14用构造等比数列法求通项（专项拓展篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教 A 版选择性必修二第四章数列 14用构造等比数列法求通项（专项拓展篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东枣庄高三期中考试题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：构造等比数列，设，解得，则是首项为、公比为的等比数列，，即，代入得。 2.（2024·河北衡水高三月考）：已知数列满足，，则通项公式（） A. B. C. D. 答案：A 解析：设，解得，是首项为、公比为的等比数列，，故。 3.（2023·河南商丘高三一模）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：两边同除以得，是首项为、公差为的等差数列，，即，代入得。 4.（2024·湖北襄阳高三调考题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：直接代入，得。 5.（2023·广东汕头高三质检题）：已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 答案：A 解析：设，解得，是首项为、公比为的等比数列，，故。 6.（2024·湖南株洲高三联考）：已知数列满足，，若，则（） A. B. C. D. 答案：B 解析：构造得，即，令，解得，（修正：，，答案为C）。 7.（2023·江西九江高三月考）：已知数列满足，，则数列的公比为（） A. B. C. D. 答案：C 解析：变形得，故是公比为的等比数列。 8.（2024·安徽宿州高三一模）：下列递推数列中，不能通过构造等比数列求通项的是（） A. B. C. D. 答案：C 解析：选项C的递推式适合用累加法求解，其余选项均可构造等比数列。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏徐州高三期中考试题）：下列关于构造等比数列求通项的说法正确的是（） A. 基础型递推（），可通过待定系数法构造等比数列 B. 进阶型递推，可通过同除以转化为等差数列或等比数列 C. 含一次函数型递推，可构造求通项 D. 构造等比数列的核心是转化为（为非零常数）的形式 答案：ABCD 解析：四项说法均符合构造等比数列求通项的核心思路与方法。 10.（2024·福建宁德高三调考题）：已知数列满足，，则下列结论正确的是（） A. 是等比数列 B. C. 通项公式 D. 的最小值为 答案：ABCD 解析：构造得首项为、公比为，，代入得，数列单调递增，最小值为。 11.（2023·浙江温州高三质检题）：已知数列满足，，则下列结论正确的是（） A. B. 的公比为 C. 通项公式 D. 答案：ABCD 解析：构造得，，，，公比为。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川绵阳高三月考）：已知数列满足，，则通项公式为。 解析：设，解得，首项为（修正：首项为，公比，，）。 13.（2023·陕西咸阳高三一模）：已知数列满足，，则。 解析：代入计算得，。 14.（2024·辽宁锦州高三联考）：已知数列满足，，构造为等比数列，则，。 解析：设，对比系数得，。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西阳泉高三期中考试题）：已知数列满足，。 （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式。 解答： （1）证明： 对递推式变形，设，展开得，与原式对比得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列。 （2）由（1）得 故数列的通项公式为 16.（15分）（2024·广西梧州高三调考题）：已知数列满足，。 （1）构造等比数列求的通项公式； （2）求的值。 解答： （1）设，展开得，对比原式得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列， 因此， 通项公式为。 （2）代入得 17.（15分）（2023·云南普洱高三一模）：已知数列满足，。 （1）构造等比数列求的通项公式； （2）求的值。 解答： （1）设，展开得。 对比系数，解得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列， 因此， 通项公式为。 （2）代入得 18.（17分）（2024·贵州遵义高三联考）：已知数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 解答： （1）两边同除以得 由累加法得 代入得 故通项公式为。 （2）前项和 化简得 19.（17分）（2023·甘肃庆阳高三调考题）：已知数列满足，。 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和。 解答： （1）证明： 计算。 又， 故是首项为，公比为的等比数列。 （2）由（1）得 通项公式为。 前项和 化简得 （2）代入得 17. 解答： （1）设，展开得。 对比系数，解得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列， 因此， 通项公式为。 （2）代入得 18. 解答： （1）两边同除以得 由累加法得 代入得 故通项公式为。 （2）前项和 化简得 19. 解答： （1）证明： 计算。 又， 故是首项为，公比为的等比数列。 （2）由（1）得 通项公式为。 前项和 化简得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教 A 版选择性必修二第四章数列 14用构造等比数列法求通项（专项拓展篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东枣庄高三期中考试题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 2.（2024·河北衡水高三月考）：已知数列满足，，则通项公式（） A. B. C. D. 3.（2023·河南商丘高三一模）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 4.（2024·湖北襄阳高三调考题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 5.（2023·广东汕头高三质检题）：已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 6.（2024·湖南株洲高三联考）：已知数列满足，，若，则（） A. B. C. D. 7.（2023·江西九江高三月考）：已知数列满足，，则数列的公比为（） A. B. C. D. 8.（2024·安徽宿州高三一模）：下列递推数列中，不能通过构造等比数列求通项的是（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏徐州高三期中考试题）：下列关于构造等比数列求通项的说法正确的是（） A. 基础型递推（），可通过待定系数法构造等比数列 B. 进阶型递推，可通过同除以转化为等差数列或等比数列 C. 含一次函数型递推，可构造求通项 D. 构造等比数列的核心是转化为（为非零常数）的形式 10.（2024·福建宁德高三调考题）：已知数列满足，，则下列结论正确的是（） A. 是等比数列 B. C. 通项公式 D. 的最小值为 11.（2023·浙江温州高三质检题）：已知数列满足，，则下列结论正确的是（） A. B. 的公比为 C. 通项公式 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川绵阳高三月考）：已知数列满足，，则通项公式为________。 13.（2023·陕西咸阳高三一模）：已知数列满足，，则________。 14.（2024·辽宁锦州高三联考）：已知数列满足，，构造为等比数列，则，。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西阳泉高三期中考试题）：已知数列满足，。 （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式。 16.（15分）（2024·广西梧州高三调考题）：已知数列满足，。 （1）构造等比数列求的通项公式； （2）求的值。 17.（15分）（2023·云南普洱高三一模）：已知数列满足，。 （1）构造等比数列求的通项公式； （2）求的值。 18.（17分）（2024·贵州遵义高三联考）：已知数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 19.（17分）（2023·甘肃庆阳高三调考题）：已知数列满足，。 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和。 原卷版答案 一、单选题 1. A 2. A 3. B 4. B 5. A 6. C 7. C 8. C 二、多选题 9. ABCD 10. ABCD 11. ABCD 三、填空题 12. 13. 14. ； 四、解答题 15. 解答： （1）证明： 对递推式变形，设，展开得，与原式对比得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列。 （2）由（1）得 故数列的通项公式为 16. 解答： （1）设，展开得，对比原式得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列， 因此， 通项公式为。 （2）代入得 17. 解答： （1）设，展开得。 对比系数，解得。 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列， 因此， 通项公式为。 （2）代入得 18. 解答： （1）两边同除以得 由累加法得 代入得 故通项公式为。 （2）前项和 化简得 19. 解答： （1）证明： 计算。 又， 故是首项为，公比为的等比数列。 （2）由（1）得 通项公式为。 前项和 化简得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $