值为,这与函数 在 上的最小值是 相矛盾. 综上所述，的值为. 第2课时 导数在实际问题中的应用 新知学习 探究 一 面积、容积的最值问题 ［例1］ （对接教材例8）如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点，在边上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设. 某厂商要求包装盒的容积(单位：最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【解】 因为. 所以 . 令,得（舍去）或. 因为当 时，； 当 时，. 所以 在 时取极大值也是唯一的极值，故为最大值，所以此时包装盒的底面边长为，高为， 即此时包装盒的高与底面边长的比值为. 利用导数解决实际问题的基本思路 （1）实际问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决实际问题. （2）导数是解决实际问题的基本方法之一.利用导数解决生活中的实际问题的基本思路是： ［跟踪训练1］． （1） 在函数的图象与轴围成的封闭图形内作一内接矩形，则可作矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 27 （2） 已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选．设，在抛物线上，若，，则点 的坐标为， 所以矩形 的面积可表示为，， 则， 令，解得 或（舍去）， 当 时，；当 时，，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，所以矩形的最大面积为．故选. （2） 设圆柱的底面半径为， 则，， 所以圆柱的表面积. 所以， 又圆柱的体积，， 令，得，所以，所以 只有一个极值点，故当 时圆柱的容积最大. 又，所以. 即当圆柱的容积 最大时，圆柱的高 的值为. 二 用料（费用）最省问题 ［例2］ 某出版社出版某一读物，1页上所印文字占去，上、下边要留空白.左、右两侧要留空白.出版商为降低成本，应选用什么尺寸的纸张？ 【解】 设印字部分的矩形宽为，则高为，故纸张面积.则，令，得（舍去），.又当 时，，当 时，，故可知当 时，取得极小值，也是最小值，此时纸宽为，高为.故应选用 的纸张. 利用导数解决实际问题的一般步骤 （1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式； （2）求函数的导函数,并解方程，即求函数可能的极值点； （3）比较函数在区间端点的函数值和极值点的函数值的大小，得出函数的最大值或最小值； （4）根据实际问题的意义给出答案. ［跟踪训练2 ］．为了应对比赛，某游泳跳水馆将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】选．设泳池维修的总费用为 元，则由题意得， 则， 令，解得， 当 时，； 当 时，， 故当 时，有最小值． 因此，当较短池壁为 时，泳池的总维修费用最低．故选． 三 利润最大问题 ［例3］ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式.其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1） 求的值； （2） 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【答案】（1） 【解】因为当 时，，所以，解得. （2） 由（1）可知，该商品每日的销售量， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 ，. 从而. 令，解得 或（舍去）. 当 变化时，，的变化情况如表所示： 4 0 - 极大值 由表可得，是函数 在区间 内的极大值点，也是最大值点.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. （1）经济生活中实际问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. （2）关于利润问题常用的2个等量关系 ①利润收入-成本； ②利润每件产品的利润×销售件数. ［跟踪训练3］．某厂生产某种商品件的总成本（单位：万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为件时，总利润最大. 【答案】25 【解析】设产品的单价为 万元，根据已知，可设，其中 为比例系数. 因为当 时，，所以. 所以，，. 设总利润为 万元， 则 ，则. 令，得. 故当 时，，当 时，，所以当 时，函数 取得极大值，也是最大值，即产量定为25件时，总利润最大. 课堂巩固 自测 1．某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A. 16万元 B. 18万元 C. 19万元 D. 21万元 【答案】C 【解析】选.由题意，， 当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减， 所以当 时，有最大值，此时最大值为19万元.故选. 2．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设该容器底面的宽为，则长为.因为长方体的棱长之和为， 所以长方体的高为，因为，所以， 故容积，，则，令，整理得，解得； 令，解得. 故 在 上单调递增，在 上单调递减.所以当 时，容积 取得极大值，也是最大值.此时长方体的宽为，长为.故选. 3．现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，若要使其体积最大，则其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设圆锥形漏斗的高为，则圆锥的底面半径为， 圆锥的体积，则. 令，则 或（舍去）. 因为，所以当 时，， 当 时，. 所以当高 时，圆锥的体积 取得极大值，也是最大值.故选． 4．某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨元零售，销量（单位：吨）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该批材料零售价定为元时利润最大，最大利润为_ _ _ _ _ _ 元. 【答案】30； 23 000 【解析】设该商品的利润为 元，由题意知， ， 则， 令，得 或（舍去）， 当 时，；当 时，， 因此当 时，取得极大值，也是最大值，且. 1.已学习：导数在实际问题中的应用. 2.须贯通：在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量. 3.应注意：在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围. 课后达标 检测 A 基础达标 1．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，面积之和 ， 则. 令，解得. 当 时，；当 时，. 则6是 的极小值点，也是最小值点，所以. 2．某产品的销售收入（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数：,生产成本（单位：万元）是产量（单位：千台）的函数：,为使利润最大，应生产产品的数量为（ ） A. 6千台 B. 7千台 C. 8千台 D. 9千台 【答案】A 【解析】选.设利润为,则, 所以. 令，解得（舍去）或. 经检验知6既是函数 的极大值点又是最大值点. 所以生产产品的数量为6千台时利润最大.故选. 3．内接于半径为的球且体积最大的圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设圆锥的高为，底面半径为，体积为, 则,所以, 所以, 所以. 令,解得 或（舍去）. 当 时，; 当 时，, 所以当 时，圆锥体积最大. 4．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】选．设圆的直径为，则，所以， 所以,， 令,得 或（舍去）， 由 得；由 得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，取得极大值，也是最大值. 此时，所以.故选． 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式则总利润最大时，每年生产的产品数量是（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 300 【答案】D 【解析】选.由题意，总成本为， 所以总利润为 当 时，令，解得；当 时，恒成立，易知当 时，总利润最大. 6．（多选）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.下列四种说法中正确的有（ ） A. 前四年该产品年产量增长速度越来越快 B. 前四年该产品年产量增长速度越来越慢 C. 第四年后该产品停止生产 D. 第四年后该产品年产量保持不变 【答案】BD 【解析】选.设年产量与时间的关系为,由题图可知 在点,，，处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品年产量增长速度越来越慢，故 错误，正确；由题图可知从第四年开始产品年产量不再发生变化，且，故 错误，正确.故选. 7．某箱子的体积与底面边长之间的关系为,则箱子底面边长为时，它的体积最大. 【答案】40 【解析】, 令，解得 或（舍去）， 当 时，,单调递增； 当 时，,单调递减， 所以40是 的极大值点也是最大值点. 所以当箱子的底面边长为40时，体积最大. 8．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如图所示，如果窗户面积为,为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设窗户周长为，圆的半径为，矩形高为， 则,， 所以窗户的周长, 所以， 由,得, 当 时，； 当 时，， 所以当 时，取得极小值，也是最小值，此时用料最省. 9．（13分）从旅游景点到有一条 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比，其他费用为每小时3 240元，游轮最大时速为，当游轮速度为时，燃料费用为每小时60元，单程票价为150元/人. （1） 若一艘游轮单程以的速度航行，所载游客为180人，求轮船公司获利是多少？（5分） （2） 若要使游轮从景点到的总费用最低，游轮的航速为多少？（8分） 【答案】 9．解：设游轮以每小时 的速度航行，游轮单程航行的总费用为 元， 因为游轮的燃料费用每小时 元， 依题意，则， 所以， （1） 当 时， （元）， 轮船公司获得的利润是（元）. （2） 因为， 所以, 令，得， 当 时，，即 在 上单调递减； 当 时，，即 在 上单调递增，故当 时，有极小值，也是最小值，所以要使游轮从景点 到 的总费用最低，游轮的航速应为. B 能力提升 10．设直线与函数，的图象分别交于点，，则当达到最小值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意知，，在 上，，则. 设函数， , 由 得，或（舍去）. 当 时，，函数在 上单调递减； 当 时，，函数在 上单调递增， 所以当 时，取得极小值，也是最小值，故. 11．如图，内接于抛物线的矩形，其中，在抛物线上运动，，在轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 则点，， 所以矩形 的面积为 ,， 由 得（负值已舍去）. 当 时，； 当 时，， 所以当 时，有极大值，也是最大值，则. 12．（15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为,高为,体积为.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/,底面的建造成本为160元/，该蓄水池的总建造成本为 元 为圆周率). （1） 将表示成的函数,并求该函数的定义域；（6分） （2） 讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.（9分） 【答案】 （1） 解：因为蓄水池侧面的建造总成本为（元），底面的建造总成本为 元, 所以蓄水池的总成本为 元. 根据题意，得 , 所以, 从而. 由 且,可得, 故函数 的定义域为. （2） 由（1）知, 故. 令,解得,（舍去）. 当 时，, 故 在 上单调递增； 当 时，, 故 在 上单调递减. 由此，可知 在 处取得极大值，也是最大值，此时, 即当,时， 该蓄水池的体积最大. C 素养拓展 13．（15分）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完. （1） 写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万件）的函数解析式；（年利润年销售收入-固定成本-流动成本）（5分） （2） 当年产量为多少万件时，小王在这一商品的销售中所获利润最大？最大利润是多少？（10分） 【答案】 （1） 解：由题意，当 时，； 当 时，， 所以年利润 关于年产量 的函数解析式为 （2） 当 时，，可得，令，解得（负值已舍去）， 当 时，；当 时，， 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以； 当 时，，当且仅当，即 时取等号,则. 所以当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为5万元. 学科网（北京）股份有限公司 $