3.2.1 双曲线的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦高二苏教版选择性必修一“双曲线的标准方程”，涵盖定义、焦点位置判断、直线与双曲线位置关系及焦点三角形等核心知识，通过对比椭圆知识导入，以思维导图为支架衔接前后内容。 其亮点是分层训练（基础到拔高）、高考例题及数学建模（如苗圃运输、轮船航道问题），结合数学思维（推理焦点三角形公式）与数学语言（建模表达现实），培养学生运算能力与应用意识，教师可借助一体化资源提升教学效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节学习双曲线的定义与标准方程，区分焦点在x轴、y轴的两种方程形式，能够结合已知条件求双曲线方程，运用数形结合思想，提升解析几何的运算求解能力。。 3.2.1 双曲线的标准方程 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括119张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 双曲线的定义 双曲线 平面内到两个定点， 的距离之差的绝对值等于常数 （小于 的正数）的点的轨迹叫作双曲线 焦点 两个定点， 叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 知识剖析 双曲线定义的集合表示 设双曲线的两个焦点<m></m>，<m></m>，<m></m>是双曲线上任一点，则双曲线的定义可用集合语 言表示为：<m></m>,<m></m>. . . . . 教材帮 返回目录 4 对“距离之差的绝对值”的理解 距离之差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，若<m></m>，<m></m>分别表示双曲线的 左、右焦点，则有以下两种情形： 图3.2.1-1 图3.2.1-2 ①若点满足,则点 在左支上，如图3.2.1-1; ②若点满足,则点 在右支上，如图3.2.1-2. 教材帮 返回目录 5 对“小于<m></m>的正数”的理解 当 时 动点轨迹是以 为端点向右 延伸的一条射线 当 时 动点轨迹是以 为端点向左 延伸的一条射线 动点轨迹不存在 动点轨迹是线段 的垂直平分线 教材帮 返回目录 6 学思用·典例详解 例1-1 (2026·北京市第五中学期中)已知点，，动点 满足 ，当为3和5时，点 的轨迹分别是( ) D A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 教材帮 返回目录 7 【解析】依题意得 ， 当 时， 因为 ，（本题易忽视双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”从而致 错） 故点 的轨迹为双曲线的右支； 当 时， , 故点 的轨迹为一条射线. . . 教材帮 返回目录 8 知识点2 双曲线的标准方程 1 双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 焦点坐标 , , ,, 的关系 教材帮 返回目录 9 焦距 相同点 大小和形状完全相同 不同点 标准方程中和 位置不同，且图象焦点位置不同 续表 解疑释惑 双曲线的定位条件 焦点<m></m>,<m></m>的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟 着正项走”，即若<m></m>的系数为正，则焦点在<m></m>轴上；若<m></m>的系数为正，则焦点在<m></m>轴上 教材帮 返回目录 10 <m></m>，<m></m>，<m></m>的几何意义 在双曲线的标准方程中，因为<m></m>,<m></m>,<m></m>三个量满足<m></m>,所以长度分别为<m></m>,<m></m>, <m></m>的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为<m></m>的线段是斜边，如图3.2.1-3所示. 图3.2.1-3 教材帮 返回目录 11 2 双曲线与椭圆定义、标准方程的比较 椭圆 双曲线 定义 标准方程 或 或 ,, 的关系 最大 最大 教材帮 返回目录 12 学思用·典例详解 例2-2 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点 在该双曲线上，若 ，则 ______. 7或3 【解析】在双曲线中，，， 在双曲线的左支或右支 上，由双曲线的定义可得，或 ． 例2-3 (2026·江西省南昌县莲塘第一中学月考)已知双曲线 的焦距等于4， 则实数 的值为___. 1 【解析】由题意知，,则,解得 . 教材帮 返回目录 13 例2-4 已知的顶点,,内切圆的圆心在直线 上,则顶点 的轨迹方程是_ _________________. 【解析】设与内切圆的切点分别为,,,且,,分别在,,上. ， 又内切圆圆心在直线上，所以,, ,所以 . 根据双曲线定义,顶点的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支除去点 ,设双曲 线的标准方程为,则,,则 ,所以顶 点的轨迹方程为 . 教材帮 返回目录 14 知识点3 直线与双曲线的位置关系 将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去或得到关于或 的一元方程.#1 二次项 系数 方程根的情况 直线与双曲线的位置关系 图示 二次项 系数等 于零 一元方程有唯一实数 根 直线与双曲线有唯一交点，直 线与双曲线相交 一元方程无实数根 直线与双曲线没有交点，直线 与双曲线相离 教材帮 返回目录 15 二次项 系数 方程根的情况 直线与双曲线的位置关系 图示 二次项 系数不 等于零 根的判别式 ,方 程有两个不相等的实 数根 直线与双曲线有两个交点，直 线与双曲线相交 根的判别式 ,方 程有两个相等的实数 根 直线与双曲线有唯一交点，直 线与双曲线相切 根的判别式 ,方 程无实数根 直线与双曲线无交点，直线与 双曲线相离 续表 教材帮 返回目录 16 学思用·典例详解 例3-5 已知双曲线，过点作直线,若 与该双曲线只有一个公共点, 则这样的直线条数为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 教材帮 返回目录 17 【解析】当直线 斜率不存在（切勿忽略直线斜率不存在的情况）时，则直线 . 与双曲线方程联立，可解得 ，符合题意. 当斜率存在时，设的方程为，由 整理可得 ， 当，即或时，直线 与双曲线只有一个公共点； 当时，令，则 ，解得 . 故过点 有4条直线与双曲线只有一个公共点. . . 教材帮 返回目录 18 释疑惑 重难拓展 知识点4 双曲线的焦点三角形 对教材第101页【习题3.2（1）】第10题的深挖. 如图3.2.1-4，是双曲线上任意一点，, 分别是双曲线的左、右焦 点，当点,, 不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形. 图3.2.1-4 设 ,则, . 教材帮 返回目录 19 证明：由双曲线的定义及余弦定理得， ①, ②. 由得 ， 则 . 又 ， 从而 . 教材帮 返回目录 20 学思用·典例详解 例4-6 (2026·云南省曲靖市会泽县实验高级中学期中)已知, 为双曲线 的左、右焦点，点在上，,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】将双曲线 的方程化为标准方程,（注意原双曲线方程右端为2） 得.因为,所以， .由题可知 ,又，所以, . 由余弦定理（与焦点三角形相关的问题，注意结合正、余弦定理解题）可知, . . . . . 教材帮 返回目录 21 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 方程表示双曲线的条件 例7 [教材改编P101 T8] 已知,当 为何值时， （1）方程表示双曲线? 【解析】若方程表示双曲线， 则或 解得或 . 方法帮 返回目录 22 （2）方程表示焦点在 轴上的双曲线? 【解析】若方程表示焦点在轴上（注意方程等号右端为,因此当焦点在 轴上时， 对应的分母应小于0）的双曲线， 则解得 . （3）方程表示焦点在 轴上的双曲线？ 【解析】若方程表示焦点在 轴上的双曲线， 则解得 . . . 方法帮 返回目录 23 方程 表示双曲线的条件 只有 时，方程才表示双曲线. 若则双曲线的焦点在 轴上； 若则双曲线的焦点在 轴上． 方法帮 返回目录 24 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·黑龙江省海伦市第一中学月考)“方程 1表示双曲线”的一个充分不 必要条件是( ) D A. B.或 C. D. 【解析】若方程表示双曲线，则,解得 或 . 要求“方程 表示双曲线”的一个充分不必要条件，只需找出集合 或 的一个真子集. 结合选项，能推出或,而或不能推出 ， “方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是 . 方法帮 返回目录 25 题型2 求双曲线的标准方程 1 待定系数法 例8 ［教材改编P100 T2］ 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）焦点分别为，,且经过点 ; 【解析】 双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线的标准方程为 . 由题意知， ①. 又点，在双曲线上， ②. 由①②解得， , 所求双曲线的标准方程为 . 方法帮 返回目录 26 （2），经过点 ； 【解析】当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点 的坐标代 入，得,不符合题意；当焦点在 轴上时，设所求标准方程为 ，把点的坐标代入，得 . 故所求双曲线的标准方程为 . 方法帮 返回目录 27 （3）过点, . 【解析】设双曲线的方程为, . （当双曲线的焦点位置不确定时，设此方程可避免讨论） 点， 在双曲线上， 解得 故双曲线的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 28 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 方法帮 返回目录 29 【学会了吗丨变式题】 2.焦点分别为,且经过点 的双曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】 双曲线的焦点在 轴上， 设双曲线的标准方程为 . 由题意知， ①. 又点在双曲线上， ②. 由①②解得， , 所求双曲线的标准方程为 . 方法帮 返回目录 30 2 利用共焦点求双曲线方程 例9（1）设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 的纵 坐标为4，则此双曲线的方程为_ __________. 方法帮 返回目录 31 【解析】 设双曲线的方程为，（焦点在轴上） 由题意知， . 又点的纵坐标为4，则横坐标为 ， 于是有 解得 所以双曲线的方程为 . . . 方法帮 返回目录 32 将点的纵坐标代入椭圆方程得,又两焦点分别为 ， ， 所以 ，即 ，，所以双曲线的方程为 . 由题意设双曲线方程为，将 代 入得，或（舍去），所以所求双曲线的方程为 . . . . . 方法帮 返回目录 33 （2）已知双曲线与双曲线有相同的焦点，且经过点 ,则双曲 线 的标准方程为_ __________. 方法帮 返回目录 34 【解析】 焦点相同， 设所求双曲线的标准方程为 , ,即 ①. 双曲线经过点, ②. 由①②得, , 故双曲线的标准方程为 . 设所求双曲线的方程为 . 双曲线过点, , 解得 . 故双曲线的标准方程为 . 方法帮 返回目录 35 共焦点双曲线方程的设法 1.与椭圆 有公共焦点的双曲线方程为 . 2.与双曲线 有公共焦点的双曲线方程为 . 方法帮 返回目录 36 【学会了吗丨变式题】 3.[教材改编P100习题3.2（1）T6] 与椭圆共焦点且过点 的双 曲线的标准方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】椭圆的焦点坐标为， ，可设双曲线方程为 ，则解得 双曲线的标准方程为 ．本题也可通过先判断焦点位置排除C，D，再代入验证排除 方法帮 返回目录 37 题型3 双曲线定义的应用 1 与焦点三角形有关的问题 母题 致经典·母题探究 母题探源 双曲线中的焦点三角形问题 在焦点三角形 问题中，多是求解焦点三角形的面积，而解题的关键是求得 , 的关系式，我们可以利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理，如果焦点三 角形是直角三角形，我们还可以利用勾股定理得到, 的关系式.若在客观题中， 我们可以利用前面得出的公式：， . 一般我们不直接求解出,,而是根据需要，把,, 看 作一个整体来处理. 方法帮 返回目录 38 例10 ［教材改编P101 T10］ 设,是双曲线的两个焦点， 为坐标 原点，点在上且，则 的面积为( ) B A. B.3 C. D.2 方法帮 返回目录 39 【解析】 设,分别为双曲线的左、右焦点，则由题意可知 , ， 又，所以，所以 是直角三角形（直角三角形斜边中 线等于斜边一半），所以 . 不妨令点在双曲线的右支上，则有 ，两边平方，得 ， 又，所以 ， 则 ，故选B. 设,分别为双曲线的左、右焦点，则由题意可知, ，又 ，所以，所以 是直角三角形， 所以 ，故选B. . . 方法帮 返回目录 40 子题 子题1 (2026·江西省贵溪市实验中学月考)设,是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且，则 的面积等于( ) C A. B. C.24 D.48 【解析】由双曲线定义可知，由当题目条件给出, 的比例关系时，一般可以与定义相结合求出,可得, ,又 ,则为直角三角形，故的面积为 . . . . . 方法帮 返回目录 41 子题2 已知,分别为双曲线的左、右焦点，点在 上， ,则 ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 设, , 则 （余弦定理） ,即 . . 方法帮 返回目录 42 【学会了吗丨变式题】 4.(2024·天津)已知双曲线的左、右焦点分别为，， 是 双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是面积为8的直角三角形，则双 曲线的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可得 ，根据双曲线定义，得, ， ，又，所以 ，所以 .又，所以 ，又 ，所以，所以双曲线的方程为 ，故选C. 方法帮 返回目录 43 2 最值问题 例11（1）(2026·甘肃省兰州市外国语高级中学期末)为双曲线 右支上一 点，，分别是圆和上的点，则 的最 大值为___. 5 【解析】双曲线的两个焦点, 分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别 为,,易知,,故 的最大值为 . 方法帮 返回目录 44 （2）已知,分别为双曲线的左、右焦点，，点 在双曲线的右 支上，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为,所以要求 的最小值，只需求 的最小值. 图3.2.1-5 如图3.2.1-5，连接交双曲线的右支于点 . 当点位于点处时， 最小，最小值为 . 故的最小值为 . 方法帮 返回目录 45 知识拓展 点与双曲线位置关系的判断 双曲线是一个开放的图形，平面内点和双曲线 的位 置关系如下： （1）若,则点 在双曲线上； （2）若,则点 在双曲线内（双曲线两侧）； （3）若,则点 在双曲线两支之间. 方法帮 返回目录 46 例12 已知双曲线的方程为，如图3.2.1-6所示，点的坐标为， 是圆上的点，点为其圆心，点 在双曲线的右支上，求 的最小值. 图3.2.1-6 图3.2.1-7 方法帮 返回目录 47 【解析】记点的坐标为，则点， 是双曲线的焦点，如图3.2.1-7，连接 ，，,由双曲线的定义，得 ． .（利用双曲线的定义对 进行转化， 且最值一般在三点共线时取得） 又点是圆上的点，圆的圆心为 ，半径为1，故 ，从而 ， 当点，在线段上时上式取等号，即的最小值为 ． . . 方法帮 返回目录 48 解决双曲线最值问题的思路 设双曲线方程为,, 分别为双曲线的左、右焦点， 为平面上一定点， 为双曲线右支上任意一点. （1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则 的最小 值是 ，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则 的最小 值是 ,最大值不存在. 方法帮 返回目录 49 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·河南省信阳市期中)已知是双曲线的右焦点，是 的左支上 一点，.当 周长最小时，该三角形的面积为( ) D A. B. C. D. 方法帮 返回目录 50 图D 3.2.1-1 【解析】如图D 3.2.1-1,由已知得，，则 ， .设是双曲线的左焦点，连接, ，根据双曲 线的定义有 ，所以 ，当点是线段 与双曲线的交点时，上式取等号，即 最小，即 的周长最小，此时 ， ,所以 ，进而求得 . 由余弦定理得 ，即 ，解得 ， 于是 . 方法帮 返回目录 51 题型4 直线与双曲线的综合问题 1 直线与双曲线位置关系的判定及求参 例13（1）(2026·上海市复旦大学附属中学期中)过点且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条?分别求出它们的方程. 方法帮 返回目录 52 【解析】若直线的斜率不存在（设直线方程时，应首先考虑特殊情况），则直线方 程为，此时仅有一个交点 ，满足条件. 若直线的斜率存在，设直线的方程为,将 代入到 双曲线方程，得,所以 ,即 . 当 （二次项系数为0）时，方程无解，不满足条件. 当时，方程 有一解，满足条件. 当时,令 ,化 简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和 . . . . . . . 方法帮 返回目录 53 （2）直线与双曲线相交于，两点，当为何值时，， 在双曲线的同一支上?当为何值时，， 分别在双曲线的两支上? 【解析】把代入，整理得 . 当时， . 由得且 ，此时有两解，直线与双曲线有两个交点. 若，在双曲线的同一支上，需，所以或 ，故当 或时，, 两点在同一支上. 若,分别在双曲线的两支上,需,所以，故当 时，， 两点分别在双曲线的两支上. 方法帮 返回目录 54 易错警示 判断直线与双曲线的位置关系的处理方法较为“套路化”，但要注意联立 直线与双曲线方程后得到的方程的二次项系数能否为零，而且分类讨论时注意思考 问题的角度和方法，特别是运算化简过程中结论与所解决问题的对应关系，同时要 注意利用式子的特点灵活化简. 方法帮 返回目录 55 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·福建省永春第一中学期中)已知直线，“或 ” 是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 方法帮 返回目录 56 【解析】由消去得， . 当时，有，解得 ， 此时直线与双曲线 有且仅有一个公共点； 当时，令 ， 化简得，即 . 综上,当或时，直线与双曲线 有且仅有一个公共点，故“ 或”是“直线与双曲线 有且仅有一个公共点”的充分不必 要条件. 方法帮 返回目录 57 2 交点、弦长问题 例14 直线与双曲线相交于, 两点. （1）求线段 的长； 【解析】 . 方法帮 返回目录 58 （2）当为何值时，以 为直径的圆经过坐标原点？ 【解析】记坐标原点为，由题意知，，则 ，即 ， . 即 ， ， 解得 . 经检验,时，以 为直径的圆经过坐标原点. 方法帮 返回目录 59 【解析】由得 . 由题意可得, ， ，且 . 设，，则, . 方法帮 返回目录 60 方法帮 返回目录 61 求解直线与双曲线相交弦的弦长的方法 处理直线与双曲线相交弦的有关问题时，常用到根与系数的关系.直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ，，则弦 的长为 或 . 方法帮 返回目录 62 【学会了吗丨变式题】 7.斜率为2的直线与双曲线交于，两点，且，则直线 的方程为 _ _____________. 【解析】设直线的方程为，, . 把代入双曲线的方程 ， 得 , 故 ①， ②. 由已知,得 ③. 把①②代入③，解得 . 直线的方程为 . 方法帮 返回目录 63 3 中点弦问题 例15 已知双曲线，则过点，且被点平分的双曲线的弦 所在 直线的方程为________________. 方法帮 返回目录 64 【解析】 由题意可知直线的斜率存在，故可设直线方程为 , 即，由消去 ，整理得 ， 设,,所以，因为为的中点，所以 ， 即，解得，满足 ，符合题意.（注意要检验） 所以所求直线的方程为 ， 即 . 方法帮 返回目录 65 （点差法） 设弦的两端点坐标为， ， 则 由化简，得 , 将③④代入上式得，即直线的斜率为.所以直线 的方程为 ，即 . 经检验（求出方程要检验直线与双曲线是否有交点）直线 与双曲线 确实 . . 方法帮 返回目录 66 有两个交点，满足题意. 故所求直线方程为 . 名师点评 由“点差法”可得到一个重要的结论，熟练掌握这一结论可快速解决某些选 择题、填空题.结论如下： 设，是双曲线 上不同的两点，且 ，，为线段的中点，则 .因此对于本题可 由,为坐标原点，直接得出 . 方法帮 返回目录 与双曲线有关的中点弦问题的解题思路 求解与双曲线有关的中点弦问题主要利用点差法及设而不求的思想. （1）直线和双曲线相交，求弦的中点坐标，其方法有两种： ①将直线方程代入双曲线方程，整理得到关于或 的一元二次方程，应用根与系数 的关系求出中点的横（纵）坐标，代回直线方程求得另一坐标; ②应用“点差法”获得中点的横（纵）坐标的关系式，和直线方程联立,组成方程组求解. （2）已知弦的中点求直线方程，可利用点差法求得直线斜率，利用点斜式得直线方程. （3）求弦的中点轨迹方程，采用“点差法”更简单. 方法帮 返回目录 68 另外需要注意：过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使该点为弦的中点，这样 的直线一定存在，但在双曲线中，则不能确定这样的直线是否存在，要注意检验. 方法帮 返回目录 69 【学会了吗丨变式题】 8.已知双曲线上存在关于直线对称的两点,，求实数 的取 值范围. 【答案】当 时，显然不成立. 方法帮 返回目录 70 【解析】当时，由，可设直线的方程为 , 代入中，得 . , , 即 ①. 设线段的中点为，由根与系数的关系，得 点在直线上， , 即 ②. 把②代入①得,解得或 . 方法帮 返回目录 71 或 ， 即或,且 . 故的取值范围是 . 方法帮 返回目录 新考法 数学建模 例16 ［教材改编P98例3］ 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告： 正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两 个观测点晚.已知各观测点到该中心的距离都是 .试确定该巨响发生的位置 （假定当时的声音传播速度为 ，相关各点均在同一平面上）. 方法帮 返回目录 73 第一步：建系 由题干中给出的方位关系建立坐标系，并写出各观测点坐标. 第二步：分析数量 关系 由各观测点听到巨响的时间分析出巨响发生点与各观测点距离 的数量关系. 第三步：建立方程 由数量关系结合直线、双曲线的定义建立方程. 第四步：寻找联 系，得出结论 由得出的方程之间的直接或间接联系，求出巨响点的位置. 方法帮 返回目录 74 图3.2.1-8 【解析】如图3.2.1-8所示，以接报中心为原点 ，正东、正 北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，设，， 分别是正西、正东、正北方向的观测点，则点 ，， . 设为巨响发生点，连接，，,,由， 两处 同时听到巨响声，得，故点在的垂直平分线 上，的方程为 ， 点比点晚 听到巨响声， . 由双曲线的定义知，点在以， 为焦点的双曲线 的左支上. 方法帮 返回目录 75 依题意，得， ， . 故双曲线方程为 . 点在上，将代入上式中，得 . ， ， 即点 ， 故 . 巨响发生在接报中心的北偏西 距中心 处. 教材深挖POINT 教材第99页【思考】提出问题：要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢？由本题 可作出回答：要有三个观测点. 方法帮 返回目录 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考的常考内容，其中双曲线标准方程的应用多以选择题、填空题的形 式出现，试题难度不大，多为中等偏下难度，直线与双曲线的位置关系的试题，多 为解答题，难度中等偏难，考查根与系数的关系与点差法，其中设而不求思想是解 题关键. 核心素养：数学运算（标准方程的求解、三角形面积的求解等），逻辑推理 （由位置关系进行转化、列式）. 高考帮 返回目录 77 考向1 双曲线标准方程的应用 例17 (全国乙卷)双曲线的右焦点到直线 的距离为____. 【解析】由双曲线的标准方程知，则 ，双曲线右焦点 的坐标为，所以双曲线的右焦点到直线的距离 . 高考帮 返回目录 78 例18 (全国Ⅲ卷)已知是双曲线的一个焦点，点在上， 为坐标原点. 若,则 的面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以 . 设点的坐标为，则 ， 把代入双曲线方程得 ， 所以 . 高考帮 返回目录 79 考向2 直线与双曲线的位置关系 例19 (2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点在双曲线上，直线 交于,两点，直线, 的斜率之和为0. （1）求 的斜率； 高考帮 返回目录 80 思路一 第一步 通过点在双曲线 上，确定双曲线的方程 第二步 注意到,在上，利用点差法，结合斜率公式将 的斜率 用,,, 表示 第三步 利用直线,的斜率之和为0，得到,,, 之间的关系式，分析这 些关系式即可求得 的斜率 思路二 第一步 将直线和的方程联立，得到，的横坐标,与和 的关系式 第二步 利用直线,的斜率之和为0，得到,,, 之间的关系式 第三步 最后结合的方程分析得到的关系式，即可求得 的斜率 高考帮 返回目录 81 【解析】 （点差法） 由题设得,解得.所以 的方程为 . 设的斜率为,, . 当时， . 由得 , 故 . 高考帮 返回目录 82 由得 ,即 . 由得 , 即 . 同理可得 . 由得 , 即 ②. 由①②得 . 因此的斜率为 . 高考帮 返回目录 将点的坐标代入双曲线方程得，化简得 ， 得 ， 故双曲线的方程为 . 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，， ， 联立直线与双曲线的方程并整理得 ， 故， . ， 化简得 ， 故，整理得 ， 又直线不过点，即，故 . 高考帮 返回目录 84 （2）若,求 的面积. 第一步 发现直线的倾斜角与之间的关系，进而求出直线 的斜 率，得到直线 的方程 第二步 将直线的方程和的方程联立，求出 第三步 最后求出，和,进而得到 的面积 高考帮 返回目录 85 【解析】不妨设直线的倾斜角为，设直线 的倾斜角为 , 因为 ,所以，即 ,则 ， （若,在双曲线左支或,在双曲线右支且均在 的右侧的情况存在，此时可得 ，但求得 ，与渐近线斜率相等，故不存在此两种情况） 所以 ， 解得或 （舍去）， . . 高考帮 返回目录 86 由得 ， 所以 ， 同理得 ， 所以 . 因为，所以 ， 故 . 高考帮 返回目录 高考新题型专练 1.[多选题] (2026·上海市华东师范大学第二附属中学期中)已知曲线 ， 则( ) ACD A.若,则是椭圆，其焦点在 轴上 B.若，则是圆，其半径为 C.若，则 是双曲线 D.若,，则 是两条直线 高考帮 返回目录 88 【解析】对于A，若，则可化为,因为 ， 所以，即曲线表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时曲线 表示圆心在 原点，半径为 的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线 表示双曲线， 故C正确； 对于D，若,，则可化为，，此时曲线 表 示平行于轴的两条直线，故D正确.故选 . 高考帮 返回目录 89 2.[多选题] 已知点在双曲线 上， ，分别是双曲线的左、右焦点，若 的面积为20，则( ) BC A. B. C.点到轴的距离为4 D. 高考帮 返回目录 90 【解析】由题意得，，，则 ，由双曲线的定义可 知， ，故A错误； 设点，则 ， ，故C正确； 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得 ，由 双曲线的定义，得， ，故B 正确； 由余弦定理得， ， ，故D错误．故选 ． 高考帮 返回目录 91 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:25分钟 1.[教材改编P101 T8] 若曲线表示双曲线，则实数 的取值范围为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意，若曲线表示双曲线，则有 ，解 得，即的取值范围是 ． 返回目录 92 2.(2026·广东省广州市培英中学期中)已知双曲线的焦距为4，则 等于 ( ) C A.1 B. C.4 D.10 【解析】根据题意可知，双曲线的标准方程为 . 由双曲线的焦距为4，得 ， 则有，解得 . 返回目录 93 3.已知在双曲线左支上有一点到右焦点的距离为18，是线段 的 中点，为坐标原点，则 等于 ( ) A A.4 B.2 C.1 D. 【解析】如图D 3.2.1-1，设双曲线的左焦点为，连接,分别是线段 ， 的中点，.又 ， ， ． 图D 3.2.1-1 返回目录 94 4.已知双曲线的两个焦点,, 是此双曲线上的一点，且 , ,则该双曲线的方程是( ) A A. B. C. D. 【解析】, ， , , ,，故所求双曲线的方程为 . 返回目录 95 图3.2.1-1 5.新情境 双曲面建筑 (2026·江苏省徐州市期中)许多建 筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力， 数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图3.2.1-1（1） 是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型 建筑，图3.2.1-1（2）是其中截面最细附近处的部分图象， B A.10米 B.20米 C.米 D. 米 上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径 米， 与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于 ，则最细部分处的 直径为( ) 返回目录 96 【解析】建立如图D 3.2.1-2所示的坐标系， 图D 3.2.1-2 由题意可知，，设双曲线方程为 ， 解得 故 ，故选B． 返回目录 97 6.(2026·四川省眉山市期末)已知动圆与圆，圆 : 中的一个外切，与另一个内切，则动圆圆心 的轨迹方程为 _ __________. 返回目录 98 【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为 ， 由圆，可得圆心，半径 ， 由圆:，可得圆心，半径 . 根据题意，可得或 所以或 ， 可得 . 又因为，所以 ， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以,为焦点的双曲线，且, ， 所以,，则 ， 所以动圆圆心的轨迹方程为 . 返回目录 99 7.若椭圆与双曲线 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点 . （1）求椭圆与双曲线的方程； 【答案】由题意，得焦点在轴上，且 ①. 又,则,,则 , 所以 ②. 联立,解得 所以椭圆与双曲线方程分别为与 . 返回目录 100 （2）若椭圆和双曲线的相同焦点为和，求 的值． 【答案】由椭圆与双曲线的定义， 得， ， 解得， . 又 ， 所以 . 返回目录 101 B 综合练丨高考模拟 建议时间:40分钟 8.直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，则直线 的斜 率为( ) B A.3 B.6 C.8 D.12 【解析】设,，又线段的中点为，则 ， ，则 两式相减得 ， 化简得 ． 由垂径定理可知，则 返回目录 102 9.(2026·河南省安阳市第一中学月考)已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为( ) D A.2 B.4 C.6 D.9 【解析】椭圆的焦点在轴上，且 双曲线 和椭圆有相同的焦点， , ，当且仅当 ，即 ,时取等号， 的最小值为9.故选D. 返回目录 103 10.[多选题] (2026·重庆市大足中学期中)已知点是双曲线 的右支上一 点，，分别是双曲线的左、右焦点， 的面积为20，则下列说法正确的 有( ) ABD A.点的横坐标为 B.的周长为 C.大于 D.的内切圆半径为 返回目录 104 【解析】易知双曲线的，， . 不妨设，， ， 由的面积为20，可得，即，由 ， 可得 ，故A正确； 由，且， ， 可得 ， 则的周长为 ，故B正确； 返回目录 105 ,结合余弦函数性质可得 ,故C 不正确; 设的内切圆半径为,可得 （等面积法）， 可得，解得，故D正确．故选 ． . . 返回目录 11.(2026·黑龙江省牡丹江市第一高级中学期中)如图3.2.1-2,, 是椭圆 与双曲线的公共焦点,, 分别是在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形，则双曲线 的方程是_ __________. 图3.2.1-2 返回目录 107 【解析】由题可知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线 的标准方程为 ,由椭圆方程及椭圆与双曲线的定义可知 , , , 所以, . 因为四边形 是矩形， 所以 , 所以,所以 , 所以 , 故双曲线的方程是 . 返回目录 108 12.如图3.2.1-3所示，在平面直角坐标系中，， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点作圆 的切线，与双曲线左、右 两支分别交于，两点.若,则 的值为________. 图3.2.1-3 返回目录 109 【解析】由已知及双曲线的定义，得, ,连接 , 则 . 设与圆切于点，连接，则在中，, , , 于是 . 在 中，由余弦定理，得 . 于是,即 . 又，所以，解得 . 返回目录 110 13.新情境 苗圃 (2026·上海市浦东新区月考)如图3.2.1-4，某苗圃有两个入口, ， ，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏性植物，现有若干树苗放在苗圃外的 处，已知，，以所在直线为轴， 中点为原点建立直角坐标系. 图3.2.1-4 返回目录 111 （1）工人计划将树苗运送至 处，请帮助工人指出从哪个入口运送最近,并说明 理由. 【答案】由题意可得，， ， ， ， 经过口时的最短距离为 ， 经过口时的最短距离为 . 因为,所以从 入口运送最近. 返回目录 112 （2）工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口， 运输的最近距离 相等，求出点 所有可能的位置. 【答案】设点，已知 ， 可得 ， 所以点所有可能的位置是以， 为焦点的双曲线的右支在苗圃内的部分，则 ，即 ， 又因为， ， 所以点所有可能的位置是曲线 上的点. 返回目录 113 14.已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为 ，且过点 ． （1）求 的方程； 【答案】 双曲线的焦点在轴上，焦距为， 设， ， 又双曲线过点,, , , , 的方程为 . 返回目录 114 （2）若斜率为2的直线与交于，两点，且，求 的长． 【答案】设斜率为2的直线的方程为,由 得 . 设， ， ， , 由可得,得 . . 返回目录 115 C 培优练丨能力提升 图3.2.1-5 15.新考法 数学建模 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上 驶入内陆海湾进行了一次模拟试验.如图3.2.1-5，内陆海湾的入 口处有暗礁，图中阴影部分所示的区域为暗礁区，其中线段 ，，，关于坐标轴或原点对称，线段 对应 的方程为，，过 有一条航道.有一艘正在海面 上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点 处测得该 船发出的汽笛声的时刻总比在点处晚 设海面上声 速为 ，若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积），问： 返回目录 116 （1）兴趣小组观察到轮船当前的航线所在的曲线方程是什么? 【答案】设轮船所在的位置为 . 由题意可得 . ，故点的轨迹是以， 为焦点的双曲线的右支. 设点的轨迹方程为 . 则，， 兴趣小组观察到轮船当前的航线所在的曲线方程是 . 返回目录 117 （2）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由. 【答案】这艘船能由海上安全驶入内陆海湾.理由如下. 设直线的方程为 , 当时，设与双曲线右支、直线分别交于点, ,则 , . , 点在点 的左侧. 船不可能进入暗礁区. 当时,设与双曲线右支、直线分别交于点, ,则 , . 返回目录 118 , , 点在点的左侧， 船不可能进入暗礁区. 综上，在 轴上方，船不可能进入暗礁区.由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆 海湾. 返回目录 $