江苏南京市第二十九中学2027届高三上学期综合测试1数学试卷

2027届高三数学测试1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．BD 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【小问1详解】 由题可知， 3分 由可得， 所以的递增区间为． 6分 注：不写扣1分 【小问2详解】 由，得， 8分 因为，所以， 若，则，不合题意 若，则，不合题意 所以，所以， 10分 所以 13分 16．【答案】 由数表得，解得，，，， 4分 零假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异， 5分 根据数表经计算得， 7分 依据的独立性检验，推断假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异， 所以有95%把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关． 8分 （2）依题意，，，， ，， 11分 所以， 13分 ． 15分 17．【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 2分 因为，且，分别为棱与的中点，则， 又因为，且，平面，故平面， 4分 因为平面，所以． 6分 【小问2详解】 解：作于点， 由平面，且平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在等腰梯形中，由， 可得，则， 又由，可知，则，， 9分 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 11分 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 12分 设平面与平面的夹角为，则， 14分 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 15分 19．【小问1详解】 （i）恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球， 故恰好得2分的概率为． 2分 （ii）在取球过程中不得到分只有一种可能：得分后取到黄球得2分， 因此，， 5分 而，且， 7分 ， 故． 9分 【小问2详解】 （2）由题知，因为，所以， 10分 由，，，，…，，，． 得 ． 12分 因为，所以， 又， ， 所以， 故． 15分 所以． 17分 19．【小问1详解】 函数在上不具有性质，一方面：对于函数，取，， 则有，故函数在上不具有性质． 1分 在上具有性质． 2分 对任意的，，， ， 故函数在上具有性质． 4分 注：函数不给理由不扣分，只写对结果，不给理由只得1分 【小问2详解】 函数的定义域为，由具有性质，可知 对任意的，，，都有，① 因为，即函数为奇函数，所以①可化为， 6分 从而在上单调递增，故， 7分 即，即在上恒成立， ，，， 从而． 9分 【小问3详解】 （3）证明： 函数的定义域为， 要证是奇函数，只要证：对任意的实数，即可． 对任意实数，由函数具有性质，可知： 当时，．① 11分 设， 当，即时，由①得， 即当时，；② 当，即时，由①得， 即当时，；③ 14分 由曲线的连续性，可知在上存在零点，即 ．④ 由于函数在上单调递增，故在上也单调递增， 由②得，由③得，故有． 16分 代入④得，． 故为奇函数． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三综合测试1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．毕业前夕，某高中高三（1）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（ ） A．96 B．84 C．72 D．48 5．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．已知函数在上单调递增，其图象经过点和，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（ ） A．，也随之增大 B．当为锐角时，先减小再增大 C．当为直角时，先减小再增大 D．当为钝角时，先减小再增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某生物公司研发的抗体的半衰期（单位：天）服从正态分布，则（ ） （参考数据：若，则，） A．的均值为45天 B．的方差为5 C． D． 10．设函数，（且），则（ ） A． B．， C．的值域为 D．若方程至少有一个实数解，则 11．已知实数，满足，则下列命题正确的是（ ） A．若时，则， B．若，，则是的减函数 C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线的斜率为__________． 13．已知，，且，则的最小值为__________． 14．如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则__________． 四、解答题：本大题共4小题．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的值． 16．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意\性别 满意 不满意 合计 男业主 20 100 女业主 100 合计 60 200 （1）求，，，，并判断是否有95%把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 17．如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 18．口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 19．若函数满足：对任意的，，都有，则称函数在区间上具有性质． （1）设函数，，分别判断，是否在上具有性质； （2）设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $