第2章 有理数的运算 培优测试卷 2026—2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 人教版七年级数学上册有理数运算单元培优卷，覆盖加减乘除、乘方、科学记数法等核心知识，梯度设计合理，含规律探究、新定义运算等创新题型，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|数轴移动、倒数、科学记数法|结合光传播速度情境，考查抽象能力| |填空题|6题/18分|绝对值、裂项相消、数轴距离|含分类讨论（如两点距离），培养推理意识| |解答题|6题/52分|新定义运算、数值转换程序、乘方规律|设计数值转换程序题，通过正逆向运算发展模型意识；规律探究题（乘方末位数字）提升创新意识|

第章 有理数的运算 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册 （范围：第章 有理数的运算　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．计算 的结果是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．下列各式成立的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ． 的倒数是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．计算 的结果是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．计算 的结果是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图，一个点从数轴上表示 的点 出发，先向右移动 个单位长度到达点 ，再向左移动 个单位长度到达点 ，则点 表示的数是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．光在真空中的传播速度约为 米/秒，将 用科学记数法表示为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图，数轴上点 分别表示有理数 ，则下列结论正确的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．计算 的结果是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．观察下列一组数：，…，按照其中的规律，第 个数是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．计算：． ．计算：． ．太阳的半径约为 千米，将 用科学记数法表示为千米． ．在数轴上，表示数 的点与表示 的点相距 个单位长度，则 ． ．若 ，且 ，则 ． ．计算：…． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）计算： ； ． ．（分）计算： ； 用简便方法计算：． ．（分）观察下列等式：，… 完成下表： 乘方 末位数字 由表可知， 的乘方的末位数字按 的顺序每 个一循环．求 的末位数字； 求 的末位数字． ．（分）计算： ； ； 光在真空中的传播速度约为 米/秒，一天大约有 秒．求光在一天中传播的路程（结果用科学记数法表示）． ．（分）定义新运算：对于任意有理数 ，规定 ．例如：． 求 与 的值，并判断运算 是否满足交换律； 求 的值； 求 … 的值． ．（分）如图是一个数值转换程序的框图：输入一个数 ，先将它乘以 ，再加上 ；若所得结果为负数，则将结果乘以 后输出，若所得结果不为负数，则将结果除以 后输出． 当输入的数分别为 和 时，求程序输出的结果； 下表记录了部分输入与输出的数据（表中未知的数据均为整数），请将表格补充完整： 输入 输出结果 小明发现：输入 与输入 的输出结果相同．请通过计算验证小明的发现，并再写出两组具有同样特点的整数输入值． 第章 有理数的运算 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】．故选 ． ．　【分析】区分 与 ： 表示 个 相乘，底数是 ； 表示 的相反数，底数是 ． 【详解】 不成立； 不成立； 成立； 不成立．故选 ． ．　【分析】乘积为 的两个数互为倒数，负数的倒数是负数． 【详解】 的倒数是 ．故选 ． ．　【分析】几个不等于 的数相乘，负因数的个数是偶数时积为正；互为倒数的因数可先结合． 【详解】负因数共有 个：，积的符号为正． ．故选 ． ．　【分析】除以一个不等于 的数，等于乘以这个数的倒数． 【详解】．故选 ． ．　【分析】数轴上向右移动对应加法，向左移动对应减法，逐步确定终点表示的数． 【详解】点 表示 ，向右移动 个单位长度到达点 ，点 表示的数为 ； 再向左移动 个单位长度到达点 ，点 表示的数为 ，即点 与原点重合．故选 ． ．　【分析】科学记数法把一个大于 的数写成 ⁿ 的形式，其中 ． 【详解】． 中 中 都不满足 中数量级错误．故选 ． ．　【分析】由数轴知 在 的左侧（到原点的距离大于 ）， 在 与 之间（到原点的距离小于 ），且 ． 【详解】由图可知 ，且表示 的点到原点的距离大于表示 的点到原点的距离． 错误； 错误； 错误； 正确．故选 ． ．　【分析】按三级运算顺序：先乘方，再乘除，后加减． 【详解】．故选 ． ．　【分析】观察分子、分母及符号的排列规律：奇数位置的数为正，偶数位置的数为负． 【详解】第 个数是 ，第 个数是 ，第 个数是 ，第 个数是 ，…， 即第几个数，分子就是几，分母比分子大 ，且偶数位置的数为负数． 第 个数的分子是 ，分母是 是偶数， 第 个数是 ．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】减法转化为加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【详解】． ．　【分析】先算乘方并注意符号：奇次幂为负，偶次幂为正． 【详解】 ． ．　【分析】科学记数法 ⁿ 中， 为正整数． 【详解】． ． 或 　【分析】数轴上与表示 的点相距 个单位长度的点有两个，分别在它的右侧和左侧． 【详解】右侧的点表示的数为 ；左侧的点表示的数为 ． 或 ． ． 或 　【分析】由 得 ；由 知 异号，分两类讨论． 【详解】当 时，；当 时，． 或 ． ．　【分析】裂项相消：，…，中间的项恰好互相抵消． 【详解】 ，…，， 原式…． 三、解答题（共分） ．； 【分析】运用加法交换律与结合律，把符号相同的数分别结合，先凑整再相加． 【详解】； ． 【评分标准】正确运用运算律结合各 分，结果 得 分；正确运用运算律结合各 分，结果 得 分（共 分）． ．； 【分析】乘除混合运算从左到右依次进行，除以一个数等于乘以它的倒数；正向运用乘法分配律，先用 分别乘以各分数再相加． 【详解】； ． 【评分标准】乘法计算正确得 分，转化为乘以倒数并得出 得 分；正确运用分配律得 分，三个乘积正确得 分，结果 得 分（共 分）． ．；； 【分析】逐个计算 ，取末位数字填表；末位数字以 为周期循环，用 除以 ，看余数定位置；由 与 先化简，再定末位． 【详解】，末位数字依次为 ； 末位数字每 个一循环，，余数为 的末位数字与 的末位数字相同，是 ； ，余数为 末位数字与 的末位数字相同，是 ． 【评分标准】每空 分，共 分；发现周期得 分， 得 分，结论 得 分；化简得 得 分，末位 得 分（共 分）． ．；； 米 【分析】 表示 的相反数，先算括号内的减法，再算乘法；先乘方，再乘除，后加减；用速度乘时间列式，结果写成科学记数法． 【详解】； ； ． 光在一天中传播的路程约为 米． 【评分标准】 与括号计算共 分，结果 得 分；两个乘方各 分，结果 得 分；正确列式得 分，计算正确得 分，科学记数法表示得 分（共 分）． ．均为 ，运算 满足交换律；； 【分析】按新定义分别代入计算，比较两个结果；先算中括号内的 ，把所得结果作为一个数再算外层；逐项按新定义计算，发现每个加数都等于相应正数平方的相反数． 【详解】； ． 交换两个数的位置后，它们的积与和都不变，所以结果不变， 运算 满足交换律．又如 ，同样成立． ； ． 每个加数中两个数互为相反数，它们的和为 ，积为负： ，…，， 即每个加数都等于相应正数平方的相反数． 原式． 【评分标准】两个计算各 分，判断并说明满足交换律 分； 得 分， 得 分；得出每个加数等于相应正数平方的相反数（或逐项正确计算至少三项）得 分，平方和求对得 分，结果 得 分（共 分）． ．输入 时输出 ，输入 时输出 ；见详解；见详解 【分析】按程序逐步计算：先乘以 ，再加上 ，再按结果的符号选择输出分支；反求输入值时，从输出值逆推，两条分支都要考虑． 【详解】输入 ： 不是负数，，输出 ； 输入 ： 是负数，，输出 ． 输出 （走"不为负数"分支）：除以 之前是 ，加 之前是 ，乘以 之前是 ，即输入 ； 若走"负数"分支：乘以 之前是 ，加 之前是 ，乘以 之前是 ，不是整数，舍去； 输入 ： 不是负数，，输出 ； 输出 ：走"不为负数"分支，逆推得输入为 ；走"负数"分支，逆推得输入为 输入为 或 ； 输入 ：由知输出 ．表格依次补充为：输入 ；输出 ；输入 或 ；输出 ． 输入 ： 不是负数，，输出 ；输入 输出 ，两者相同，小明的发现正确． 再给两组：输入 ：；输入 ：，输出相同； 输入 ：；输入 ：，输出相同． 规律：这样的两个输入值中，较小的数加上较大的数的 倍恰好等于 （如 ）． 【评分标准】输入 的过程与结果得 分，输入 的过程与结果得 分；每空 分，共 分（" 或 "缺一个则该空不得分）；验证输入 与输入 各得 分，两组输入值各得 分，写出规律得 分（共 分）． 学科网（北京）股份有限公司 $