4.1 数列课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦苏教版选择性必修一“数列”，系统梳理数列的概念、分类、表示法及单调性、周期性等性质，通过函数与数列的关联导入，搭建从函数到特殊函数（数列）的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层训练（基础、中档、拔高）与题型整合，含思维导图、例题解析及数学文化案例（如形数、冰雹猜想），以数学抽象和逻辑推理素养为核心，助力学生掌握通项求解、性质应用等方法，教师可实现一体化教学，提升教学效率与学生解题能力。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第四章 数列 4.1 数列 本节引导学生理解数列及其相关概念，了解数列是特殊的函数，能根据数列前几项归纳通项公式，会由通项求数列的项，发展数学抽象与逻辑推理素养 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括117张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 数列的概念与分类 1 数列的概念 按照一定次序（数列中的数是有序的，若组成数列的数相同但排列顺序不同， 则它们是不同的数列）排列的一列数（数可以重复）称为数列，数列中的每个数都 叫作这个数列的项．数列的一般形式可以写成，，， ，， ，简记为 （在用符号表示数列时，不能将视为一个集合），其中称为数列 的第1项或首项，称为第2项称为第 项． . . . . . . . . 4 辨析与 表示整个数列：,,， ，， 表示数列中的第 项 数列 的{}中放入所有项中具有代表性的 第项 中的 是数列中数排列的序号，指 该项在数列中的位置 注：当多个数列同时出现时，可以用,, 等分别表示 5 2 数列的分类（按项数分） 有穷数列 无穷数列 定义 项数有限的数列 项数无限的数列 表示 ，，， ， ，，， ，… 注意 在表示有穷数列时，务必把数列的末项（即有穷数列的最后一项）写出， 且末项后面不能加省略号.对于无穷数列，由于无法写出末项，因此结尾要用“…”. . . . . . . . . 6 学思用·典例详解 例1-1 [多选题] 下列说法正确的是( ) AB A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列的项可以相等 C.是有穷数列 D.，，，1， ，5，7能构成数列 【解析】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A 正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B正确. 表示一个集合，并不 是数列，故C错误.当， 都代表数时，能构成数列（数列中的各项必须是数），当 ， 中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按一定次序排列的一列 数，故D错误. . . 7 例1-2 所有素数从小到大依次排列组成的数列 是____（填有或无）穷数列，该 数列的第6项 ____. 无 13 【解析】素数有无穷多个，所以数列 是无穷数列.素数从小到大依次为 2,3,5,7,11,13， ，所以 . 点评 素数是指只能被1和其本身整除的正整数，即有且只有两个因数（1和其本身） 的正整数. 8 知识点2 数列的表示法 1 数列是特殊的函数 图4.1-1 在数列中，对于每一个正整数或，2， ， ， 都有一个数与之对应，因此，数列可以看成以正整数集 或它的有限子集,2， ，为定义域的函数 ，当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值 （如图4.1-1）.反过来，对于函数 ，如果 有意义，那么我们可以得到一个数列 ， ，， ，， .因此数列是特殊的函数. 9 2 数列表示法 —— 列表法 对于任意数列 ，其每一项的序号与该项都有对应关系，见下表： 序号 1 2 3 4 … … 项 … … 10 3 数列表示法 —— 图象法 因为数列是特殊的函数，我们可以画出对应的图象，由列表法可知，数列的图 象是一群孤立的点.一般情况下，我们用横坐标表示序号，纵坐标表示项 ，注意 横坐标是正整数.（在画图时，横轴与纵轴上的单位长度可以不同） . . . . 11 4 数列表示法 —— 通项公式法 递推公式法 通项公式 递推公式 概念 一般地，如果数列的第 项与 序号 之间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫作 这个数列的通项公式 一般地，如果已知一个数列 的第1项 （或前几项），且任一项 与它的前一 项 （或前几项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式就叫作这 个数列的递推公式 表达式 就是与 之间的对应 关系 中的项必须来自同一数 列，类似 并不是递推公式 12 通项公式 递推公式 多样性 同一个数列的通项公式在形式上并不唯一.如数列，1，,1， 的通项 公式可以为或 由此可知，通项公式不一定是 单一的式子，也可写为分段函数的形式; 类似地，同一个数列的递推公式也不唯一，此处不再举例说明 特殊性 数列的通项公式就是函数解析式. 根据项的序号，直接代入即可求 出数列中的任意项 可以根据第1项或某一项，通过一次或 多次赋值求出数列中的项 续表 13 通项公式 递推公式 特别说 明 用通项公式表示一个数列，一定 要写一个完整的等式，注意等号 用递推公式表示一个数列，除了给出 外，还要给出 的某一 （些）具体项 续表 通项公式 递推公式 联系 数列的通项公式与递推公式可以相互转化，但是在实际做题中，一般都是 由递推公式求解通项公式 注意 不是所有数列都有通项公式或递推公式 续表 15 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P135例2］ 根据数列的通项公式，分别用列表法和图象法表示下 列数列且 . （1）;（2） . 【解析】用列表法分别给出这两个数列. 1 2 3 4 5 1 3 1 3 1 2 16 它们的图象如图4.1-2（1）（2）. 图4.1-2 17 【想一想丨对比分析】 函数都有哪些表示方式？那么数列呢？ 提示 函数通常可以用列表法、图象法和解析式来表示，且并不是所有函数都有 解析式. 因为数列是特殊的函数，所以数列也可以用列表法、图象法和解析式（即通项公式） 来表示，并且不是所有的数列都有通项公式. 另外，区别于常规函数，数列还有一种常见的表示方式，那就是递推公式，且并不 是所有的数列都有递推公式. 18 例2-4 (2026·上海市宝山区检测) 数列：1，,5，,9， 的通项公式 ________________________________， _______. （形式不唯一） 【解析】该数列的通项公式可以写成， .（数列通项公 式表示形式不唯一） 所以 . 19 【想一想丨归纳总结】 怎么表示一个正负相间的数列？ 提示 如果一个数列关于 正负相间，则可以将数列表示为 ,，或以分段形式表示数列.例如：若数列 为，,,, ，则数列可以表示为 或 或 20 例2-5 [教材改编P136例3] 已知数列中，，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知 ， ， ， . 21 释疑惑 重难拓展 知识点3 数列的单调性 1 数列的单调性 名称名称 定义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 22 2 数列单调性的判断 （1）利用数列单调性的定义判断. ①作差法：比较 与0的大小. 若， 恒成立 数列 是递增数列 若， 恒成立 数列 是递减数列 若， 恒成立 数列 是常数列 23 ②作商法：比较（务必要确定 的符号）与1的大小. 的符号 与1的关系 单调性 , 递增数列 递减数列 , 递减数列 递增数列 , 常数列 24 （2）利用数列的图象直观地判断. （3）利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调.如 ，由一次函数是减函数知，数列 是递减数列.但要注意， 函数不单调时，相应的数列仍可能单调．如数列的通项公式为 ， 数列为递增数列，而相应函数在 上却不单调． 25 学思用·典例详解 例3-6 已知数列的通项公式是 ，判断该数列的单调性. 26 【解析】 （作差法） 因为 ，所以 对任意 的都成立，故数列 是递增数列. （作商法） 因为 ， 所以 ， 所以对任意的 都成立. 故数列 是递增数列. （函数性质法） .（分离常数） 由于函数在上单调递增，因此数列 是递增数列. . . 27 例3-7 已知通项公式,,,其中 则其对应 数列为递____数列；为递____数列； 为递____数列.（填“增”“减”） 增 增 减 点拨 套用对应的函数模型即可快速求解. 【解析】为单调递增函数，故 为递增数列； 在上单调递增，故 为递增数列； 在上单调递减，故 为递减数列. 28 知识点4 周期数列 1 周期数列的概念 一般地，对于数列，若都有，，且， ， ，不全相等，则该数列为周期数列，其周期为 （如数列1，2，3，1，2， 3， 是周期为3的周期数列）. 29 2 判断周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列，主要方法是通过递推公 式求出数列的前几项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律.如由递推公式 ，可推出，知数列 是以6为周期的周期数列. 30 学思用·典例详解 例4-8 (2026·广东省深圳市统考)已知数列满足,且,则 ( ) A A.2 B. C. D. 【解析】由数列满足,且,得,, ,所以数列 是周期数列,且周期为3,所以 . 31 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求数列的通项公式 例9 ［教材改编P138 T5］ 分别写出下列数列 的一个通项公式. （1）,3,,7,, ； 思路点拨 各项的符号特征； 【解析】该数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， ，是连续的正奇数，且奇数项 为负，偶数项为正，可得该数列的一个通项公式为 . 32 （2）9,99,999,, ; 思路点拨 各项能否分拆； 【解析】各项加1后，变为10,100,,, ，记此数列为，则 的一个 通项公式为，可得所求数列的一个通项公式为 . （3）3,4,3,4, ； 思路点拨 分式的分子、分母的特征； 【解析】数列的奇数项为3,偶数项为4,因此该数列的通项公式可用分段形式来表示， 可记为 也可记为 . 33 （4），，，， ； 思路点拨 相邻项的变化规律等．寻找项与项的序号之间的规律，得出一个合适的 通项公式. 【解析】这个数列的前4项分别为,,,,其分母都是序号 加上1，分子都 是分母的平方减去1，所以该数列的一个通项公式为 . （5）,,, ,…； 【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为 负，偶数项为正，所以该数列的一个通项公式为 . 34 （6）,2,,8, ,…. 观察数列的前几项的以下几个特征： 【解析】该数列的项中有的是分数，有的是整数，将各项都统一成分数为，， ， ，， ，观察可知各项分母都是2，分子都是序号的平方，所以该数列的一个通 项公式为 . 35 名师点评 常见数列的通项公式 ①数列1,2,3,4, 的一个通项公式为 ; ②数列1,3,5,7, 的一个通项公式为 ; ③数列2,4,6,8, 的一个通项公式为 ; ④数列1,2,4,8, 的一个通项公式为 ; ⑤数列1,4,9,16, 的一个通项公式为 ; ⑥数列1,,,,…的一个通项公式为 . 36 例10 如图4.1-3，第个图形是由正边形“扩展”而来的 ,则第 个图形中共有_______个顶点. 图4.1-3 37 38 【解析】 （归纳法） 当时，顶点个数为； 时，顶点 个数为；时，顶点个数为； 时，顶点个数为 ；….由此我们可以归纳，第个图形的顶点个数为 . （直接法） 观察5个图形可知，第个图形是由正 边形的每条边都 向外“扩展”一个新的正边形而得到的，故第 个图形的顶点个数为 .从而第 个图形的顶点个数为 . 39 求数列通项公式的方法 （1）熟记一些特殊数列的通项公式，如,,, , 等，掌握它们各项的变化规律，并灵活运用； （2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列， 可分别求分子、分母的通项； （3）当一个数列各项的符号出现“”“-”相间时，应把符号分离出来，可用 或 来实现； （4）当数列的奇偶项分别呈现各自规律时，考虑用分段的形式给出. 40 【学会了吗丨变式题】 1.[开放题] 已知数列1，，，，， ，则该数列的一个通项公式为 _______________________________. （答案不唯一） 【解析】根据题意，数列1，，，，， ，即1，，， ， ， ，各项的绝对值为1,,,,, ,并且原数列奇数项为正，偶数项为负， 则该数列的一个通项公式为 ． 41 图4.1-4 2.新考法 化学综合 如图4.1-4所示是一系列有机 物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑 点间的“短线”表示化学键，观察图形及相应的化 学键的个数，写出化学键的个数构成的数列的一 个通项公式. 【答案】第1个图中有 个化学键； 第2个图中有 个化学键； 第3个图中有 个化学键. 所以所求数列的前3项都是5乘以序号数加1， 因此，这个数列的一个通项公式是 . 42 题型2 数列中项的求解与判断 例11 ［教材改编P139 T5］ 已知数列的通项公式为 . （1）写出数列的第4项和第6项. 【解析】,将,分别代入即可求得与 , . . . 43 （2） 和68是该数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 【解析】令,即 , 解得或（数列中的 均为正整数）（不合题意，舍去）. 是该数列的第7项，即 . 令,即 , 解得或 . ,, 不是该数列中的项. . . 44 （3）数列 中有多少个负数项？ 【解析】,令,得 , , ,2,3,4,5,6,7,8,9, 即数列 中有9个负数项. 45 46 求指定项或判断某数是否为数列中的项的方法 1.已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项. 2.判断某数是否为数列中的项，只需令数列的通项等于此数，求出的值.若求出的 为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数列中的项. 47 【学会了吗丨变式题】 3.已知数列的通项公式为,那么 是它的( ) B A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 【解析】设是数列中的第项，则,解得或 , 应舍去，故 . 即 是它的第5项. 48 题型3 递推关系的应用 1 由数列的递推公式求数列的项 例12（1）(2025·北京师大附中期中)若数列满足 , ，则 ( ) C A.16 B.20 C.24 D.28 【解析】， ， ， . 49 （2）(2025·河南省五市重点高中模拟)已知数列满足， ，则 ____. 81 【解析】因为 ， 所以 . 50 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·山东省淄博第七中学期中)已知数列满足 ， 则 ( ) B A.34 B.42 C.46 D.64 【解析】，则，， ， ，则 . 51 2 由数列的递推公式求通项公式 例13 在数列中，，，则 ( ) A A. B. C. D. 思路点拨 由于给出的递推关系涉及相邻两项的差，故除了采用归纳法求解外，还 可以利用迭代法或累加法求解. 52 【解析】 （归纳法） （归纳法适用于选择题、填空题，在解答题中运用归 纳法得出通项公式后，还需给出严格的证明）数列的前5项分别为 , ， , , , 由此可得数列的一个通项公式为 . . . 53 （迭代法） ,, , 【易错点】注意此时，求出后要检验 , 则… . 又,所以 . . . 54 （累加法） 由题意得 , 则有 , , , , …… , 以上各式两边分别相加，得 ，即 . 因为也适合上式，所以 . 55 名师点评 作为选择题，本题也可以利用特殊值验证，如根据 ， 将代入各选项即可排除C，D，再根据,将 代入选项A,B,排除B 得答案为A．解题时既要掌握解决问题的通法，也要熟悉特殊问题的处理技巧． 56 例14 已知数列中，，，求数列 的通项公式. 思路点拨 本题中的递推关系式为，即 ，可考虑用累 乘法或迭代法求通项公式. 57 【解析】 （累乘法）， （【易错点】用累乘法时， 数列中的项不为0），即 ， ，，， ， . 以上各式两边分别相乘，得 . 又， . 也适合上式， . （迭代法） 由题意易得，则， ， ， ， ， . 又也适合上式， . . . 58 名师点评 利用累加法或累乘法求数列的通项公式时，要注意把握各项相消或相约的 规律，特别是隔项相消或相约的情况，前后应多列举几项，以利于确定需要留下的项. 59 由递推关系求通项公式的常用方法 1.归纳法.根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式，在解答 题中还需给出严格的证明. 2.迭代法、累加法或累乘法.其对应的递推关系有以下几种常见类型: （1）常数,或是可以求和的 ，使用累加法或迭 代法; （2）为非零常数,或是可以求积的 ,使用累乘法或 迭代法. 60 注意：已知递推关系求数列的通项公式的问题未必总可以使用累加法或累乘法求解， 一般地，当递推关系表示的是数列相邻两项的差或商时可使用．由一般的递推关系 求通项公式的方法将在今后的学习中逐步介绍. 61 【学会了吗丨变式题】 5.在数列中，，，则 等于( ) B A.19 B.38 C. D. 【解析】因为，所以，， ， ， 把以上各式相乘得，因此 ． 62 题型4 数列的性质及其应用 1 数列单调性的判断 例15 已知数列的通项公式为 ，判断该数列的单调性． 【解析】 （作差法）， ，则 ， 即，故数列 是递增数列． 63 （作商法）， ，则 . 又易知（这里一定要确定的符号，否则无法判断与 的大小关系）， 故 ， 即数列 是递增数列． （函数性质法） 令 ，则函数的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴为直线，所以函数在上单调递增，又 ，故数列 是递增数列． . . 64 2 利用数列的单调性求参数的范围 母题 致经典·母题探究 例16 已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，则 的取值 范围是__________． 65 【解析】 （作差法） 由数列 为递增数列，知 恒成立，即 恒成立.（分离参数，转化为恒成立问题） 而，所以，故的取值范围是 ． （函数性质法） ， 由于，且数列为递增数列，结合二次函数 的图象可得 ，注意此处不是解得 ， 故的取值范围是 ． . . . . 66 易错警示 用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意 数列的特征.要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解.需要注意的是，函数 具有单调性是相对应的数列具有单调性的充分不必要条件. 67 子题 数列的通项公式为，若数列为递减数列，则 的取 值范围是______________． 68 【解析】 由数列 为递减数列知， 对于，2， ， 恒成立，（当时，，因此 对于，2， ，恒成立，而不是对于，2， ， 恒成立） 即对于，2， ， 恒成立， 所以 . 故的取值范围是 ． . . . . 69 数列的图象即函数的图象上当，2， ， 时对 应的离散的点，而函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线 ， 结合函数图象即得若数列 为递减数列， 则，注意此处不是 即 . 故的取值范围是 ． . . 70 例17 (2026·湖南省邵东市第一中学监测)已知函数 若数 列满足,,且是递增数列，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 给什么 得什么 由得通项公式.又是递增数列，所以时， ， 即；时，.此时的取值范围为 . 求什么 想什么 求分段形式的递增数列满足的条件，需要分段处也保持递增状态，即 . 差什么 找什么 由，可得，解得或.故 的取值 范围为 . 71 名师点评 分段数列单调与相应的分段函数单调不同，除了确保各段单调外，还要使 得两段之间满足一定的条件，如本例中数列递增要满足，而若函数 递增 则要满足 ,要注意两类问题的区别. 72 解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题常利用以下等价关系： 数列递增 ； 数列递减 ． 将问题转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决； 或由数列的函数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量 的取值范围. 73 【学会了吗丨变式题】 6.数列满足，若最大，最小，则 ____． 89 【解析】 . 由于,则当时，且数列 递减; 当时，且数列 递减. 所以最小，最大，即，，故 ． 74 3 求数列的最大（小）项 例18 已知数列的通项公式是,试问数列 中有没 有最大项？若有，求出最大项和相应的序号；若没有，请说明理由. 思路点拨 判断数列的单调性，寻求数列最大项的位置，或假设 是数列的最大项， 由此列不等式组,解不等式组即可. 75 【解析】 . 当时，,即 ; 当时，,即 ; 当时，,即 . 故 ， 所以数列有最大项，最大项相应的序号为5和6，且最大项为 . 76 . 令,解得;令,解得;令,解得 . 易知,故有 ，所以数列 有最 大项，最大项相应的序号为5和6，且最大项为 . 假设中有最大项，且最大项为,则 即 77 解得 . 故数列有最大项，最大项相应的序号为5和6，且最大项为 . 求数列 的最大（小）项的方法 1.利用数列的单调性确定数列的最大（小）项．当数列不单调时，还需解不等式 （或，此时要注意 的符号）来确定数列单调的范围．需要 注意的是，解不等式或得到 的取值范围后，对数列单调范 围的确定要当心． 2.通过解不等式组来确定，即设第 项是数列的最大（小）项，则 ，求出 的正整数值即得最大（小）项，此时不必再判断 数列的单调性. 79 【学会了吗丨变式题】 7.［教材改编P139 T8］ 数列的通项公式为 ,问： （1）数列中有多少项为负数？ 【答案】由为负数，得,解得 . ,或 . 故数列中有两项为负数. 80 （2）为何值时， 有最小值？并求出最小值. 【答案】 , 函数图象的对称轴为直线 , 又,故当或时，有最小值,且最小值为 . 81 假设为最小值，则有 即 解得 . 又,故当或时，有最小值，且最小值为 . 由（1）知该数列中只有,为负值，且,故当或 时，有最小值，且最小值为 . 82 题型5 周期数列 例19 数列满足，，则 __. 【解析】 因为，结合数列的递推公式可得，， ， ，则数列是周期为3的周期数列，所以 .（寻找数列 周期需要“因地取材”，既要会“正推”，也要会“反推”） ，所以数 列是以3为周期的周期数列，所以，而，故 . 83 利用周期性求数列中的项的步骤 （1）根据数列的递推公式，写出数列的前几项，直至出现重复的项. （2）确定该数列的周期. （3）利用周期性求出指定项. 84 【学会了吗丨变式题】 8.(2025·四川省南充高级中学期中)若数列 满足 ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】数列满足，则 ， ，， ， 因此数列 是周期为4的周期数列， 所以 . 85 新考法 数学文化 数学文化在数列中的体现 课程标准中提出要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提 倡体现数学的文化价值，并要求将数学文化贯穿和融入课程内容.教材第139页【习 题4.1】的第9题体现了数学文化在课程中的融入.接下来我们初步探究一下数学文化 在数列中的体现. 86 例20 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6， 10， ，第个三角形数为.记第个边形数为 ，以 下列出了部分边形数中第 个数的表达式： 三角形数 ， 正方形数 ， 五边形数 ， 六边形数 ， … 可以推测的表达式，由此计算 ______. 1000 思路点拨 观察和前面的系数，得到规律，从而推测 的表达式，最后计 算 . 87 【解析】观察和前面的系数，可知的系数依次增加，的系数依次减少 ，设 ，观察所给表达式可得数列 的通项公式为 ，的通项公式为，则 ， 故 ， . 88 例21 (2026·福建省厦门市湖滨中学段考)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必 进入循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数6，根据上述运算法则得出 ，共 需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下:已知数 列满足为正整数， 当时，则要使得，需要___步雹程；若，则 所有可能的取值所 构成的集合 ________________. 9 ，8，10， 89 【解析】由递推公式得，当 时，则 ,即当时，要使得 需要 9步雹程. 当 时，采用倒推法，逆向操作题中的运算法则，可得数据如下表所示. 1 2 4 1 2 4 1 8 8 16 5 10 32 64 故所有可能的取值为1，8，10，64，集合 . 90 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 数列的递推关系式在高考中一般以选择题的形式出现，属于基础题，难度不大，递 推关系式问题可通过逐项代入、累加（乘）、特殊值法等方法求解. 核心素养：逻辑推理（数列的递推公式）、数学运算（数列项的求解）. 91 考向 数列递推公式的应用 例22 新情境 嫦娥二号 (2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行 深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地 球绕日周期的比值，用到数列，，， ，依此类推，其中 .则( ) D A. B. C. D. 92 【解析】 当取奇数时，由已知， ，因为 ，所以，同理可得，, ,于是可得 ，故A不正确. 当取偶数时，由已知，,因为 ，所以 ，同理可得,, ，于是可得 ，故C不正确. 因为，所以,同理可得,,,又 ,所以 ,故B不正确. 故选D. 93 （特殊值法） 不妨取，则 ， ， ，所以 ，， , ， .逐一判断选项可知选D. 命题探源 试题以“ 嫦娥二号”卫星执行探月任务为背景，以连分数为基础定义数 列，考查考生对数列的认识. 提分探源 考试时争分夺秒，对于某些选择题，可以采用排除法或者特殊值法快速 解决，这样既能节省时间，又能得到准确的答案，可谓一箭双雕. 94 高考新题型专练 1.［多选题］ 已知数列，2，，, ，则下列说法正确的是( ) AB A.此数列的通项是 B.8是它的第32项 C.此数列的通项是 D.8是它的第4项 【解析】数列，2，，， ，即，，，， ，则此数列的通项 为，故A正确，C错误；令，解得 ，故8是它的第32项，故B正确， D错误．故选 ． 95 2.［多选题] 已知数列的通项公式为 ，则( ) CD A.数列为递增数列 B. C.为最小项 D. 为最大项 【解析】对于A，,可知当时，数列 递减，当 时，数列 递减，A错误； 对于B，，，，则 ， B错误； 对于C和D，结合A选项分析 可 知为最小项，为最大项，故选 ． . . 96 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:15分钟 1.(2026·甘肃省武威市期中)已知数列，，，，， ，则 是这 个数列的( ) B A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 【解析】根据题意，该数列的通项公式 ， 由，解得，即 是这个数列的第12项． 97 2.新情境 大衍数列 (2026·浙江省金华市联考)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易 传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中 的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.大衍数列是中华传统文 化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18， 24，32，40，50， ，则此数列的第20项为( ) B A.212 B.200 C.186 D.162 【解析】由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, ，可得偶数项 的通项公式 为，则 ，即此数列的第20项为200． . . 98 3.(2026·吉林省四平市第一高级中学月考)已知数列满足, 为正整数，则 该数列的最大值是( ) B A. B. C. D. 【解析】,，且在上单调递增，在， 上 单调递减，又，所以的最大值为 . 99 4.［多选题] 下列数列 中为递增数列的是( ) BD A. B. C. D. 【解析】对于A，因为，， ,所以数列不是递增数列； 对于B，，故 ，即数列是递增 数列； 对于C，由正切函数的周期性及单调性可知，数列不是递增数列； 对于D，令，则，所以 ， 所以，即，即数列是递增数列．故选 ． 100 5.［多选题］ (2026·重庆市育才中学校期中)下列四个选项中，正确的是( ) AD A.数列的图象是一群孤立的点 B.数列1，，1，， 与数列，1，，1， 是同一数列 C.数列，，，， 的一个通项公式是 D.数列，， ， 是递减数列 【解析】对于A，由数列的通项公式以及 可知，数列的图象是一群孤立的点， 故选项A正确； 对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误； 对于C，若，则 ，不符合题意，故选项C错误； 对于D，数列，， ，是递减数列，故选项D正确．故选 ． 101 6.已知数列的通项公式是，若对任意的，都有 成立，则实数 的取值范围是__________. 【解析】对任意的，都有 ，即 恒成立（分离参数，转化为求关于 的函数 的最值），则对任意的都成立，而当时, 取到最 大值，为，所以 . . . 102 7.黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图4.1-1所示的规律拼成若干个图案，则第 2 024个图案中有白色地面砖_______块. 8 098 图4.1-1 【解析】由题得，第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块， 第3个图案中有白色地面砖14块……后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖， 所以第个图案中有块白色地面砖.当 时, . 103 8.已知数列的通项公式为 . （1）试确定和3是否为数列 中的项.若是，是第几项？ 【答案】令，即 , 解得或 （舍去）. 令,即 ， 解得（舍去）或 （舍去）. 故为数列中的第5项，3不是数列 中的项. 104 （2）试求数列 的最大项. 【答案】 可看作关于 的二次函数，由二次函数的性质 可得函数图象的对称轴为直线,又,所以时， 取到最大值,为，即最大项为 . 假设最大，则 即 解得又,所以,即最大项为 . 105 B 综合练丨高考模拟 建议时间:25分钟 9.数学文化 形数 毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形 （或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图4.1-2，数列1， 6，15，28， ，从第2项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数， 那么该数列的第8项对应的六边形数为( ) B 图4.1-2 A.91 B.120 C.153 D.190 106 【解析】从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形， 新六边形每条边上的点数比原来多一个， 因此，， ， , , ， ， ． 107 10.(2026·江苏省无锡市怀仁高级中学月考)若数列 满足 ，则 ( ) D A. B. C. D. 108 【解析】 ， 当时，可得 ； 当时，可得 ； 当时，可得 ； 当时，可得 ； 当时，可得 . 由此可知，数列 是以4为周期的周期数列． ． 109 11.已知数列满足且数列 是单调递增数列，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 数列满足且数列 是单调递增数列， 解得 .故选A． 110 图4.1-3 12.如图4.1-3，一系列椭圆 ，射线 与椭圆交于点，设，则数列 是 ( ) B A.递增数列 B.递减数列 C.先递减后递增数列 D.先递增后递减数列 【解析】把代入，可得的横坐标 ,同理可得 ，且，故 随着 的增大而减小，故选B. 111 13.若满足，且， ， 则 ________. 【解析】 由 得 ， ， ， 又，， ， 又， 当 时， . 又时，适合上式， . , 112 , 则 ， 又,则,得 . 下同方法1. 14.已知函数，数列满足 . （1）求数列 的通项公式; 【答案】由,可得 ,所以 ，解得 . 因为,所以,所以,故 . 114 （2）试判断数列 的单调性. 【答案】因为 对任意 恒成立，所以数列 是递增数列. 115 C 培优练丨能力提升 15.已知数列满足,,且对任意的有 ,则 的个位数字是( ) A A.6 B.4 C.2 D.前三个答案都不对 116 【解析】由 ①,得 ②, 得 , 所以 . 由,得,所以 , 即 . 则数列 中各项的个位数字依次为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0， ， 不难发现从的个位数字开始， 中各项的个位数字的周期为24，又 ,故 的个位数字是6. 117 $