4.3.3 等比数列的前n项和（第1课时）（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过问题驱动导入，从等比数列定义及通项公式出发，引导学生用错位相减法推导公式，构建“定义-通项-求和”的知识支架，衔接前后知识脉络。 亮点在于注重数学思维与语言，通过错位相减推导培养逻辑推理，分类讨论q=1与q≠1情况，例题分层（如例1基础运算、例5分组求和）且含高考题型，课堂小结清单化。学生能提升运算推理能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

4.3 等比数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.3.3 等比数列的前n项和（第1课时） 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 掌握等比数列的前n项和公式及其证明思路. 会用错位相减法求数列的和．(重点、难点) 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 已知等比数列 {an} 的第1项 a1 和公比 q，如何求出它的前 n 项和 Sn? 根据等比数列的通项公式，这个等比数列就是a1，a1q，a1q2，···，a1qn－1，···， 所以它的前 n 项和是Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1. ① ①式等号右边的每一项是它前一项的 q 倍，根据这个特点，在上式两边同乘以 q，得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn. ② ①－②，得 (1－q)Sn＝a1－a1qn. 错位相减法 新知探究 所以，当 q≠1 时， ( q≠1) 根据等比数列的通项公式 an＝a1qn－1，又可得到 显然，当 q＝1 时，Sn＝na1. ( q≠1) 新知探究 典例分析 方法技巧 解题的关键： 在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二” 例 1 在等比数列{an}中， (1)已知a1=-4，公比q= ，求前10项和S10； (2)已知a1=1，ak=243，q=3，求前k项和Sk． 解：(1)a1=-4，公比q= ，则 (2)a1=1，ak=243，q=3，则 ． 教材P150 例题 设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S3= ，S6= ，求an． 解：设等比数列{an}的公比为q,若q=1，则S6=2S3， 这与已知 ， 是矛盾的， 所以q≠1， ， ， 将上面两个等式的两边分别相除，得1+q3=9， 解得q=2， ，故 ． 典例分析 例 2 方法技巧 解题的关键： 在等比数列的通项公式与前 n 项和公式中，共含有 a1，q，n，an，Sn 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出其余的两个量. 教材P150 例题 6 例3.求数列 ， ， ，…， ，…的前n项和Sn． 解：由题意， 可得 = = = ． 典例分析 教材P151 例题 7 1.某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( ____ ) A.1.14 B.1.15 C.11×(1.15-1) D.10×(1.16-1) 【解：由题意，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年产值就是1+10%， 即1.1第二年又比第一年增加10%，所以第二年产值是(1+0.1)(1+0.1)=(1+0.1)2， … 依此类推，第五年产值是(1+0.1)5，所以从今年起到第五年，这个厂的总产值(1+0.1)+(1+0.1)2+…+(1+0.1)5=11×(1.15-1) 故选：C． C 教材P151 练习 8 2.求下列等比数列的各项和： (1)1，3，9，…，2187； (2)1，- ， ，- ，…，- ． 解：(1)∵数列首相a1=1，公比q=3，由an=2187得n=8 ∴S8= =3280， (2)∵数列首相a1=1，公比q=- 由an=- 得n=10 ∴S10= = ． 教材P151 练习 9 3.根据下列条件，求等比数列{an}的前n项和Sn： (1)a1=3，q=2，n=6； (2)a1=-1，q=- ，n=5； (3)a1=8，q= ，an= ； (4)a2=0.12，a5=0.00096，n=4． 解：(1)由等比数列的求和公式可得，S6= =189 (2)由等比数列的求和公式可得，S5= = ， (3)由a1=8，q= ，∴an=8× = ，故n=5， = ， (4)∵a2=0.12，a5=0.00096，∴ = ，∴q= ，a1=1.2，S4= = 教材P151 练习 10 4.在等比数列{an}中， (1)已知a1=16，n=6，an= ，求q和Sn； (2)已知a1=2，n=3，Sn=14，求q和an； (3)已知q= ，n=6，Sn= ，求a1和an； (4)已知a1=1，an=81，Sn=121，求q和n. 解：(1) ，所以q= ，所以Sn= = ； (2)由题意公比显然不为1， =14，解得q=-3或q=2， 所以 或 ； (3)S6= ，解得a1=24，所以an= = ． (4)因为a1=1，an=81，Sn=121，所以 ，所以 ． 教材P151 练习 11 5.求和 (3+2k)． 解： (3+2k)=(3+21)+(3+22)+…+(3+210)， =30+ =30+2046=2076． 教材P151 练习 12 等比数列前n项和公式的理解 题型一 题型探究 1.［江苏南通部分学校2025高二期中联考］已知正项等比数列的前项和为， , ，则 ( ) B A.85 B.62 C.32 D.31 解析 根据题意设等比数列的公比为 ，由,得， 故 ,因此，解得（负值舍去），所以 . 故 .故选B. 2.等比数列的前项和，其中是常数，则 ( ) B A. B. C.1 D.2 解析 当时，.当 时， ，化为，对于上式 时也成立， ，解得 .故选B. 3.［江苏无锡一中2024高二月考］设正项等比数列的前项和为，若 ， ，则 ( ) A A.9 B.8 C.7 D.6 解析 因为是正项等比数列，所以，且 , 则可化为，解得或 （舍）. 设等比数列的公比为 ，则，得 , 所以 ，则 .故选A. 等比数列前n项和公式的理解 题型一 题型探究 14 等比数列前n项和公式应用的基本量思想 题型二 题型探究 4.［江苏苏州实验中学2024高二质量检测］记为等比数列的前项和，若 , ，则 ( ) C A. B. C.32 D. 或32 解析 设等比数列的公比为 ，由题意知.由得，则， 所以，即 .因为，所以 ， 所以 ，故选C. 5.［江苏南京、镇江、徐州2025高二联考］记为等比数列的前项和，若, ， 则 ___. 等比数列前n项和公式应用的基本量思想 题型二 题型探究 解析 设等比数列的公比为，因为，所以由得，即 ，解得 ，所以 . 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量，，，， ，一般 可以“知三求二”，通过列方程（组）求解. 归纳总结 16 等比数列前n项和公式应用的整体思想 题型三 题型探究 6.［江苏南京一中2025段考］已知等比数列 的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的2倍， 则 的值为( ) A A.1 B.2 C. D.3 解析 设等比数列的公比为，由题可知 ,又前6项和 ，故 .故选A. 7.［江苏南京外国语学校2025高二月考］在等比数列中，，其前 项和为 ，且是和的等差中项，则 ( ) A A.10 B.15 C.18 D.20 解析 设等比数列的公比为，若，则等比数列 为摆动数列， 这与矛盾，故 ， 根据题意得，则，解得或 （舍）. 则 .故选A. 等比数列前n项和公式应用的整体思想 题型三 题型探究 18 错位相减法求和 题型四 题型探究 8.设是数列的前项和，已知，， ，则数列 的前项和 ( ) B A. B. C. D. 解析 因为，所以当时， ，所以 ，即，又，， ，所以 是等比数列，首项和公比都是3，所以，所以 ，则 ，所以 ， 两式相减得 ， 所以 故选B. 9.已知数列的前项和为，且满足 ，等差数列满足， . （1）求数列, 的通项公式； 【解】由得，即 . 当,时，由得 ， 两式相减，得，则 ， 故数列是以2为首项，为公比的等比数列，即 . 设等差数列的公差为 ， 因为，所以，得，因此 . 错位相减法求和 题型四 题型探究 20 （2）设，求数列的前项和 . 错位相减法求和 题型四 题型探究 [解] 由（1）可知， ，所以 . 设数列的前项和为 ， 则 ， ， 两式相减，得 ，则 ， 因此 . 21 利用等比数列求和公式忽视q=1的情况而致错 题型五 题型探究 10.（多选）已知等比数列的前项和为，且，，则 的值可能是( ) AC A.35 B. C. D.1 解析 设等比数列，则有，即 ， ， 即，解得或 . 当时，，故 ； 当时，，.故选 . 易错警示 由于等比数列的前项和公式中，当公比时， ， 因此涉及等比数列求和时要注意分类讨论， 本题求解的易错之处是忽视 时的情况而失解. 忽略分类讨论而致错 题型六 题型探究 11.设数列的前项和为，，且数列 是以2为公比的等比数列. （1）求数列 的通项公式； 【解】，且数列是以2为公比的等比数列， . 当时， ； 当时， ，不符合上式. （2）求 . [解] 数列，， ， 是以2为首项，4为公比的等比数列， . . 易错警示 根据求时易忽略对 时的情况的讨论，导致求解第（2）问 时出错. 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列中与前n项和有关的基本运算. (3)分组求和法. 2.方法归纳：公式法、错位相减求和法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错. 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $