（10)·函数与导数：导数极值点大题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数极值点问题，通过9道梯度题组构建"求导分析-分类讨论-构造函数"三阶解题体系，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线方程|3题（含2024新课标真题）|导数几何意义应用，点斜式方程构建|从导数概念到切线斜率的转化，体现数学抽象| |极值点分析|6题（含2023新课标真题）|单调性判断、极值点存在条件、参数分类讨论|导数符号与函数单调性的关联，培养逻辑推理| |不等式证明|4题|隐零点代换、构造差函数、放缩法|函数性质与不等式的转化，发展数学思维|

2027届一轮复习(10)·函数与导数：导数极值点大题 我们进行 2027届一轮复习(10)·函数与导数：导数极值点大题 ，题目难度较大。一轮复习一定要做到无漏洞，加油哦！ 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题·★★★）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 2．（湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题·★★★）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，设的极大值为，求证：. 3．（江苏南京市、盐城市2026届高三下学期一模数学试卷·★★★）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 4．（重庆市巴蜀中学校2022届高三下学期适应性月考（十）数学试题·★★★）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一极大值点，且． 5．（湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题·★★★☆）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：是其定义域上的增函数； (3)若，其中且，求实数的值． 6．（北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测二数学试题·★★★☆）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 7．（河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期适应性考试·★★★☆）已知函数 (1)当时，求在区间内极值点的个数； (2)若恒成立，求的值； 8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题·★★★☆）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 9．（福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）·★★★☆）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 试卷第2页，共3页 1．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 2．(1) (2) 当时，由可得或， 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则的极大值等于； 当时，，在上单调递增，无极大值； 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 所以的极大值等于， 令，所以， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，                         综上所述，. 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可得出实数值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，求出的表达式，再利用导数证明出即可. 【详解】（1）因为 则. 由导数的几何意义可得，得. （2）略 3．(1) (2) 【难度】0.53 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数； （2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可. 【详解】（1）设直线与曲线相切于， 因为，所以切线斜率为， 所以，则，所以切点为， 又因为切点在直线上，所以， 所以． （2）， 则． 当时，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，， 所以在上单调递增， 所以不是的极值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，满足题意， 综上，的取值范围是． 4．(1)； (2)证明见解析﹒ 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值点 【分析】(1)求出f(x)的导数，求出f(1)和，根据导数几何意义和直线的点斜式方程即可求解； (2)讨论的正负，判断f(x)的单调性，从而可证明f(x)有唯一极大值点，并可求出的范围，结合和即可求出的范围． 【详解】（1）， ，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 令，得或， 设，∵在上单调递增， 且，， ∴存在唯一，使得，即， 故时，x-2<0，，，f(x)单调递增， 时，x-2<0，，，f(x)单调递减， 时，x-2>0，，，f(x)单调递增， ∴是函数的唯一极大值点； ∵，∴； 又，即， ∴ ， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 综上所述：． 【点睛】本题关键是对因式分解，构造函数，求出g(x)的零点，由此判断f(x)单调性和极值点，利用将和转化为幂函数，从而可对范围进行研究． 5．(1) (2) 由，设，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，所以对于任意的有，即， 因此在单调递增，在单调递增， 即，则， 所以时，，单调递减，所以，即，即， 时，，单调递增，所以，即，即， 所以是其定义域上的增函数. (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）首先代入到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解. （2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有，故只需要证明时，，时，即可. （3）由（2）得，进一步令，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，即切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）略 （3）由（2）可知，时，，所以，故， 令，， 由题意时，，时，， 若，则当时，，不满足条件， 所以， 而， 令，则    ， 令，得， 在单调递减，在单调递增， 若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意； 若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意； 若，则当时，，单调递增，此时， 且当时，，单调递增，此时，满足题意， 所以，解得， 综上所述，. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到在单调递增，在单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解. 6．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 7．(1)2个 (2) 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）求导，根据函数在上的单调性和导函数的单调性可求； （2）根据题意求出极大值点，进而求出的值，然后利用导数证明不等式恒成立即可. 【详解】（1）时，，因在和上都单调递增， 而在单调递增，故在和上都单调递增. 下面来探讨函数在上的单调性. ①由，当时，是减函数，又，由零点存在定理:使得. 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； ②设，则，当时，单调递增， 又，，故使得. 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又，故使得. 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 综上，函数在区间上递增，在上递减，在上递增， 故函数在上共有2个极值点. （2）因，而恒成立，故是的极大值点， 因，则，解得. 下面只需证：当时，在上恒成立即可. 因，不妨设，则， ①若时，因，故，即在上单调递减； 则，在上单调递增，，符合题意； ②若时，因，，则恒成立， 在上单调递减，故，符合题意. 综上，符合题意. 【点睛】方法点睛：导函数解决问题时两种常用的转化方法： (1)是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； (2)是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 8．（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2） 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）略 （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 9．(1)解法一：函数的定义域， 令，因为， 所以在单调递增，即在单调递增. 又. 所以存在唯一的实数，使得 ，即. 当时， ，所以单调递减； 当时， ，所以单调递增； 故为的极小值点，即有唯一的极值点； 解法二：同法1得到在单调递增. 由于 ， ， 所以存在唯一的实数，使得 ，即， 当时， ，所以单调递减； 当时， ，所以单调递增； 故为的唯一极值点. (2)（i）解法一：由（1），得. ①当时，至多一个零点，不合题意，舍去； ②当，即时， 由消去得，， 令， 因为，所以为减函数， 又因为，所以的解集为. 又在单调递增，所以. 又. 此时有两个不同的零点，即. 解法二：同法1得到 . 此时 又，则， 由零点存在性定理，存在，使得. 综上，可得. （ii）. 【难度】0.21 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）法一：，再设新函数再次求导，得到其单调性，再结合极限知识和零点存在性定理和极值的定义即可得到其唯一极值点；法二：同法一利用二次求导法，通过取值再结合零点存在性定理即可证明； （2）（i）法一：首先讨论的情况，再研究，代入隐零点得到方程组，消去，再设新函数，求导后得到其单调性，再结合零点存在性定理即可得到证明；法二：同法一消去，再设新函数，求导得其单调性，计算和即可证明； （ii）法一：利用，再设新函数，通过多次求导研究即可；法二：将代入即可得，再设新函数并求导，最后再对分三类讨论即可；法三：同法二得到，再设新函数并求导，最后对分两类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）解法一：由于，所以可化为. 令， 则 ， 设，则，则， 则，即，从而. 令，所以在单调递增， 所以，所以， 即， 所以，所以在单调递增. 所以，故. 解法二：将代入整理得 令， 当时，因为，所以， 所以，显然成立； 当时，， 令，则. 显然在单调递增，所以. ①当，则， 此时在单调递增， 所以，即. 所以在单调递增，所以， 欲使，只需，即. 即时，符合题意. ②当时，则， 又， 若，则， 又在连续， 则存在，使得，这与 矛盾； 若，则 显然不恒成立 综上，实数的取值范围为. 解法三：将代入整理得 令 ①当 时，. 又， 若，则， 又在的图象是连续不断的， 故存在，使得，这与 矛盾； 若，则 显然不恒成立 所以 时，不恒成立. ②当，因为， 令 又， 因为，所以 . 所以 所以在单调递增， 所以. 综上，实数的取值范围为. 答案第2页，共15页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $