4.2.2 等差数列的通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列通项公式，涵盖公式推导、性质及应用。新课导入结合财务、物流等实际场景提出问题，搭建生活与数学的联系支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过累加法、迭代法推导公式培养数学思维，结合“知三求一”技巧和实际问题建模（如公司利润、气温变化），运用数学语言表达模型。跟踪训练与拓展题目强化应用，学生提升逻辑推理与建模能力，教师可高效开展教学。

第4章 数列 1 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的通项公式 2 等差数列在工作与生活中有很多应用，如在财务领域中等差数列可以 用来计算定期存款、定投、定额本息还款等，另外等差数列在物流、工程、 地理、医学、教育等领域也有着广泛应用.但是，在日常应用中，我们又如 何确定所研究的问题是与等差数列有关的呢？ 返回导航 新课导入 3 1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等差数列的通项公式 思考 试根据等差数列定义中的递推关系： ,推导数 列 的通项公式. 提示 方法一（累加法）因为 是等差数列， 所以当时， , , , … , 返回导航 7 上述式子等号两边分别相加得 ,所以.当 时，上式也 成立.所以 . 方法二（迭代法）因为 是等差数列， 所以.当 时，上式也成立.所以 . 返回导航 8 ［知识梳理］ 一般地，对于等差数列的第项 ，有①___________________. 这就是等差数列 的通项公式，其中②____为首项，③___为公差. 返回导航 9 ［例1］ （对接教材 ） （1）在等差数列中，若，则 的值为( ) A.36 B.24 C.18 D.9 解析：令的公差为 ，则 ，即 ， 则 . √ 返回导航 10 （2）已知圆的半径为5，且，过点 的2 026条弦的长度组成一 个等差数列，最短弦长为，最长弦长为 ，则其公差为( ) A. B. C. D. 解析：因为圆的半径为5，且，过点 的2 026条弦的长度组成 一个等差数列，其中最短弦长为 ，最长弦长为 ，所以等差数列的公差为 . √ 返回导航 11 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通 项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列<m></m>的通项公式<m></m>中共含有四个参数，即 <m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，如果知道了其中的任意三个数，可以由通项公式求出第 四个数，这一求未知量的过程，称为“知三求一”． 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）设是公差为正数的等差数列，若 ， ，则数列的通项公式为 ( ) A. B. C. D. 解析：选B.设公差为， ， 则 解得， ， 所以 . √ 返回导航 13 （2）已知在等差数列中，，，，则 ____. 53 解析：由题意知 解得 . 则，解得 . 返回导航 14 二 等差数列项的性质 ［知识梳理］ （1）通项公式的推广： . （2）若，则 ；特别地， 若,则 . 返回导航 15 ［例2］ （对接教材例4）已知数列为等差数列，且公差为 . （1）若，，求 的值； 【解】方法一:由题意得 解得 故 . 返回导航 16 方法二：因为 为等差数列， 所以 ， 所以 . 方法三：因为 为等差数列， 所以，， 也成等差数列， 则 ， 所以 . 返回导航 17 （2）若，，求公差 . 【解】由 ， 得 ， 所以 . 由 解得或 所以或 . 返回导航 18 等差数列项的性质的运用技巧 （1）对于<m></m>，应注意式子的结构，灵活 转化，如<m></m>. （2）有关等差数列的问题中，如果条件与结论间的联系不明显，则均可 化成有关<m></m>，<m></m>的关系列方程组求解，要注意公式的变形及整体计算，以 减少计算量． 返回导航 19 ［跟踪训练2］ 已知为等差数列，,则 ( ) A.10 B. C.15 D. 解析：选B.方法一：设等差数列的公差为 ,则 ,即 . 故 . 方法二：由等差数列的性质知,则 .故 . √ 返回导航 20 三 等差数列的实际应用 ［例3］ 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由 于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规 律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公 司经销这一产品将亏损？ 返回导航 21 【解】 设从第1年起，第年的利润为，则 , , 所以每年的利润可构成一个等差数列，且公差 ,所以 . 当时，该公司经销这种产品将亏损.由 ,得 , 故从第12年起，该公司经销这一产品将亏损. 返回导航 22 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用 的信息.若一组数按一定次序“定量”增加或减少，那么这组数成等差数列. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一 定要分清首项、项数等关键的问题. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ 在通常情况下，从海平面到 高空，海拔每增加 ，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是 ，海拔 高空的气温是，那么海拔 高空的气温是多少？ 解：设海拔高空的气温为，则 成等差数列，且 ，，设公差为 ， 则，所以 ， 所以 ， 所以海拔高空的气温是 . 返回导航 24 拓视野 构造新等差数列的相关问题 等差数列中插入 个数得到新等差数列，然后求新数列的公差、通项公 式及求新数列中的项是原数列的第几项的问题，此处对其进行探讨及研究. 返回导航 25 ［典例］ 已知等差数列，1，4，7，10， ，现在在其每相邻两项之 间插入一个数，使之成为一个新的等差数列 . （1）求新数列 的通项公式； 【解】设原等差数列为，公差为,,,则 , 则 , 因为每相邻两项之间插入一个数，则数列的公差 ， 所以 . 返回导航 26 （2） 是原数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，请说明理由. 【解】由题知数列的各项依次是数列的第1，3，5，7， 项，这 些下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列 ， 则 . 令，解得 ， 所以 不是原数列中的项. 返回导航 27 设等差数列的公差为,在中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,设其公差为 , 则,,,, , 则数列的公差 , 则数列的通项公式为 . 等差数列中的项在新的等差数列 中间隔排列，且下标是以1为首 项，为公差的等差数列 , 所以的通项公式为 , 返回导航 28 设是数列的项，令 , 若解得,则是数列的第 项； 若解得，则不是数列 中的项. 返回导航 ［练习1］ 数列与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 ，则 ____. 56 解析：易知数列与 分别是以2，3为公差，2为首项的等差数列， 则新的数列 是以2为首项，6为公差的等差数列，所以 ,故 . 返回导航 30 ［练习2］ 已知等差数列的首项为，公差为 ，若以第2项为首项， 每隔两项取出一项组成一个新的数列 . （1）证明： 是等差数列,并求其公差； 解：证明：由题意知，当时，，即数列 是等差数 列，公差为 . 返回导航 31 （2）为数列 的第几项? 解：由题意 ， 则 , 令，即 ， 即 ， 解得， , 即为数列的第 项. 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.（教材PT改编）2 024是等差数列4，6，8， 的( ) A.第1 010项 B.第1 009项 C.第1 012项 D.第1 011项 解析：选D.由，，得 ， 令，即，得 . 2.已知在数列中，， ，那么这个数列的通项公式 是( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为，所以数列 是以2为首项，3为公差的等 差数列，则， . √ √ 返回导航 34 3.已知在等差数列中,,则_ _, __. 解析：由,得,所以 ，根据等差数列的性质， 可得 . 返回导航 35 4.假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座 位.若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有____个座位. 37 解析：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为 ， 则， . 由通项公式可得解得 所以 . 故体育场该角看台的第12排有37个座位. 返回导航 36 1.已学习：（1）等差数列的通项公式. （2）等差数列中项的性质. 2.须贯通：（1）运用通项公式求基本量. （2）运用等差数列的性质求解等差数列. 3.应注意：实际问题中等差数列的建模． 返回导航 37 $