4.2.1 指数函数的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数函数概念，通过基础辨析-性质应用-实际建模的三层递进设计，巩固概念理解并培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|指数函数定义辨析|单选题1-3以辨析形式强化概念本质，培养抽象能力| |概念应用|解析式与性质应用|结合奇偶性（第7题）、分段函数（第5题），提升推理与运算能力| |综合拓展|实际问题建模|解答题15-16通过增长率、衰减问题，体现数学语言表达现实世界的模型意识|

4.2.1 指数函数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 1. 给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是 （      ）  A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】B 【解析】对于①，3x的系数是2，故①不是指数函数； 对于②，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； 对于③，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； 对于④，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数； 对于⑤，底数－2＜0，不是指数函数. 故选B. 2. 若函数y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是 （      ）  A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 【答案】C 【解析】因为函数y＝(2a－1)x是指数函数，所以解得a>且a≠1.故选C. 3. 已知f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是 （      ）  A.14 B.13 C.12 D.11 【答案】C 【解析】由f(x)＝ax＋a－x得f(0)＝a0＋a0＝2. 又f(1)＝3，即a＋a－1＝3， 所以(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，即f(2)＝7. 因此，f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋7＝12. 故选C. 4. 某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度（单位：）与时长（单位：）的关系为且，为最初污染物浓度．如果前2h消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，当时，，可得． 设， 则，解得， 因此，污染物消除至最初的还需要． 5.已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　) A.－4 B.－ C. D.－8 【答案】D 【解析】∵f(2)＝－2＝－<0， ∴f(f(2))＝f ＝＝－8. 6. 已知函数若，则实数的值为（      ）  A.1 B. C.2 D. 【答案】B 【解析】因为，且，所以， 若，则，不满足题意， 故，则，解得，满足题意. 所以实数的值为. 7.设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x＋2x＋b(其中b为实数)，则f(1)的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 【答案】C 【解析】∵f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x＋2x＋b， ∴f(0)＝1＋b＝0，得b＝－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2－2－1)＝1. 8. 已知f(x)＝，若f(－a)＝m，则f(a)等于(　　) A.m B.2－m C.m－2 D.－m 【答案】B 【解析】∵f(x)＝，∴f(－x)＝＝， 则f(x)＋f(－x)＝＋＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，又∵f(－a)＝m，∴f(a)＝2－m. 二、多选题（共3小题） 9. 若指数函数的图象过点，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】设，且，则，解得， 所以，所以. 10. 若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】因为函数是指数函数，所以，所以， 所以，所以，，， 故B、D错误，A、C正确. 故选：AC. 11. 若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则下列结论中正确的是 （      ）  A.f(－1)＝ B.f(－1)＝2 C.f(x)＝ D.f(x)＝2x 【答案】AD 【解析】设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a3＝8，解得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝. 故选AD. 三、填空题（共3小题） 12. 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为                   . 【答案】2 【解析】由指数函数的定义知解得a＝2. 13. 已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是                   ． 【答案】 【解析】由已知，设，且， 又函数图象过点，即，解得， 所以. 14. 已知f(x)＝则f(4)＋f(－4)＝            ． 【答案】86 【解析】依题意，当x<5时，f(x)＝f(x＋3)， 于是得f(－4)＝f(－1)＝f(2)＝f(5)，f(4)＝f(7)， 当x≥5时，f(x)＝2x－x2， 则f(5)＝25－52＝7，f(7)＝27－72＝79， 所以f(4)＋f(－4)＝86. 四、解答题（共2小题） 15.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐. 乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？(参考数据：1.15≈1.61) 【答案】解设该种树的最初栽植量为a， 甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5， 乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25， 则＝＝×1.15≈×1.61＝0.805<1. 所以y1<y2，即乙方案能获得更多的木材. 16.光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度变为y. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少? (参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12) 【答案】解(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k; 光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k; 光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k; …… 光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk, ∴y=0.9xk(x∈N*). (2)将x=20代入函数解析式, 得y=0.920k≈0.12k, 即光线强度约为0.12k. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 指数函数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 1. 给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是 （      ）  A.0 B.1 C.2 D.4 2. 若函数y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是 （      ）  A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 3. 已知f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是 （      ）  A.14 B.13 C.12 D.11 4. 某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度（单位：）与时长（单位：）的关系为且，为最初污染物浓度．如果前2h消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（） A. B. C. D. 5.已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　) A.－4 B.－ C. D.－8 6. 已知函数若，则实数的值为（      ）  A.1 B. C.2 D. 7.设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x＋2x＋b(其中b为实数)，则f(1)的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 8. 已知f(x)＝，若f(－a)＝m，则f(a)等于(　　) A.m B.2－m C.m－2 D.－m 二、多选题（共3小题） 9. 若指数函数的图象过点，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 10. 若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 11. 若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则下列结论中正确的是 （      ）  A.f(－1)＝ B.f(－1)＝2 C.f(x)＝ D.f(x)＝2x 三、填空题（共3小题） 12. 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为                   . 13. 已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是                   ． 14. 已知f(x)＝则f(4)＋f(－4)＝            ． 四、解答题（共2小题） 15.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐. 乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？(参考数据：1.15≈1.61) 16.光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度变为y. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少? (参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12) 学科网（北京）股份有限公司 $