3.1函数的概念及其表示（第2课时　区间、定义域与同一函数）学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数概念及表示第2课时，核心内容为区间、定义域与同一函数。课前预习通过复习函数三要素衔接，以填空形式引导学生自主梳理区间定义、表示及定义域基本要求，搭建新旧知识支架。 导学案设计分层探究活动，普通班聚焦基础区间转换和定义域求解，优生班拓展抽象函数定义域，培养数学思维。当堂检测限时训练结合易错提醒，强化数学语言规范表达，助力学生形成重论据、有条理的思维品质，提升学习效率。

3.1　函数的概念及其表示（第2课时） 区间、定义域与同一函数·学案（附参考答案）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第2课时 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第64—66页） 0．（复习上一课时）函数的三要素是＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿，其中由＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿决定第三个。 1．设a＜b。满足a≤x≤b的实数x的集合叫＿＿＿＿区间，记作＿＿＿＿；满足a＜x＜b的叫＿＿＿＿区间，记作＿＿＿＿；满足a≤x＜b、a＜x≤b的叫＿＿＿＿＿＿区间，分别记作＿＿＿＿、＿＿＿＿。 2．R可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿；满足x≥a的集合记作＿＿＿＿＿＿，满足x＜b的集合记作＿＿＿＿＿＿。 3．数轴表示时，用＿＿＿＿点表示包括在区间内的端点，用＿＿＿＿点表示不包括在区间内的端点。 4．如果只给出解析式而没有指明定义域，那么定义域就是指使这个式子＿＿＿＿＿＿的实数的集合。 5．如果两个函数的＿＿＿＿＿＿相同，并且＿＿＿＿＿＿完全一致，那么这两个函数是同一个函数。 二、课堂探究 探究一　区间的写法 把下列集合改写成区间： {x|－1＜x≤5}＝＿＿＿＿＿＿　　{x|x≥2}＝＿＿＿＿＿＿ {x|x3}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿　{x|0≤x≤0.5}＝＿＿＿＿＿＿ {x|x≤0或x＞4}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 想一想：[2，＋∞]这样写对吗？为什么？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ {1，2，3}能写成一个区间吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　“有意义”的常见约束 ①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ④几个式子相加减，取各自定义域的＿＿＿＿；⑤实际问题还要受＿＿＿＿＿＿的限制。 探究三　例2（教材第65页） 已知f(x)＝＋。（1）求定义域；（2）求f(－3)、f()；（3）当a＞0时，求f(a)、f(a－1)。（写出过程） 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　例3（教材第66页） 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）y＝()²；（2）u＝；（3）y＝；（4）m＝。 （1）（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （4）（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我总结的三步：第一步＿＿＿＿＿＿＿＿，第二步＿＿＿＿＿＿＿＿，第三步＿＿＿＿＿＿＿＿。 ★探究五　抽象函数的定义域（优生班课上完成，普通班选做） 已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]，求f(x)的定义域，再求f(2x)的定义域。 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、当堂检测（限时3分钟） 1．函数f(x)＝＋的定义域是（　　） 　A．[，＋∞)　B．[，3)　C．[，3)∪(3，＋∞)　D．(3，＋∞) 2．用区间表示：{x|x≤0或x＞4}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） 　A．y＝|x|与y＝()²　　B．y＝x²与y＝(x＋1)² 　C．y＝x－1与y＝　　D．f(x)＝x²－2x与g(t)＝t²－2t 4．已知f(x)的定义域是[0，4]，则f(x²)的定义域是＿＿＿＿＿＿。 四、课堂小结（自我梳理） 区间三条纪律：一是＿＿＿＿＿＿，二是＿＿＿＿＿＿＿＿，三是两段之间用＿＿连接。求定义域的一句话是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。判断同一函数看＿＿＿＿＿＿与＿＿＿＿＿＿两条，字母不同＿＿＿＿＿＿判断。抽象函数定义域：括号里的＿＿＿＿范围始终是f的定义域。 附：参考答案与解析 课前预习 0．定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系。 1．闭、[a，b]；开、(a，b)；半开半闭、[a，b)、(a，b]。 2．(－∞，＋∞)；[a，＋∞)；(－∞，b)。 3．实心、空心。　4．有意义。　5．定义域、对应关系。 课堂探究 探究一：(－1，5]；[2，＋∞)；(－∞，3)∪(3，＋∞)；[0，0.5]；(－∞，0]∪(4，＋∞)。[2，＋∞]不对，＋∞是趋势不是数，取不到，这一端只能用小括号。{1，2，3}不能写成区间，区间只表示连续的实数集合。 探究二：①分式的分母不等于0；②偶次根式的被开方数大于或等于0；③零次幂的底数不等于0；④交集；⑤实际意义。 探究三：（1）由x＋3≥0得x≥－3，由x＋20得x－2，定义域是{x|x≥－3，且x－2}，即[－3，－2)∪(－2，＋∞)。（2）f(－3)＝＋＝－1；f()＝＋＝＋。（3）f(a)＝＋；f(a－1)＝＋。（f(a－1)是把整个a－1代进去，每一处x都要换。） 探究四：（1）不是。()²＝x的定义域是{x|x≥0}，与R不同。（2）是。＝v，定义域是R，对应关系相同。（3）不是。＝|x|，定义域虽同为R，但x＜0时|x|＝－xx，对应关系不同；取x＝－2检验，两边分别得－2与2。（4）不是。＝n的定义域是{n|n0}，与R不同。三步：先各自求定义域（不许先化简）；定义域不同直接判否；定义域相同再比对应关系。 ★探究五：由x[－1，3]得x＋1[0，4]，f作用的对象是x＋1，所以f(x)的定义域是[0，4]；再由0≤2x≤4得x[0，2]，所以f(2x)的定义域是[0，2]。 当堂检测 1．C。由2x－1≥0得x≥，由x－30得x3，取交集。误选B是漏了x＞3的部分。 2．(－∞，0]∪(4，＋∞)。两段之间用∪，不能用逗号。 3．D。A项()²的定义域是[0，＋∞)，与R不同；B项x＝0时函数值分别为0与1，对应关系不同；C项的定义域是{x|x－1}，与R不同；D项定义域相同、对应关系相同，字母不同不影响。 4．[－2，2]。由0≤x²≤4得－2≤x≤2。 课堂小结 前小后大；∞配小括号；∪；先定域后化简；定义域、对应关系；不影响；整体。 易错提醒 1．∞这一端永远用小括号，[2，＋∞]是硬伤。 2．两段区间之间用∪，不用逗号；孤立的几个数写不成区间。 3．求定义域不许先化简。 4．定义域相同也未必是同一个函数，y＝x与y＝是本节最重要的反例。 5．f(a－1)是把整个a－1代进去，每一处x都要换，不是f(a)－1。 6．抽象函数只盯括号里的整体，f后面括号里的取值范围永远是f的定义域。 学科网（北京）股份有限公司 $