精品解析：江苏省扬州市两校联考2027届高三上学期8月暑期质量调研测试数学试卷

高三年级暑期质量调研测试卷 数学 2026.8 （时间：120分钟 总分：150分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题。 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”． 故选：A 3. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值． 【详解】设，由题意，，，． 故选：C． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得为奇函数，排除C、D项，再由，排除B项，即可求解. 【详解】由，可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项， 当时，可得，可排除B项， 所以选项A符合题意. 故选：A. 5. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 6. 某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知数据代入求得参数，再求即可. 【详解】因为，时，该细菌数量为， 故有：， 所以，故， 故选：B． 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 8. 设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点横坐标，可判断C，D. 【详解】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确， 因为，， 可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如下图， 可得：，此时. 当时，图象如下图， 可得：，此时，所以C不正确，D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是将看成函数与图象的交点横坐标，作出函数与图象，讨论的取值即可比较的大小. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由是第四象限角，可得，，而，， 所以，，. 10. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 11. 若存在，使关于的方程有解，则称在“处”可拆．则下列说法正确的有（ ） A. 若，则在“1处”可拆 B. 若，则在“2处”可拆 C. 若，则在“2处”可拆 D. 若，则在“1处”可拆 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数在“处”可拆的定义，结合反比例函数，对数函数，指数函数，二次函数及三角函数的性质逐一判断即可． 【详解】对于A，令， 则有，又因为， 所以，即， 整理得，即，此方程明显无实数解，故A错误； 对于B，令，则有， 所以令，解得，故B正确； 对于C，令， 则有， 即， 即， 令， 则在R上连续，且， 当时，易知在R上单调递增，且， 所以的唯一解在内； 当时，因为单调递增，单调递减， 又因为指数函数的增长速度远大于一次函数，所以有解， 综上，有解，故C正确； 对于D，令， 则有， 即， 所以， 即，其中， 即， 此方程有解的条件为, 化简得, 即, 解得, 因为,所以, 又因为，， 所以, 即有解，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______________. 【答案】2 【解析】 【分析】由对数的运算法则直接求解. 【详解】 故答案为：2 13. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数与二次函数的单调性，结合分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数为减函数， 所以，故， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，若存在常数使得对于，都有满足关系，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图像，数形结合，对进行分类讨论，求出相应的值域，结合存在常数使得，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得：， 令，画出图象如下： 因为，当时， ，， 要想存在常数使得， 则，解得； 当时，，， 要想存在常数使得， 则，解得：， 结合可得：， 当时，，， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得：， 当时，， ， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得：， 当时，， ， 要想存在常数使得， 则，解得：， 与取交集得， 综上：. 故答案为： 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，根据集合的基本运算可得结果. （2）根据条件可得⫋，利用集合的基本关系列不等式组可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 ∵是的充分不必要条件，∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴的取值范围为. 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用上奇函数的定义可得，代回解析式验证即可得出的值； （2）利用奇偶性和单调性脱去对应法则“”，然后进行分离参数并结合基本不等式和恒成立问题即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数，所以，即，解得； 此时，，所以是上的奇函数，符合题意； 因此. 【小问2详解】 由（1）知， 是上的奇函数，，所以； 又，所以，所以在上单调递减， 所以，即对任意的恒成立； 当时，，当且仅当，即，即时取等号，所以； 所以，即实数的取值范围是. 17. 已知函数（，）在区间上的值域为． （1）求函数的解析式、对称中心、单调增区间； （2）若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1），对称中心为，单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数性质及给定值域列出方程求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）的结论求出函数在上的最小值，再利用给定不等式列式求解. 【小问1详解】 由，得，则， 又，于是，即有，解得， 所以函数的解析式为； 由，解得，函数的对称中心为； 由，解得， 所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 由，得，则，因此； 由任意，存在使得，得当时，， 即，由，得， 因此，解得，所以的取值范围是. 18. 已知函数与，其中是偶函数． （1）求实数的值及的值域； （2）求函数的定义域； （3）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1），函数的值域为 （2）当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得函数的值域； （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得函数的定义域； （3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由函数是偶函数可知， 所以，， 所以，， 则，故，所以， ， 当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 【小问2详解】 解：对于函数，则有. 当时，，不合乎题意； 当时，，得； 当时，，得. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 【小问3详解】 解：函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个实根， 即方程有且只有一个实根， 令，则方程有且只有一个正根. ①当时，，不合题意; ②当时，由得或， 若，则不合题意；若，则满足要求. 若，可得或. 则此时方程应有一个正根与一个负根， 所以，，解得，因为或，故. 综上，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 19. 若存在， 使得函数 f (x) 在区间 上单调递增， 且， 则称 为 的长度为的“2倍增区间”. （1）求函数的长度为 的“2倍增区间”； （2）已知区间为函数的长度为 b 的“2倍增区间”，且 ，证明： a < ; （3）若函数不存在“2倍增区间”，求实数 c 的取值范围. 【答案】（1） （2）∵是增函数，∴， ∵，∴， ∴整理可得，， ∴， ∴. （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，化简即可求出； （2）根据题意可得，结合，可得，化简即可求解； （3）分，和讨论，结合“2倍增区间”的定义即可求解. 【小问1详解】 设所求“2倍增区间”为， 则有，，且． ∴，即，解得． ∴函数的长度为的“倍增区间”为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，函数在单调递增，值域为． （i）当时，，不存在使得为“2倍增区间”； （ii）当时，，故不存在“2倍增区间”； （iii）令为 的长度为的“2倍增区间”，由， 得，由，得，则， ，因此，取，， 由在单调递增，且，，存在“倍增区间”． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级暑期质量调研测试卷 数学 2026.8 （时间：120分钟 总分：150分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设为正实数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 11. 若存在，使关于的方程有解，则称在“处”可拆．则下列说法正确的有（ ） A. 若，则在“1处”可拆 B. 若，则在“2处”可拆 C. 若，则在“2处”可拆 D. 若，则在“1处”可拆 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______________. 13. 已知函数为减函数，则实数的取值范围是_________. 14. 已知，若存在常数使得对于，都有满足关系，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数（，）在区间上的值域为． （1）求函数的解析式、对称中心、单调增区间； （2）若对任意，存在使得，求实数m的取值范围． 18. 已知函数与，其中是偶函数． （1）求实数的值及的值域； （2）求函数的定义域； （3）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 19. 若存在， 使得函数 f (x) 在区间 上单调递增， 且， 则称 为 的长度为的“2倍增区间”. （1）求函数的长度为 的“2倍增区间”； （2）已知区间为函数的长度为 b 的“2倍增区间”，且 ，证明： a < ; （3）若函数不存在“2倍增区间”，求实数 c 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $