09导数切线：公切线、多切点、切线存在性问题训练-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 以导数几何意义为核心，系统覆盖切线斜率、方程、参数、公切线等7类考点，通过三年真题与模拟题构建从基础到综合的训练体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数切线全考点|7考点+选择/填空/解答+三年真题|涵盖斜率计算、切线方程、参数求解、公切线、多切点及存在性问题|以导数几何意义为起点，从单点切线到多曲线公切线，从存在性判断到参数范围，形成递进式知识链，体现数学思维的严谨性与系统性|

培优专练+三年真题09 导数切线：公切线、多切点、切线存在性问题 【考点一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 【考点五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 【考点二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【考点六】多切点与过点切线条数问题 【考点三】求过一点的切线方程 【考点七】切线存在性与参数范围问题 【考点四】已知切线(斜率)求参数 【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 1．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 2．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是_______. 【答案】 【分析】求导即可求解. 【详解】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为： 3．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 4．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，，可得的值，再代入的解析式，可得点的坐标. （2）利用导数的几何意义求两函数在点P处的切线斜率，再利用两直线的夹角公式求两直线夹角的正切值，最后利用同角三角函数的基本关系求. 【详解】（1）由，又，得. 因为，所以，， 故可化简为，从而. 又，所以. 所以. 因此交点坐标为. （2）对求导，得. 所以在P处的切线的斜率. 对求导，得 所以在P处的切线的斜率. 两条切线夹角满足.. 代入，，得. 于是. 【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 1．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 2．（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】令，则，所以原函数变为：， 所以函数为，，则，， 即：则曲线在点处的切线斜率为2. 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 4．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 5.（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【分析】对于AB，由题可得在点处的切线方程，据此可判断选项正误； 对于CD，由题可得在点处的切线斜率，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB,当时，，有，又， 故曲线在点处的切线方程为，故错误，B正确； 对于CD，当时，，则，显然， 即曲线在点处的切线斜率为0，故C错误，D正确． 故选：BD． 6．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)对函数求导求出时的斜率后即可求出切线方程. (2)通过函数求导并分类讨论求出函数的单调区间，并通过两个零点这一前提条件求出的值. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ， 切线斜率 ，又. 故可得切线方程为. （2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾， 时，，考虑， 此时， 当时，若，则，单调递增，且 ， 由零点存在定理知其在内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点． 注意到时，，单调递减：时，，单调递增， 由唯一零点知 ，得． 当时，若，则，单调递增，且， ， 由零点存在定理知其在区间内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点， 注意到时，，单调递增； 时，，单调递减， 由唯一零点知 ，得． 综上，的取值集合是． 【题型三】求过一点的切线方程 1．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 2．（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【答案】 【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 3．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为__________. 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 4．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若，则，，设切点，此切线的斜率，求出切线方程，再由过原点，求出切线方程; (2) ,分为当时，当时，求解单调性，再由函数有两个零点，求出参数的范围. 【详解】（1）若，则，，设切点， 此切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，， 则切线方程为； （2）， ①当时，，，， 在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意； ②当时，令，解得（舍去），， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，，，，，， 所以要使函数有两个零点，则， ， 令，， 令，， 所以在上单调递增， 又因为，得到，解得． 综上所述：． 【题型四】已知切线(斜率)求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设切点的横坐标为．先利用切线斜率等于曲线在切点处的导数值求出，再利用切点同时在曲线和切线上求出参数． 【详解】设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 2．（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程为，设切线与曲线相切的切点为，得到，求得的值，进而得到答案. 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 3．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【详解】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得， 解得，，即. 4．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 【答案】 【详解】曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率， 切线方程为，即， 对比已知切线方程得， 则，故，解得， 则． 5．（2026·海南·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____． 【答案】 【分析】先求导，再根据点斜式得到在处的切线方程，再将点代入切线方程即可求出的值． 【详解】由，则，且，， 则在处的切线方程为，即， 又切线过点，则，解得． 6．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 7．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数（，且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求a的值和切点的坐标． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)，切点坐标为. 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去，再构造新函数求解即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 令 ，即，因为，所以，解得. 当时，， ，单调递增； 当时，， ，单调递减. 所以在处取得极大值，，无极小值. （2）对求导，可得 设切点坐标为，因为直线是曲线的一条切线， 所以切线斜率，且. 由得，由得. 得，即. 将代入得：， 因为，两边同时除以得. 整理得， 设 ，和均在上单调递增，故在上单调递增， 又，所以时，<，单调递减； 当时， ，单调递增 又，故，，. 因此，的值为，切点的坐标为. 【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 3．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 4．（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】设公切线与两曲线与分别相切于， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即 ， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 由题意可得 ，，即， 设，则 ， 令得．当时，； 当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时， 的图象如图所示： 由题意可知函数的图象与直线 有两个交点，因此，解得， 故选：BCD． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，，求的极值； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）由导数知识结合定义域可得极值情况； （2）由这两条切线平行可得然后两边取以为底的对数可得，据此可得答案. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且. 令，可得，或. 则在，上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. （2）由可得， 所以曲线在点处的斜率为， 由可得 所以曲线在点处的斜率为 因为这两条切线平行，故有，即 两边取以为底的对数，得 所以， 所以，结合，可得 . 【题型六】多切点与过点切线条数问题 1．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 2．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 3．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可. 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 4．（2025·湖北黄石·模拟预测）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为_____________. 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义，求过一点的函数切线，根据斜率之间的关系，列出方程，求出参数的值. 【详解】已知，则， 设切点为，切线斜率， 根据切线方程，可得， 过该点有两条曲线的切线，则有两个解，因式分解得，解得或， 所以另一个切点的横坐标为，此点切线斜率为， 此两条切线垂直，则， 令，则原方程为，化简得， 此方程只有一个正数解，则， 则， 解得，因为，即，所以. 故答案为：. 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，即可验证求解， （2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1），由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 （2）设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. 【题型七】切线存在性与参数范围问题 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； (2)若，判断的零点个数. 【答案】(1) (2)两个零点. 【分析】（1）利用导数的几何意义得到，再构造，利用导数求解其值域，最后得到取值范围即可. （2）利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解零点个数即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 因为，所以， 若存在，使得的图象在处的切线过原点， 则切线斜率，得到， 整理得，设，则， 所以在区间上单调递增，， 又，时，，故的取值范围是. （2）当时，， 则， 设，则在区间上单调递减， 且，，得到， 所以由零点存在性定理得存在，使得，即， 则，得到， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得到， 又时，，时，，故有两个零点. 2．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使得函数的图象在点的切线为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若函数的图象上存在关于点对称的不同两点，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用反证法，结合导数的几何意义，求函数在处的切线可证明满足条件的实数不存在. （2）问题转化为方程有解，利用换元法得到，再分离参数得到，设，利用导数分析函数的单调性，求其值域即可得的取值范围. 【详解】（1）不存在实数，使得函数的图象在点处的切线为.理由如下： 假设存在实数，使得函数的图象在点处的切线为. 则，所以 . 此时，，所以， 这与直线的斜率为1矛盾，故假设不成立. 所以不存在实数，使得函数的图象在点处的切线为. （2）若函数的图象上存在关于点对称的不同两点， 则方程（，且）有解. 所以， 整理得：. 设，由，且，可得， 所以 ，. 设，.则. 设，.则， 当时，恒成立. 所以在上单调递减，且. 所以当时，恒成立，所以在上单调递增. 由，当时，. 所以当时，，即 . 3．（2025·北京房山·一模）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 【答案】(1)的单调递增为；单调递减区间为. (2)由，得. 由（1）可知，， 因为， 所以存在，使. 方法一：曲线在点处的切线方程为 ，即. 下面证明：. 设，则. 当时，，所以，即. 所以在上单调递增. 因为，所以. 所以，即. 所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 方法二：由 ， 可得 . 所以曲线在处的切线的方程为， 即. 因为， 所以的方程为. 同理，曲线在处的切线的方程为. 下面证明：. 设. 所以函数在上单调递增， 因为，所以. 所以，即. 所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 【分析】（1）根据函数的极值点求得，再利用导函数的符号确定函数的单调区间即可; （2）求导得，由（1）得，计算得，，由函数单调性推出存在，使.法一：写出曲线在点处的切线方程：，根据的单调性推出可得证；法二：利用推出，写出曲线在处的切线的方程，同理得曲线在处的切线的方程，证明即可. 【详解】（1）由，得. 因为函数在处有定义，所以. 因为在处取得极值，所以， 解得，或（舍）. 当时，， . 令，解得，或（舍）. 与的变化情况如下： 0 0 极大值 所以函数的单调递增为；单调递减区间为. （2）略 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在2个零点； (3)所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求出的导数，判断得的单调性，进而可求得的最小值，通过判断其最小值的正负，即可判断其零点个数； （3）求出函数的导数，由曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解. 【详解】（1）由，得， 因为在处的切线为，即， 代入得，解得，. （2）当时，，得，令， 即，结合函数图像可知，当且仅当时，成立，即①， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 将①代入，得， 令，，所以， 所以， 又，， 所以当时，求在上存在2个零点. （3）当时，， 所以，，，， 切线方程：，即， 整理得， 令， ， 因为，， 当时，，为单调递增函数， 当时，，为单调递减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线与有3个交点， 等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 二、填空题 2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 三、解答题 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 5．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 6．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 7．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令，所以， 因为和在上单调递增，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以，则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：要证，即证，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，则， 可知在内单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 方法二：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 8．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【详解】（1），则， ， 所以，， 又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 9．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 10．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题09 导数切线：公切线、多切点、切线存在性问题 【考点一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 【考点五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 【考点二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【考点六】多切点与过点切线条数问题 【考点三】求过一点的切线方程 【考点七】切线存在性与参数范围问题 【考点四】已知切线(斜率)求参数 【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 1．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 2．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是_______. 3．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 4．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求. 【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 1．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 5.（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 6．（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【题型三】求过一点的切线方程 1．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 3．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为__________. 4．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【题型四】已知切线(斜率)求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 3．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 4．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 5．（2026·海南·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____． 6．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 7．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数（，且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求a的值和切点的坐标． 【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 3．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 4．（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．1 5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，，求的极值； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且，求实数a的取值范围． 【题型六】多切点与过点切线条数问题 1．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 4．（2025·湖北黄石·模拟预测）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为_____________. 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【题型七】切线存在性与参数范围问题 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； (2)若，判断的零点个数. 2．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使得函数的图象在点的切线为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若函数的图象上存在关于点对称的不同两点，求实数的取值范围. 3．（2025·北京房山·一模）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线. 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 三、解答题 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 5．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 6．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 7．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 8．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 9．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 10．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $