4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

4.2.3 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列前n项和公式. 2.理解并应用等差数列前n项和的性质，能利用前n项和公式的性质求一些基本量. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.数列前n项和的概念 一般地，对于数列{an}，把_______________称为数列{an}的前n项和，记作Sn. 2.等差数列的前n项和公式 a1+a2+…+an 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 ___________ ______________ Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| (1)公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 3.等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为____. (2)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为_____. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=___，=(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1，则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项)，S偶-S奇=-an+1，=_______(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-(m+n). [提醒]　上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. nd 基础落实训练 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= (　　) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80. √ 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 (　　) A.72 B.54 C.36 D.18 √ 解析:由a4=18-a5，可得a4+a5=18，所以S8==4(a4+a5)= 4×18=72，故选A. 3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 (　　) A.112 B.51 C.28 D.18 √ 解析:由题意知，解得则S7=7a1+d=28，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　(1)已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n； 解:由题设可得 解得或 (2)在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10. 解:由题设可得 即解得 故a10=2+3×(10-1)=29. 变式拓展 解:法一　由得解得 法二　∵a1=3，an=11，Sn=35，∴35==7n，即n=5. 又11=3+(5-1)d，∴d=2. 　本例(1)中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d. |思|维|建|模| 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值 (2)利用等差数列的性质解题 针对训练 1.等差数列{an}前n项和为Sn，公差d=-2，S3=21，则a1的值为 (　　) A.10 B.9 C.6 D.5 √ 解析:法一　∵S3=21，∴3a1+d=21，∴a1+d=7，∵d=-2，∴a1=9. 法二　S3=21，∴3a2=21，∴a2=7，∵a1=a2-d，∴a1=9.故选B. 2.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7= (　　) A.-2 B. C.1 D. √ 解析:法一　设等差数列{an}的公差为d，由S9=9a1+d=9(a1+4d)=1，得a1+4d=，所以a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2(a1+4d)=，故选D. 法二　因为{an}为等差数列，所以S9==9a5=1，得a5=，所以a3+a7=2a5=，故选D. 法三　令公差d=0，则S9=9a1=1，解得a1=，所以a3+a7=2a1=. 题型(二)　等差数列前n项和的性质及应用 [例2]　在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 √ 解析:根据等差数列前n项和的性质可得 ==，解得n=10. [例3]　已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}前3m项的和S3m. 解:法一　在等差数列中，∵Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列， ∴30，70，S3m-100成等差数列，∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210. 法二　在等差数列中，成等差数列， ∴=+.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.∴S3m=210. |思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设=an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列进行求解. 针对训练 3.等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于_____.  10 解析:因为等差数列共有2n+1项，所以S奇-S偶=an+1=，即132-120=，解得n=10. 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023，-=6，则S2 025 =_______.  2 025 解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d，则-=6d=6，所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1，所以S2 025=1×2 025=2 025. 题型(三)　等差数列前n项和公式的应用 [例4]　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解:当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，经检验，当n=1时，a1=-1满足上式，故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下: 因为-an=4(n+1)-5-4n+5=4，所以数列{an}是等差数列. 变式拓展 若本例中 Sn=2n2-3n变为Sn=2n2-3n-1，该如何求解? 解:∵Sn=2n2-3n-1　①， 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2， 当n≥2时，=2(n-1)2-3(n-1)-1　②， ①-②得an=Sn-=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5， 经检验当n=1时，a1=-2不满足上式，故an=故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列. |思|维|建|模| 由Sn求得通项公式an的特点 　　若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列. 针对训练 5.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是____.  -1 解析:∵Sn=n2+2n+1+λ，∴1+λ=0，∴λ=-1. 解:当n=1时，S1=a1=12；当n≥2时，∵Sn=13n-n2，∴Sn-1=13(n-1)-(n-1)2，∴an=Sn-Sn-1=14-2n(n≥2，n∈N*).当n=1时，a1=14-2=12满足上式，故{an}的通项公式为an=14-2n. 6.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=-n2+13n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证:数列为等差数列. 解:证明:设bn==13-n，其中b1=12，∴bn+1=13-(n+1)=12-n.∴bn+1-bn=12-n-13+n=-1，即数列是首项为12，公差为-1的等差数列. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ 解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，所以λ=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是 (　　) A.-4 B.-3 C. D.3 √ 15 解析:因为S17===17a9=340，所以a9=20，又a8=17，所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，S5=5S3-5，则S4= (　　) A.4 B.-2 C.3 D.-1 √ 15 解析:记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5，整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= (　　) A.27 B.45 C.81 D.18 √ 15 解析:由等差数列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，可得2(S6-S3)= S3+S9-S6，即2×(36-9)=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=67，则a3a12是{an}中的 (　　) A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项 √ 15 解析:设公差为d，则解得所以an=n，则a3a12=3×12=36，令an=36，则n=36，所以a3a12是{an}中的第36项.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=(　　) A. B. C. D. 15 解析:由已知得=，可设Sn=kn(3n+5)，Tn=kn(4n+6)，则a7=S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则(　　) A.a4=5 B.S20=300 C.S31=720 D.n为奇数时，Sn= 15 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由an+1+an=3n，则an+2+an+1=3(n+1)，两式作差，得an+2-an=3，a1=1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an=n-；a2=2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正确；S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =+=300，B正确；S31=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a30) =+=721，C错误；n为奇数时，Sn=+ =+=，D正确.故选ABD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3=2，且S6=30，则S9=______.  15 126 解析:由已知可得解得∴S9=9a1+d=-90+36×6=126. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且=3，则=___.  15 解析:由等差数列性质可得==3，解得=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y=2x-3的图象上，则数列{an}的通项公式an=_______.  15 4n-5 解析:依题意得=2n-3，即Sn=2n2-3n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3，设其公差为d，则d=4，所以an=4n-5(n∈N*). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知数列{an}中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，-an= 2+cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100=_______. 15 5 050 解析:当n为奇数时，-an=1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；当n为偶数时，-an=3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以S100=(a1+a3+…+a99)+ (a2+a4+…+a100)=50×1+×1+50×2+×3=5 050. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且+4an-8Sn=0，则an=______.  15 4n 解析:因为+4an-8Sn=0　①，所以当n=1时，+4a1-8S1=0，即+4a1-8a1=0，所以-4a1=0，解得a1=0或a1=4.又因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=4.当n≥2时，+4an-1-8Sn-1=0　②， ①-②，得(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 又因为数列{an}的各项均为正数，所以an-an-1-4=0，即an-an-1=4，所以数列{an}是等差数列，所以an=4+(n-1)×4=4n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) 15 解:设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.(5分) 解:由(1)可知an=3-2n，所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0， 解得k=7或k=-5.又k∈N*，故k=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足Sn=(an+2)2. (1)求证:数列{an}是等差数列；(7分) 15 解:证明:由Sn=(an+2)2，得Sn+1=(an+1+2)2， 所以an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2，整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0. 因为an+an+1>0，所以an+1-an=4，即数列{an}为等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若bn=an-30，求数列{bn}的前n项和Tn.(8分) 15 解:因为S1=(a1+2)2，所以a1=(a1+2)2，解得a1=2， 所以an=2+4(n-1)=4n-2，所以bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31. 因为bn+1-bn=2，所以{bn}为等差数列. 又b1=-29，所以Tn===n2-30n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(15分)已知公差不为0的等差数列{an}，=a1a13，a3+a6+a9=153.记bn=[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) 15 解:设等差数列{an}的公差为d，则=a1(a1+12d)，又a3+a9=2a6，故3a6=153，即a6=51，所以a1+5d=51，解得d=10或d=0(舍去)，a1=1，所以数列{an}的通项公式为an=1+10(n-1)=10n-9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求数列{bn}前101项和.(9分) 15 解:由题意得bn=[lg an]=[lg(10n-9)]，令an=10n-9≥1 000得n≥100.9， 令an=10n-9≥100，解得n≥10.9，令an=10n-9≥10，解得n≥1.9. 当n=1时，a1=10n-9=1，故b1=[lg a1]=0， 当2≤n≤10时，bn=[lg an]=1， 当11≤n≤100时，bn=[lg an]=2，当n=101时，bn=[lg an]=3， 设{bn}的前n项和为Tn，所以T101=0×1+1×9+2×90+3=192. $$