微专题 不等式及不等式性质7大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以不等式性质为核心，通过7类题型系统构建“概念-方法-应用”逻辑链，提炼作差作商等实用技巧，培养数学表达与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等式表示不等关系|3题|文字与符号语言转化、实际问题建模|从现实情境抽象不等关系，奠定数学表达基础| |由性质比较大小|4题|不等式7条性质直接应用|性质是比较大小的理论依据，培养逻辑推理| |作差法比较大小|3题|作差与0比较的步骤|通过代数变形实现大小比较，强化运算能力| |作商法比较大小|3题|作商与1比较的适用条件|针对正实数的比较方法，拓展思维维度| |求取值范围|4题|同向可加、同正可乘等性质应用|整体思想的体现，提升综合应用能力| |实际应用|4题|设未知数、列不等式组|用数学语言解决现实问题，发展应用意识| |综合应用|3题|变量统一与分类讨论|整合性质与方法，培养数学思维的严谨性|

微专题 等式性质与不等式性质 【题型1 用不等式表示不等关系】 规律与方法 1.常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 2．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组 1.在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 2.（25-26高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 3.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 规律与方法 不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 1.（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·河南许昌·期末）已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·四川·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用作差法比较大小】 规律与方法（作差法与0比较） 1.（25-26高一上·山东 ·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 2.（25-26高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 3.比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【题型4 利用作商法比较大小】 规律与方法：作商法：与1比较大小 或 或 1.（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 2.（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，试比较与的大小. 3. （25-26高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 4. 【题型5 利用不等式的性质求取值范围】 规律与方法 不等式的重要性质（5、6、7）、注意整体思想。 1.同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 2.同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 3.同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 1.（25-26高一上·四川 ·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 2.已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 2.（25-26高一上·河南 ·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（2026·江苏·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【题型6 不等式的实际应用】 规律与方法 1. 设未知数、列出不等式组。 2. 根据不等式性质进行推理。 1.（2026·江西 ·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 3.（2026·浙江·一模）某高中高一（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 4.（25-26高一上·贵州·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 不等式性质的综合应用】 规律与方法 1.统一变量，或者两个变量有个整体的关系。 2.灵活应用不等式性质进行求范围或最值。（注意分类讨论） 1.（2026·吉林 ·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 2．（2026·河北·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 3．（2026·河北 ·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 等式性质与不等式性质 【题型1 用不等式表示不等关系】 规律与方法 1.常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 2．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组 1.在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 2.（25-26高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 3.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意列出不等关系即可. 【解答过程】由题意得. 故选：D. 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 规律与方法 不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 1.（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ，，故，即，故C，D错误． 2.（25-26高一上·河南许昌·期末）已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断. 【解答过程】对于A，由，得，而不能推出，A是； 对于BC，取，满足，，而，BC不是； 对于D，，D不是. 故选：A. 3.（25-26高一上·四川·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【解答过程】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A. 4.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【解答过程】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C. 【题型3 利用作差法比较大小】 规律与方法（作差法与0比较） 1.（25-26高一上·山东 ·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 【解题思路】利用作差法比较数的大小即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 2.（25-26高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作差比较大小. 【解答过程】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D. 3.比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【题型4 利用作商法比较大小】 规律与方法：作商法：与1比较大小 或 或 1.（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 2.（25-26高一上·上海·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【解答过程】，，. 两数作商，. 3.（25-26高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【解题思路】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解答过程】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【题型5 利用不等式的性质求取值范围】 规律与方法 不等式的重要性质（5、6、7）、注意整体思想。 1.同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 2.同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 3.同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 1.（25-26高一上·四川 ·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A. 2.已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判断，得到ABC正确，D错误. 【详解】A选项，，故，即，A正确； B选项，因为，所以， 又，故，故，B正确； C选项，，故，即的取值范围为，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，即，D错误. 故选：D 2.（25-26高一上·河南 ·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4（2026·江苏·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得，又，所以， 所以，即，所以的最大值为27.故选：A 【题型6 不等式的实际应用】 规律与方法 1. 设未知数、列出不等式组。 2. 根据不等式性质进行推理。 1.（2026·江西 ·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【解题思路】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出. 【解答过程】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个. 故选：B. 2.（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 3.（2026·浙江·一模）某高中高一（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【解答过程】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 4.（25-26高一上·贵州·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【解答过程】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 【题型7 不等式性质的综合应用】 规律与方法 1.统一变量，或者两个变量有个整体的关系。 2.灵活应用不等式性质进行求范围或最值。（注意分类讨论） 1.（2026·吉林 ·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【解题思路】当取最小的正整数时，所求最大. 【解答过程】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为：. 2．（2026·河北·二模）若实数，且，则的取值范围是 ． 【解题思路】先得到，并根据得到，从而求出. 【解答过程】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为：. 3．（2026·河北 ·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【解题思路】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【解答过程】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $