求数列通项公式的5种常见题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦北京地区数列通项求解，以观察法、递推公式法、累加法、累乘法、构造法为核心方法体系，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察法|9题（含杨辉三角垛）|观察前项特征抽象通项|从特殊到一般，发展抽象能力| |递推公式法|8题（含Sn与an关系）|利用an=Sn-Sn-1推导|建立数列和与项的关联| |累加法|9题（含等差型递推）|累加求an=a1+Σf(k)|处理an+1-an=f(n)型递推| |累乘法|10题（含等比型递推）|累乘求an=a1·Πf(k)|处理an+1/an=f(n)型递推| |构造法|10题（含构造新数列）|转化为等差/等比数列|体现转化与化归思想| |综合训练|8题|综合应用五种方法|整合知识，提升解题迁移能力|

专题求数列通项公式的5种常见题型（北京专用） 1.观察法 2.递推公式法 3.累加法 目录 4.累乘法 5.构造法 6.综合训练 题型 观察法 一、单选题 1.已知数.的前5项为1子子子台则数的个通项公式为(） A.0,=1 1 B.an= n n+1 1 C.an=2n-1 1 D.an=2n 2.数列1,0,1,0，…的一个通项公式是() A.a=(-1”+1 B.a=(-1-1+1 C.0,=-1r+1 2 0.0,=-1n+1 3.数列V2,5,2V2,V11…,的一个通项公式是() A.an=Vn+1 B.an=3n-1 C.an=3n+1 D. 3-2 4.数列1,3,7,15，…的一个通项公式是() A. an=2”-1 B.an=2”+1 C.an=2n-1 D.a=2n+1 5.数列a,的前四项依次是4,4,44,44，则数列a的通项公式可以是（） A.an=4n B.an=4 C.a= 410”-1 9 D.0n=4×110 二、填空题 3456 6.已知数列a为23手，行“，则该数列的一个通项公式可以是 7.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”·其 最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第九层球的个数为 8知数a小4-a33周。a,分别为一 a,+3 猜想an二 3 79 9.数列，的前4项是之1,07则这个数列的一个通项公式是a,= 题型 递推法 一、单选题 1.(25-26高二上：北京朝阳阶段检测)数列a,的前n项和为S,:点n,S,在函数f(x=2-1的图象上， 则a,=(） A.4 B.8 C.16 D.32 2.（2025北京丰台二模)已知数列a的前n项和为S,:且满足a,=0,01+2S,=m则a,=（） A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(2425高二下：北京房山期中)已知数列a,的前n项和s,=n+1'则数列a,的通项公式为（） an A.an=2n-1 B.an=2n C.an=2n+1 2,n=1 D.a-2n-1,n22 4.（2026高二上：北京：期中)已知数列a,的前n项和s。=n2-10nn=12,3,下列判断中正确的是 () A.a5>0 B.数列a,是单调递减数列 C.数列g,前n项的乘积有最大值 D.数列。前项的乘积有最小值 二、填空题 5.（25-26高二下北京期中)已知数列a,的前n项和为s,=19n-2n2,则a,=- an的最小值 为 6.(25-26高二下北京顺义阶段检测)已知数列a,的前n项和公式为S,=3”-2则数列a,的通项公 式为 7.(25-26高二下北京：期中)设S为数列a,的前n项和，且s,=n2,则a,=一：数列a的通项 an 公式an一 （2026北京海淀一模）设等比数列an的前n项和为Sn:若S2Sn1=41-a,则公比g 8. 题型 累加法 一、单选题 1.（25-26高二下北京阶段检测)已知数列a,若a1=1'an1-a,=2n-1则a1=（） A.2500 B.2501 C.2502 D.2503 2.(2025·北京大兴·三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为 “三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设 各层球数构成一个数列a:a,=1a,=3'a,=6a,=10:…,则0-（） B. 3 C·7 3.（2026高二下北京.单元测试)数列1,3,7,15，…的一个通项公式是() A.a,=2”-1 B.a,=2”+1 C.an=2n-1 D.dn=2n+1 4。（24-25高二下北京大兴：期中）已知数列a满是a1-a,=2n-11:且a,=10:则0，的最小值是 () A.-15 B.-14 c.-11 D.0 5(2525商二上京期未)已知数a满足a=-Ia4-a,neN苏vneN都有 a,∈s,t小其中st∈R:则t-s的最小值为() 1 B. 3 c D.1 二、填空题 6.（25-26高二下北京期中）若数列a满足a,=3且对于任意的n∈N都有a,1-Q,=n+2:则a1= 7.（2026年高考二模考试（北京卷02）)数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比， 推导的求和公式与现代数学形式高度统一.例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6 枚…依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数Qg= ；前8层的棋子总和数S:= 8。（2526高二上北京海淀阶段检测）设数列0，满足a,=1且a,10,=n+1则数列2的前8项的 an 和为 9.（24-25高=下北京西城期中）已知数列a满足a1-a,-2n-15(n∈Na,=1则a,= 当n= 时，an取得最小值. 题型 累乘法 一、单选题 且，已知数列a的项满足a1n十2a,而a1F1,则a,（） A. 2 B.2 C. D.1 n+12 n(n+1) 2 2n-1 2.已知数列a的前n项和为S,且满足a1=1'a,=S,1（n≥2)，则当n≥2时，a,=（） A.2" B.nin+1) C.2n-2 D.2"-1 2 3.已知数列a满足021=n2共中a,=1r则g,=（) an n+1 A.28 B.220 C.225 D.228 _n+1 4.已知数列a,满足am1n+30:a=1.则a1-（） 1 1 A.22 8.26 3 C.91 1 0. 35 5.已知s,是数列a,}的前n项和，a1=1S1-n+2,侧则a,}的通项公式为（) S n A.an=2n-1 B.0,=n+1 2 C.an=n D.an=2-n 6.在数列a中，若a,=2,a,=n+2an1a,则ans=（） A.1013 B.1014 C.2025 D.2026 二、填空题 7.若数列a满足a,=1'a1=2a则a,=一数列a的通项公式a,=— 8.若数列an满足a1=12a+2a,+3a,++n0,=n2a,则as 9.在数列a,中，q1=3,01=n+3则a, an Vn+2 10.已知数列an两足a1=1’02-32。二=n,则a8= 题型 构造法 一、单选题 1.在数列a中.已知a,=1na1=n+1a,则a。=（） A.3 B.4 c.5 D.6 2.若数列a,小{b.满足a,=a2=1b,=a1n+1b1=a,n+3则数列a,+b的前50项和为 () A.2500 B.2525 C.2550 D.3000 3.已知数列a,的前n项和为S,其中a,=1且s,1-2S,=2n+1则S=（） 4. 369 8.361 46 46 c.36 D. 365 46 46 4E你数。，分几☑品。不合古女dm4规是8大 整数n=() A.8 B.9 C.10 D.11 5在资a中a=。则a-） 34 1 A.103 B.104 D.100 6.已知数列a,中·a,=1,a,a,1=,4-a,(n≥2，n∈N)则aw=（） 1 A.7 1 1 C. 1 B.10 D. 二、填空题 7.已知数列a满足a1=3a,-1'a4=1则a= 8.已知在数列a,中，a=1'a,=2a,1+n-2n≥2则通项a,=一 9.已知数列a中，a,=2且a1= 2a,则a,= a+2 10. 已知数列a,满足a,=2:a,1=3a,+2-1”n∈N则数列a的通项公式为 综合训练 求下列数列a,的通项公式。 (1a1=1,2an=2an-1+1 2a1=1,3a=a-1 (3)s,=3”-2 9a,=1,0,=01+30-19 5ia-1,an74- 2an (6)a1=1,an+1an+2 (72a,=Sn+1 8)a1=1,3an1=Sm 专题 求数列通项公式的5种常见题型（北京专用） 目录 1. 观察法 2. 递推公式法 3. 累加法 4. 累乘法 5. 构造法 6. 综合训练 题型 观察法 一、单选题 1．已知数列的前5项为1，，，，，则数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除. 【详解】观察数列的各项，容易发现， 分子均为1，分母均与项数相同， 则数列的一个通项公式可以为. 经验证，其他选项均不能满足. 故选：A. 2．数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项的通项公式写出前4项即可判断题设数列的通项公式. 【详解】A：由通项公式知：不合题设； B：由通项公式知：不合题设； C：由通项公式知：不合题设； D：由通项公式知：符合题设； 故选：D. 3．数列的一个通项公式是(   　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前几项，找规律求得通项公式． 【详解】统一数列各项表达式，可化为 所以通项公式为 故选：B 4．数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由前4项得到，再利用累加法求解即得． 【详解】依题意得，，，由此可得， 所以 ． 又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是． 故选：A 5．数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得数列的前四项与的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444， 则有，，，， 则数列的通项公式可以是， 故选：C． 二、填空题 6．已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析数列前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答. 【详解】依题意，， 所以前4 项都满足的一个通项公式为. 故答案为： 7．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第九层球的个数为__________． 【答案】45 【分析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球，结合等差数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意，第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球， 根据规律可知：第层有个球 设第层的小球个数为，则有：， 故第九层球的个数为：. 故答案为：45. 8．已知数列，，，则，分别为______，猜想______． 【答案】 ， 【分析】利用数列的递推公式可求得、的值，进而可猜想出数列的通项公式. 【详解】且，，， 猜想. 故答案为：，；. 9．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________. 【答案】 【分析】由数列的前4项发现分子为连续的奇数，第2项1可写成，从而前4项可变形为，，，，进而可写出数列的一个通项公式 【详解】数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝. 故答案为： 题型 递推法 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据题意得，由求出，代入即可求出答案. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 当时，， 所以. 故选：C. 2．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【详解】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解，并检验. 【详解】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 4．（2026高二上·北京·期中）已知数列的前项和，下列判断中正确的是（    ） A． B．数列是单调递减数列 C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值 【答案】C 【分析】根据已知求的方法求出通项公式，然后逐项判断即可. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 当，代入上式，即，符合上式， 所以 ，故A错误； 由可知，数列是单调递增数列，故B错误； 因为，，，，，，， 当时，，当时，， 所以数列前项的乘积有最大值，最大值为，故C正确，D错误. 故选：C. 二、填空题 5．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 【答案】 9 1 【详解】； 当时，， 时，， 时，，符合通项公式， ， 当时，单调递减，令，解得， 当时，，， 当时，，， 当时，随增大而增大，故的最小值为1． 6．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列的前n项和公式为 ，则数列{}的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， ． 7．（25-26高二下·北京·期中）设为数列的前项和，且，则_________；数列的通项公式_________. 【答案】 9 【分析】由与关系结合题设可得答案. 【详解】因，， 则，， 又注意到，则. 8．（2026·北京海淀·一模）设等比数列的前n项和为，若，则公比______. 【答案】2 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的定义运算求解即可. 【详解】因为，所以， 显然，则，即，解得. 题型 累加法 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知数列，若，，则（    ） A．2500 B．2501 C．2502 D．2503 【答案】B 【分析】利用累加法结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由，， 可得 ， 故选：B 2．（2025·北京大兴·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法可得，求出，可得答案. 【详解】由题意可得， 时，，，，…，， 以上各式相加可得 ，所以， 且，所以， 所以，， 则. 故选：B. 3．（2026高二下·北京·单元测试）数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由前4项得到，再利用累加法求解即得． 【详解】依题意得，，，由此可得， 所以 ． 又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是． 故选：A 4．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是， 又，，则， 所以的最小值是； 故选：A 5．（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，求出的最大项和最小项，可得出的最小值. 【详解】因为数列满足，， 当时，， 则 ， 也满足，故对任意的，. 当为奇数时，，数列中的奇数项单调递减， 此时，且，即， 当为偶数时，，数列中的偶数项单调递增， 此时，且，此时， 综上所述，数列中的最小项为，最大项为， 若，都有，其中、，当，时，取最小值，且其最小值为. 故选：C. 二、填空题 6．（25-26高二下·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 【答案】253 【分析】用累加法求通项公式. 【详解】由题意可知：，当时， 又因为，所以 . 7．（2026年高考二模考试（北京卷02））数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数_____；前8层的棋子总和数_____ 【答案】 36 120 【分析】写出数列的递推关系，利用累加法求出通项即可，再求即可. 【详解】依题意，可得， 则， 则，整理得， 因为符合上式，所以，36， 所以. 8．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）设数列满足，且，则数列的前8项的和为______. 【答案】 【分析】由累加法先求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再结合裂项公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 9．（24-25高二下·北京西城·期中）已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 【答案】 8 【分析】根据给定条件的递推公式依次计算求出；再利用累加法求出通项公式即可求解. 【详解】数列满足，由，得； 当时， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：；8 题型累乘法 一、单选题 1．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 2．已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即 （）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 3．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 4．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 5．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 6．在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 二、填空题 7．若数列满足，， 则______，数列的通项公式______． 【答案】 8 【分析】利用递推关系式可求，利用累乘法可求通项公式. 【详解】因为，，所以，. 由题意，，，， 以上各式相乘可得. 故答案为：8   8．若数列满足，，则__________． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 9．在数列中，，则__________． 【答案】 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【详解】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 10．已知数列满足，，，则__________． 【答案】128 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 题型构造法 一、单选题 1．在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 2．若数列、满足，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】又已知可得，可知数列为等差数列，进而可得解. 【详解】因为，，所以， 又，， 则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则数列的前项和为， 故选：C. 3．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 4．已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，根据构造法求得，结合等比数列前n项求和公式建立不等式即可求解. 【详解】，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得. 故选：B 5．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 6．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 二、填空题 7．已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 8．已知在数列中，，，则通项______． 【答案】 【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案. 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 9．已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 10．已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 综合训练 求下列数列的通项公式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）根据等差数列的定义求解即可； （2）根据等比数列的定义求解即可； （3）根据求解即可； （4）利用累加法结合等比数列前项和公式求解即可； （5）利用累乘法求解即可； （6）利用倒数法求解即可； （7）（8）根据结合等比数列的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列， 所以； （2）因为，所以， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以； （3）由， 当时，， 当时，， 当时，上式不成立， 所以 （4）因为， 所以， 则当时， ， 当时，上式也成立， 所以； （5）因为，所以， 则当时， ， 当时，上式也成立， 所以； （6）因为， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以； （7）由，得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以； （8）由， 当时，，所以， 当时，， 所以， 所以数列数列从第二项起是以为公比，为首项的等比数列， 所以， 当时，上式不成立， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $