精品解析：江苏省扬州市宝应县2025-2026学年高三上学期期初检测数学试题

2025-2026学年度高三上学期期初检测试卷 数学 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求. 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 4. 已知函数是R上单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 7. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 10. 已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（ ） A. B. C. D. 11. 对定义在区间D上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被替代，D称为“替代区间”，给出以下结论，正确的是（ ） A. 在区间上可被替代 B. 在区间上可被替代 C. 可被替代的一个“替代区间”可以为 D. 在区间上可被替代，则 三、填空题：本题共3小趣，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_____________. 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知函数，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，函数在处的切线方程为. （1）求值； （2）求函数的极值. 17. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 18. 已知定义在上函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 19. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期期初检测试卷 数学 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求. 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：B 3. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题 4. 已知函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解参数的取值范围即可. 【详解】根据题意可列不等式如下， 解得 ，选项D正确 故选：D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 7. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集. 【详解】 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上是减函数， 又，则， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增，且，因为 所以，所以，即， 又，所以，所以，即，综上，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 10. 已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】若存在使得，即函数的对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可，故AD错误，BC正确， 故选：BC. 11. 对定义在区间D上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被替代，D称为“替代区间”，给出以下结论，正确的是（ ） A. 在区间上可被替代 B. 在区间上可被替代 C. 可被替代的一个“替代区间”可以为 D. 在区间上可被替代，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分析每个选项中函数的最大值小于等于1且最小值大于等于可得. 【详解】令，则对任意，，函数在区间D上可被替代. ①对于A选项：，即， 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，， 得，，满足，故A正确； ②对于B选项：，，， 所以在上单调递增，所以 故， 所以存在，，使得，故B错误； ③对于C选项：，由，， 所以当，，当，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， ，，得，满足，故C正确； ④对于D选项：，， 因为，所以，所以函数在上单调递减， 则，， 因为函数在区间D上可被替代，所以， 即得，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小趣，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得，则， 则不等式的解集为. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可解出． 【详解】因为，所以，故曲线在点处切线方程为 ，即． 故答案为：． 14. 已知函数，若，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，对任意的，， 故函数的定义域为， 因为， 则，所以，函数为奇函数， 当时，令，由于函数和在上均为减函数， 故函数在上也为减函数， 因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数， 所以，函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，则在上为减函数， 由可得，即， 所以，，即，解得或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数，函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，由已知根据即可求解； （2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 在处的切线方程为， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知， ，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 因此在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 故的极大值为，极小值为. 17. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）不是“子集函数”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到证明； （2）同理利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到判断； （3）利用函数的定义域可求值域，再利用包含关系可求参数的范围. 【小问1详解】 证明：若，则定义域为， 可得值域为， 由于，所以是“子集函数”． 【小问2详解】 不是“子集函数”．理由以下： 由于，可得，则的定义域为． 由，则，即的值域为． 因为，所以不是“子集函数”． 【小问3详解】 由，得， 则， 因为，所以的值域为． 因为是“子集函数”，所以， 则，解得， 故a的取值范围为． 18. 已知定义在上函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，将，代入的解析式，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解； （2）将代入的解析式，，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值转化成必有两个不等的实数根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解； （3）将代入的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当，时，， 则，故，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因既存在极大值，又存在极小值， 所以必有两个不等的实数根， 当时，不符合题意， 故，令，解得或且 所以且， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，或， 所以， ， 由题意，得对任意的恒成立， 因为当时，在上单调递减， 所以，故， 所以，且，则. 令，其中， 所以， 令，则， 当，即时，，上单调递增， 所以，即，符合题意， 当，即时，设方程两根分别为，， 则，，不妨设， 当时，，在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键是将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $